[Poj 2187] 计算几何之凸包(二) {更高效的算法}

{

承上一节

继续介绍点集的凸包 

(下文中所有凸包 若不做特殊说明均指点集的凸包)

这一节介绍相比更高效的算法

}

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一.卷包裹算法(Gift Wrapping Algorithm)的特性

前面提到过卷包裹算法的复杂度问题

由于卷包裹算法是两重循环实现的 因此很好分析它的复杂度

while true do
    begin
    k:=0;
    inc(m); ch[m]:=j;
    for i:=1 to n do
        if (i<>j)and((k=0)or
        cmp(p[j],p[k],p[i]))
            then k:=i;
    if k=temp then break;
    j:=k;
    end;

内部循环N次 外循环的次数决定于凸包上的点数H

所以卷包裹算法复杂度为O(HN) 这个复杂度很有特点

考虑一个随机点集的凸包上的点数往往很少 但是最坏情况下是O(N)级别的

比如所有的点都在一个圆上的时候

这就决定了卷包裹算法很适合随机的点集 但是如果是刻意构造的数据或是比较特殊的数据

就会达到O(N^2)的最坏复杂度 这是我们不愿意看到的

下面介绍最坏情况下复杂度更好的Graham扫描算法(Graham Scan Algorithm)

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二.Graham扫描算法(Graham Scan Algorithm)

Graham扫描算法维护一个凸壳 通过不断在凸壳中加入新的点和去除影响凸性的点 最后形成凸包

The Graham scan is a method of computing the convex hull of a finite set of points in the plane with time complexity O(n log n). It is named after Ronald Graham, who published the original algorithm in 1972.[1] The algorithm finds all vertices of the convex hull ordered along its boundary.

http://en.wikipedia.org/wiki/Graham_scan

算法主体由两部分组成 先是排序 后是扫描 分块讲解一下

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1.点集排序

为了得到加入新点的顺序 Graham扫描法的第一步是对点集排序

排序是对杂乱的点集进行了梳理 这也是这种算法能够得到更高效率的根本原因

排序的方法也有两种 极角坐标排序(极角序) 和 直角坐标排序(水平序)

前者好理解一些 但是在实现的时候 后者更方便

先说极角序 为了极角排序 我们先得得到一个参考点

一般的 我们取最左边(横坐标最小)的点作为参考点 如果有多个这样的点就取最下面的(纵坐标最小)

看这样一个例子 这是一个任意给出的平面点集:

参考点的定义:在横坐标最小的情况下取纵坐标最小的点

所以所有的点只能在这个黄色的半平面中 而且正上方为闭(可取得) 正下方为开(不可取)

这就决定了参考点的性质:点集中任意两点和参考点所成的到角为锐角

这样我们取得参考点 然后再考虑极角排序

极角排序以参考点为极角坐标系原点 各个点的极角为关键字

由于上面我们得到的参考点的性质 我们可以设所有点的极角均在(-90,90]之间

排序完成后应该是这样的:

比较极角我们仍然可以利用向量的叉积

叉积在这里已经介绍了 http://www.cnblogs.com/Booble/archive/2011/02/28/1967179.html

同样由于参考点的性质 所有向量之间的到角都是在180度以内 不会产生错误

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2.Graham的栈扫描

Graham的扫描是一个很优美的过程 用到的数据结构也很简单 仅仅是一个栈而已

核心的思想是按照排好的序 依次加入新点得到新的边

如果和上一条边成左转关系就压栈继续 如果右转就弹栈直到和栈顶两点的边成左转关系 压栈继续

实现的时候我们不用存边 只需要含顺序在栈里存点 相邻两点就是一条边

由于我们时时刻刻都保证栈内是一个凸壳 所以最后扫描完毕 就得到了一个凸包

下面还是继续上面的那个样例 演示一下栈扫描的过程

这样Graham扫描算法基本完成

复杂度是排序O(Nlog2N) 扫描O(N) {每个点仅仅出入栈一次}

合起来是一个O(Nlog2N)的算法 很优秀

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3.双重共线点难题

和卷包裹算法一样 我们同样还要考虑共线点问题

而且Graham扫描算法的共线问题更复杂 所以需要仔细考虑

i).排序时的共线问题

如果极角相同 我们应该怎么定先后呢?

