做题记录 26.2.5

\(\textcolor{black}\odot\) P14450 [ICPC 2025 Xi'an R] Directed Acyclic Graph

考虑建立一个 \(d\times w\) 的矩形，\(a_{i,j}\) 表示其中 \((i,j)\) 的点，\(a_{i,j}\to a_{i+1,j}\)

令 \(b_{i,j}\) 连向 \(a_{i,\ne j}\) 和 \(a_{>i,j}\)，用前后缀优化建图

点 \(1\) 连向所有 \(b_{1,i}\) 和剩余散点

选择 \(b_{1\sim d,j}\) 及不选可以实现 \(a_{\ast,j}\) 的 \(d+1\) 个前缀，每一列都是独立的，从而一共 \((d+1)^w\) 种子集

取 \(d=3,w=7\) 即可，精细实现可以做到 \(128\) 条边

代码

参考

\(\textcolor{purple}\odot\) P14009 「florr IO Round 1」数字游戏

转化为求

\[\sum_d \mu(d) \sum_{1\le l\le r\le n} \prod_{i=l}^r \left\lfloor\frac{a_i}d\right\rfloor \]

对 \(d\) 扫描线，则 \(\left\lfloor\frac{a_i}d\right\rfloor\) 总变化量为 \(O(n\sqrt V)\) 的，容易矩阵维护 \(\sum_{1\le l\le r\le n} \prod_{i=l}^r \left\lfloor\frac{a_i}d\right\rfloor\)，时间复杂度 \(O(n\sqrt V\log n)\)，常数较大

注意到修改集中在 \(d\) 较小时，设 \(d\le S\) 时暴力重构，则时间复杂度 \(O(Sn+n\frac VS\log n)\)，取 \(S=O(\sqrt{V\log n})\) 可以做到 \(O(n\sqrt{V\log n})\)

可以提取矩阵有效位置减小常数

代码

参考

\(\textcolor{purple}\odot\) P12729 [KOI 2021 Round 2] 最长公共括号子串

二分答案，设目前长度为 \(L\)，尝试对 \(a\) 和 \(b\) 的每个前缀求出最短的长度 \(\ge L\) 的合法后缀，则转化为判断两者的哈希序列是否有相同项，排序后容易判定，以下只考虑对 \(a\) 求解

预处理 \(a\) 的深度序列 \(d\)（一个位置的深度定义为其前缀中 \('('\) 数量减去 \(')'\) 数量），对每个 \(i\) 预处理 \(d_i\) 后面第一个相同的位置 \(nx_i\) 和前面第一个小于的位置 \(l_p\)

对于一个目标长度 \(L\)，从前往后扫描右端点，对于每个深度 \(x\) 维护距离当前右端点 \(\ge L\) 且深度 \(=x\) 的点中最靠后的一个，扫到 \(d_i\) 时容易 \(O(1)\) 判定对应项是否合法

时间复杂度 \(O(\sum n\log^2 n)\)，其中 \(n=|A|+|B|\)，精细实现可以做到 \(O(\sum n\log n)\)

代码

参考