《组合数学》1.1 学习笔记

1.1 棋盘的完美覆盖

棋盘覆盖问题的探究

给出一个 \(8\times 8\) 的棋盘，再给定 \(1\times 2\) 的方块，方块可以随意旋转，请你构造出一种覆盖方式。这非常简单。且对于 \(n\times m\) 的情况，若 \(2\mid mn\)，那么一定也至少存在一种构造方式。

构造方式如下：若 \(2\mid mn\)，那么 \(2\mid m\) 或 \(2\mid n\)。不妨设 \(2\mid m\)。那么对于 \(n\) 行中的每一行，我们都可以横着放 \(\frac{m}{2}\) 块方块，因为 \(2\mid m\)。于是我们就构造完毕了。

至于覆盖的方案数我们不在此深究。

那么反过来，若 \(2 \nmid mn\)，那么我们也可以证明其没有构造方式。我们对棋盘进行黑白间隔染色，再对方块进行染色，上为黑，下为白。于是我们想要构造出一种方案，至少要让棋盘中黑色和白色的个数相同。而因为保证了 \(2 \nmid mn\)，两种方格的个数天然差 \(1\)，也就不可能构造出来了。

对于书中说的挖掉 \(8\times 8\) 的左上角和右下角的问题，我们也可以考虑用上面染色的方式证明其没有构造方案。

注意：这种方法只能证明不能构造，而不能证明其存在构造方案。这是其只有必要性而没有充分性导致的。

\(b\) - 方块覆盖问题

刚才的 \(1\times 2\) 方块被称为 \(2\) - 方块。而如若我们把其改为 \(1\times b\)，那么这样的方块就被称为 \(b\) - 方块。下面我们要研究的就是 \(b\) - 方块覆盖 \(m\times n\) 棋盘的问题。

根据上面 \(2\) - 方块覆盖问题的结论，我们进行大胆猜测：棋盘可以进行 \(b\) - 覆盖当且仅当 \(b\mid m\) 或 \(b \mid n\)。

当然因为数论因数余数关系复杂等诸多原因，这个结论可能不太好证明。于是我们考虑弱化结论，猜测若 \(b\) 为质数，那么结论成立。这是显然的，证明与上面的 \(2\) - 方块的证明并无二异。

下面我们证明真正的结论。我们假设棋盘可以被完美覆盖，并根据猜测设 \(m = pb+r\)，\(n = qb+s\)。其中 \(r,s \in [0, b-1]\)。我们不妨设 \(r\leq s\)。

接下来我们要证明的问题转化为证明 \(r=0\)。我们把棋盘进行 \(b\) - 染色，并把其分成 \(pb\times n\)（上方），\(r\times qb\)（左下方）和 \(r\times s\)（右下方）三部分。

注意到只有上方和左下方的棋盘必定都可以被完美覆盖。那么我们只需要讨论 \(r\times s\) 的部分即可。假设我们认为 \(r\neq 0\)。

一方面我们考虑颜色 \(1\) 出现了几次，注意到由于棋盘进行了 \(b\) - 染色，故在 \(r\times s\) 的小棋盘中，每行只会出现一个 \(1\)，出现了 \(r\) 个 \(1\)，另一方面每种颜色与 \(1\) 的地位等价，故总应占有 \(r\times b\) 个方格。得到 \(rs = rb\)，得到 \(b=s\)，与 \(s\) 的定义域矛盾。所以 \(r\) 必定为 \(0\)。

于是我们的结论就证明完毕了。

下面我们根据 \(2\) - 方块的构造对结论进行更强的改写。在构造中，我们使用了全横 / 全竖的构造，我们称这种构造是平凡的。这基于我们知道 \(2\mid n\) 或 \(2\mid m\)。而在上面的结论中我们也证明了 \(b\mid n\) 或 \(b\mid m\)。所以我们依然可以这样构造。

于是我们得出结论：一个棋盘有构造的充要条件是其有平凡构造。也就是说，一个棋盘只要有构造，那么我们就可以把这个构造改成平凡的。

\(4\times 4\) 棋盘与断层线

设有一个 \(4\times 4\) 的棋盘，其有三条竖线和三条横线是有用的，因为沿着这些线的任意一条都可以把棋盘切割成两份。如果现在棋盘已经被一种完美覆盖了，且切割后两个小份也都被完美覆盖了，那么称这条线为这个完美覆盖的一条断层线。问是否存在一种覆盖，使得其没有断层线。

我们设 \(x_1,x_2,x_3\) 为三条横线所切割的方块数。要保证其没有断层线，就要保证 \(x_1,x_2,x_3>0\)。很容易发现 \(x_1,x_2,x_3\) 都是偶数，于是 \(x_1+x_2+x_3\geq 6\)。同理设出 \(y_1,y_2,y_3\) 表示三条竖线所切割的方块数。那么 \(y_1+y_2+y_3\geq 6\)。

于是 \(x_1+x_2+x_3+y_1+y_2+y_3\geq 12>8\)，于是矛盾，于是 \(4\times 4\) 棋盘的完美匹配都必然存在断层线。

这个例子本质上是一个完美匹配拼合问题，很具有启发性。