我们得加上第二关键字距离 比如极角相同 距离参考点近的先

不过不管是近的先还是 远的先 开始和结束的两条边总是矛盾的

我们必须对其中一条特殊处理 除了结束边外距离近的先 结束边上距离远的先

这就是为什么极角排序不是很好实现的原因了 下面会介绍一下水平序

ii).扫描时的共线问题

这个和卷包裹算法的处理放法如出一辙

如果需要保留共线的点就在到角相同时取距离最近的

如果仅仅需要凸包极点就取距离最远的

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4.直角坐标排序(水平序)

直角坐标排序方法没有了极角排序的不足

以横坐标为第一关键字 纵坐标为第二关键字 排序点集

然后从第一个点开始 分别利用Graham扫描生成左链和右链

需要注意以下两点:

i).左链和右链的旋转方向是相反的

ii).注意生成第二条链要忽略第一条链上的点

由于水平序的CMP函数比较简单 代码也更短

还有一件有意思的事 Graham扫描算法是1972年提出的 卷包裹算法是1973年提出的

其实不奇怪 这两个算法本来也没有优劣 所用的思想不同 各自善于处理不同的情况

Graham扫描所用时间在点集随机时 还不如卷包裹算法快

正如第一节所说 卷包裹算法已经可以处理大部分情况 也是一个可取的算法

实际应用中点集更趋向于均匀 而不是集中在凸包上

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最后给一下比较难实现的极角排序代码

{$inline on}
const    zero=1e-6; maxn=100000;
type    point=record x,y:extended; end;
var    p,ch:array[1..maxn]of point;
    i,j,n,m,temp:longint;
function sgn(x:extended):longint; inline;
begin
if abs(x)<zero then exit(0);
if x<0 then sgn:=-1 else sgn:=1;
end;
function cross(a,b,c,d:point):extended; inline;
begin
cross:=(b.x-a.x)*(d.y-c.y)-(d.x-c.x)*(b.y-a.y);
end;
function dist(a,b:point):extended; inline;
begin
dist:=sqr(a.x-b.x)+sqr(a.y-b.y);
end;
function cmp1(a,b,c:point):boolean; inline;
var    temp:longint;
begin
temp:=sgn(cross(a,b,a,c));
if temp<>0 then exit(temp>0); {*B}
cmp1:=dist(a,b)<dist(a,c);
end;
function cmp2(a,b,c:point):boolean; inline;
var    temp:longint;
begin
temp:=sgn(cross(a,b,b,c));
if temp<>0 then exit(temp<0); {*B}
cmp2:=dist(a,b)<dist(a,c); {*A}
end;
procedure swap(var a,b:point); inline;
var    temp:point;
begin
temp:=a; a:=b; b:=temp;
end;
procedure sort(l,r:longint);
var    i,j:longint;
    x:point;
begin
i:=l; j:=r;
x:=p[(l+r)>>1];
repeat
while cmp1(p[1],p[i],x) do inc(i);
while cmp1(p[1],x,p[j]) do dec(j);
if not(i>j)
    then begin
    swap(p[i],p[j]);
    inc(i); dec(j);
    end;
until i>j;
if i<r then sort(i,r);
if l<j then sort(l,j);
end;
begin
assign(input,'Hull.in'); reset(input);
assign(output,'Hull2.out'); rewrite(output);
readln(n);
for i:=1 to n do
    begin
    readln(p[i].x,p[i].y);
    if (p[i].x<p[1].x)or
    (sgn(p[i].x-p[1].x)=0)and(p[i].y<p[1].y)
        then swap(p[1],p[i]);
    end;
sort(2,n);
while i>2 do
    begin
    if sgn(cross(p[1],p[i],p[1],p[i-1]))<>0
        then break; dec(i);
    end;
temp:=(i+n+1)>>1;
for j:=n downto temp do
    swap(p[j],p[i+n-j]);
m:=1; ch[1]:=p[1];
inc(n); p[n]:=p[1];
for i:=2 to n do
    begin
    while m>1 do
        begin
        if not cmp2(ch[m-1],ch[m],p[i])
            then break; dec(m);
        end;
    inc(m); ch[m]:=p[i];
    end;
for i:=1 to m-1 do
    writeln(ch[i].x:0:2,' ',ch[i].y:0:2);
close(input); close(output);
end.

