动态规划之01背包详解【解题报告】

01背包问题,是用来介绍动态规划算法最经典的例子,网上关于01背包问题的讲解也很多,我写这篇文章力争做到用最简单的方式,最少的公式把01背包问题讲解透彻。

01背包的状态转换方程 f[i,j] = Max{ f[i-1,j-Wi]+Pi( j >= Wi ),  f[i-1,j] }

f[i,j]表示在前i件物品中选择若干件放在承重为 j 的背包中,可以取得的最大价值。
Pi表示第i件物品的价值。
决策:为了背包中物品总价值最大化,第 i件物品应该放入背包中吗 ?
 

题目描述:

有编号分别为a,b,c,d,e的五件物品,它们的重量分别是2,2,6,5,4,它们的价值分别是6,3,5,4,6,现在给你个承重为10的背包,如何让背包里装入的物品具有最大的价值总和?

 

name weight value 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
a 2 6 0 6 6 9 9 12 12 15 15 15
b 2 3 0 3 3 6 6 9 9 9 10 11
c 6 5 0 0 0 6 6 6 6 6 10 11
d 5 4 0 0 0 6 6 6 6 6 10 10
e 4 6 0 0 0 6 6 6 6 6 6 6

 

只要你能通过找规律手工填写出上面这张表就算理解了01背包的动态规划算法。

首先要明确这张表是至底向上,从左到右生成的。

为了叙述方便,用e2单元格表示e行2列的单元格,这个单元格的意义是用来表示只有物品e时,有个承重为2的背包,那么这个背包的最大价值是0,因为e物品的重量是4,背包装不了。

对于d2单元格,表示只有物品e,d时,承重为2的背包,所能装入的最大价值,仍然是0,因为物品e,d都不是这个背包能装的。

同理,c2=0,b2=3,a2=6。

对于承重为8的背包,a8=15,是怎么得出的呢?

根据01背包的状态转换方程,需要考察两个值,

一个是f[i-1,j],对于这个例子来说就是b8的值9,另一个是f[i-1,j-Wi]+Pi;

在这里,

 f[i-1,j]表示我有一个承重为8的背包,当只有物品b,c,d,e四件可选时,这个背包能装入的最大价值

f[i-1,j-Wi]表示我有一个承重为6的背包(等于当前背包承重减去物品a的重量),当只有物品b,c,d,e四件可选时,这个背包能装入的最大价值

f[i-1,j-Wi]就是指单元格b6,值为9,Pi指的是a物品的价值,即6

由于f[i-1,j-Wi]+Pi = 9 + 6 = 15 大于f[i-1,j] = 9,所以物品a应该放入承重为8的背包

 1 #include<iostream>
 2 using namespace std;
 3 #define  V 1500
 4 unsigned int f[10][V];//全局变量,自动初始化为0
 5 unsigned int weight[10];
 6 unsigned int value[10];
 7 #define  max(x,y)    (x)>(y)?(x):(y)
 8 int main()
 9 {
10     
11     int N,M;
12     cin>>N;//物品个数
13     cin>>M;//背包容量
14     for (int i=1;i<=N; i++)
15     {
16         cin>>weight[i]>>value[i];
17     }
18     for (int i=1; i<=N; i++)
19         for (int j=1; j<=M; j++)
20         {
21             if (weight[i]<=j)
22             {
23                 f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-weight[i]]+value[i]);
24             }
25             else
26                 f[i][j]=f[i-1][j];
27         }
28     
29     cout<<f[N][M]<<endl;//输出最优解
30 }

可以进一步优化内存使用。上面计算f[i][j]可以看出,在计算f[i][j]时只使用了f[i-1][0……j],没有使用其他子问题,因此在存储子问题的解时,只存储f[i-1]子问题的解即可。这样可以用两个一维数组解决,一个存储子问题,一个存储正在解决的子问题。

 

再进一步思考,计算f[i][j]时只使用了f[i-1][0……j],没有使用f[i-1][j+1]这样的话,我们先计算j的循环时,让j=M……1,只使用一个一维数组即可。

for i=1……N

for j=M……1

f[j]=max(f[j],f[j-weight[i]+value[i])

 

 1 #include<iostream>
 2 using namespace std;
 3 #define  V 1500
 4 unsigned int f[V];//全局变量,自动初始化为0
 5 unsigned int weight[10];
 6 unsigned int value[10];
 7 #define  max(x,y)    (x)>(y)?(x):(y)
 8 int main()
 9 {
10     
11     int N,M;
12     cin>>N;//物品个数
13     cin>>M;//背包容量
14     for (int i=1;i<=N; i++)
15     {
16         cin>>weight[i]>>value[i];
17     }
18     for (int i=1; i<=N; i++)
19         for (int j=M; j>=1; j--)
20         {
21             if (weight[i]<=j)
22             {
23                 f[j]=max(f[j],f[j-weight[i]]+value[i]);
24             }            
25         }
26     
27     cout<<f[M]<<endl;//输出最优解
28 }

 

posted @ 2017-05-06 07:31 Angel_Kitty 阅读(...) 评论(...) 编辑 收藏
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