随笔分类 - 数学
摘要：有一堆性质。原始的定理的是： 加上至少满足奇数个的，减去至少满足偶数个的。
阅读全文
摘要：核心思想是将被积区间分为若干小段，每段套用二次函数的积分公式进行计算。 具体而言，对于一个二次函数 \(f(x)\)，有： \[\int_{l}^{r} f(x) \mathrm{d} x=\frac{(r-l)\left(f(l)+f(r)+4 f\left(\frac{l+r}{2}\right
阅读全文
摘要：各种各样的恒等式 \(x=\sum_{d|x}\varphi(d)\)【GCD SUM】p.s. 这个题就直接把 gcd 替换成 \(\varphi\) 就好了。 exgcd 对于一个关于 \(x,y\) 的方程：\(ax+by=c\)。 首先可以用裴蜀定理判有无解，即有解的充要条件是 \(\gcd
阅读全文
摘要：【笔记】普通生成函数 0 前置芝士 0.1 等比数列 \(a_i=a_{i-1}q\Rightarrow a_i=a_1q^{i-1}\) \(S=\sum\limits_{i=1}^n a_i\Rightarrow qS=\sum\limits_{i=2}^{n+1}a_i=S-a_{n+1}+a
阅读全文
摘要：组合恒等式和二项式定理 0 定义 \(\begin{aligned}{n\choose m}=\dfrac {n!}{m!(n-m)!}\end{aligned}\) 1 常规 \(\begin{aligned}{n\choose m}={n\choose n-m}\end{aligned}\) 还
阅读全文
摘要：0 约定 \(\exp(x)=e^x\)。 有些地方标注有 ?，系本人不太能保证严谨性的部分。 1 复数 (Complex) 1.1 三种形式 代数形式：\(z=a+bi\)，其中 \(a,b\in\mathbb R\)。 三角形式：\(z=r(\cos\theta+i\sin\theta)\)，其
阅读全文
摘要：0 约定 \([n]=[1,n]\cap\mathtt Z\) 1 数论分块 形如 $S(n)=\sum\limits_{i=1}^nf(i)g(\left \lfloor \dfrac{n}{i} \right \rfloor) $。 可以在 \(O(\sqrt n)\) 的时间复杂度内求解。 1
阅读全文
摘要：狄利克雷卷积，又叫数论卷积。本质上是定义的一种 新运算。 1 定义 对于两个数论函数 \(f(x)\) 和 \(g(x)\)，则她们的狄利克雷卷积定义为： \[(f*g)(x)=\sum_{d|x}f(d)g(\frac x d)=\sum_{ab=x}f(a)g(b) \]2 一些特别的数论函数
阅读全文
摘要：关于期望值可加的转移 对于：\(E(x) \Rightarrow E(y)\)（其中 \(x,y\) 是两个状态 \[E(y)=\sum \] \(E(X+Y)=E(X)+E(Y)\) 不论独立性，均适用 \(E(XY)=E(X)E(Y)\) 仅独立性，适用 \(E(X) = \sum\ilimts
阅读全文
摘要：很多时候如果元素是等价的，那么容斥本质上就是 \(i=0\) 的二项式反演。【[ARC096E] Everything on It】 其实好像所谓广义容斥就是二项式定理（ 1 反演常⽤形式 这里令 \(N\) 为总的 不同 的元素个数。 1.0 关于「钦定」的概念 对于 \(N\) 个元素，我们人为
阅读全文
摘要：【笔记】博弈论 0 基本概念 & 性质 0.1 博弈论 1 SG 函数 ps. 通过 SG 函数来理解三个基本模型，也是不错的选择。 1.2 定义 \(\text{SG}(x)=\text{mex}\{\text{SG}(y_i)\}\)（其中 \(y_i\) 为 \(x\) 的后继状态） 1.3
阅读全文
摘要：1 关于取模 1.1 指数取模 —— 扩展欧拉定理 扩展欧拉定理 \[a^b\equiv \begin{cases} a^{b\bmod\varphi(p)},\,&\gcd(a,\,p)=1&(1)\\ a^b,&\gcd(a,\,p)\ne1,\,b<\varphi(p)&(2)\\ a^{b\
阅读全文
浙公网安备 33010602011771号