完全二叉树的叶子结点个数
大小为 N 的完全二叉树的叶子结点个数为 N-[N/2]。
令 Sy(N) 表示大小为 N 的完全二叉树的叶子结点个数，要证该命题，即证 Sy(N)=N-[N/2]。
大小为 2 的完全二叉树的叶子结点个数 Sy(2)=1，N-[N/2]=2-[2/2]=1，命题成立。另不难知道大小为 0 或 1 的完全二叉树满足命题。
假设命题在 N=M 时成立，即大小为 M 的完全二叉树的叶子结点个数 Sy(N)=M-[M/2]，那么当 N=M+1 时，若：
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M 为偶数（度为 1 的结点个数为 1），那么大小为 M 的完全二叉树的最后一个结点没有兄弟结点，则大小为 M+1 的完全二叉树的叶子结点个数为大小为 M 的完全二叉树的叶子结点个数加一，即 Sy(M+1)=Sy(M)+1=M-[M/2]+1，而 M 为偶数，故 [M/2]=[(M+1)/2] 进而 M-[M/2]+1=M+1-[(M+1)/2]，故命题在 N=M+1 时成立；
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M 为奇数（度为 1 的结点个数为 0），那么大小为 M 的完全二叉树的最后一个结点有兄弟结点，则大小为 M+1 的完全二叉树的叶子结点个数与大小为 M 的完全二叉树的叶子结点个数相等，即 Sy(M+1)=Sy(M)=M-[M/2]，而 M 为奇数，故 [(M+1)/2]=[M/2]+1 进而 M-[M/2]=M+1-[(M+1)/2]，故命题在 N=M+1 时成立。
另：
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当 N 为偶数时，N-[N/2]=N-N/2=N/2=[(N+1)/2]；
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当 N 为奇数时 N-[N/2]=N+1-[(N+1)/2]=N+1-(N+1)/2=(N+1)/2=[(N+1)/2]。
故原命题也可写成：大小为 N 的完全二叉树的叶子结点个数为 [(N+1)/2]。
另一种方法：
二叉树的度指该节点引出的边数（节点下面的边），也即节点的子节点树。那么二叉树有 3 种度：
- n0：度为 0，即为叶子节点数量。
- n1：度为 1，即为只有左子树或者右子树的节点数量，对于完全二叉树，只可能存在一种情况，节点数为奇数时有一个节点只有一个左子树，所以 n1 = 0 or 1。
- n2：度为 2，即有左右节点的节点数量。
由二叉树的性质有 n0 = n2 + 1。
证明：
- 由于 N = n0 + n1 + n2，而 n0 = n2 + 1，所以 N = 2n0 + n1 - 1，n0=(N+1-n1)/2
- 对于完全二叉树，如果 N 为奇数，说明不存在只有左子节点的节点，n1 = 0, n0 = (N+1)/2；如果 N 为偶数，说明存在 1 个只有左子节点的节点，n1 = 1, n0 = N/2。可以合并为 n0 = [(N+1)/2]。
