由 Hack Floyd 问题引出的 Floyd 的正确性证明

摘自一篇博客，突然想写了，但是确实和原题做法也没啥关系（其实也有点关系）。感觉 Floyd 的动态规划还是非常高深的，我好像以前并没有完全理解清楚他在做什么，即使我做了灾后重建一题。

主要是一个结论：当我们求 \(d_{i,j}\) 的时候，枚举了中转点 \(k\)，当我们枚举的 \(k\) 的编号等于 \(path(u,v)\) 上编号最大的点的时候，我们就完成了更新。

我们使用数学归纳法：当我们求 \(d_{i,j}\) 的时候，我们要证明 \(d_{i,k}\) 与 \(d_{k,j}\) 的答案都是最优的。我们记 \(path(i,k)\) 和 \(path(k,j)\) 上的点分别为 \(k1\) 和 \(k2\)。由于 \(k1<k\) 且 \(k2<k\)，那么由归纳，我们的 \(d_{i,k}\) 和 \(d_{k,j}\) 就是最优的。又因为对于任意的 \(i\)，满足 \(d_{i,i}=0\)，于是我们就证明完毕了。