*A Change Direction
*B Remove Colinear Points

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三.快速凸包算法(Quickhull Algorithm)

对比Graham扫描算法和卷包裹算法

我们发现 Graham扫描算法在凸包上的点很密集时仍然适用

卷包裹算法在凸包上点集随机分布时是很高效的

那么有没有两个优点都具备的算法呢?

是有的! 快速凸包算法(Quickhull Algorithm)就是这样的一个算法

快速凸包算法是一个和快速排序(Quicksort Algorithm)神似的算法

尽管快速排序的最坏复杂度可以达到O(N^2)

但是有着极小的常数 实现方便 思路优美 绝大多数情况特别高效的快速排序 还是赢得了更多人的青睐

快速凸包算法也是这样 尽管可以构造一个数据使之达到O(N^2)的复杂度

但这需要刻意针对程序经过分析 才能做到 是实际应用中根本不会碰到的情况

在点集均匀分布时 快速凸包的复杂度更是达到了O(N) 是上面两种算法难以企及的

在绝大多数情况下 平均复杂度是O(Nlog2N) 也很高效

快速凸包继承了快速排序分治的思想 这是一个递归的过程

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伪代码如下:

 

void 快速凸包(P:点集 , S:向量 /*S.p,S.q:点)*/ ){
　　/* P 在 S 左侧*/
　　选取 P 中距离 S 最远的 点 Y ;
　　向量 A <- { S.p , Y } ; 向量 B <- { Y , S.q } ;
　　点集 Q <- 在 P 中 且在 A 左侧的点 ;
　　点集 R <- 在 P 中 且在 B 左侧的点 ; /* 划分 */
　　快速凸包 ( Q , A ) ; /* 分治 */
　　输出 (点 Y) ; /* 按中序输出 保证顺序*/
　　快速凸包 ( P , B ) ; /* 分治 */
}

初始化就选取 最左下和最右上的点 划分好 然后调用两次快速凸包函数分别求上下凸包

其中 选取和划分都需要用到向量的叉乘 注意方向

另外 存储点集可以用数组里的连续一段 传参的时候就传左右下标

划分的时候就是给数组交换元素 使新的点集 变成连续的一段

这里有一个很好的演示

http://www.cs.princeton.edu/courses/archive/spr10/cos226/demo/ah/QuickHull.html

还要补充说明一下

快速凸包在所有点都在圆周上的时候还是O(Nlog2N) 不过会比Graham扫描算法慢一些

可以说 这种数据是Graham扫描法的最好情况 一遍走完就行了

构造快速凸包的最坏情况就是使划分不均等 和构造快速排序最坏情况一样

贴以下我很辛苦写出来的代码吧 为了好看些 还心血来潮用cpp写了...

#include <iostream>
#include <math.h>
#define maxn 100000
#define zero 1e-12
#define sgn(x) (fabs(x)<zero?0:(x>0?1:-1))
#define cross(a,b,c) ((b.x-a.x)*(c.y-a.y)-(b.y-a.y)*(c.x-a.x))
#define cmp(a,b) (a.x<b.x || sgn(a.x-b.x)==0 && a.y<b.y)

using namespace std;
struct point{
    double x,y;
}p[maxn];
double s[maxn];

void hull(int l,int r,point a,point b){
    int x=l,i=l-1,j=r+1,k;
    for (k=l;k<=r;k++){
        double temp=sgn(s[x]-s[k]);
        if (temp<0 || temp==0 && cmp(p[x],p[k])) x=k;
    }
    point y=p[x];
    for (k=l;k<=r;k++){
        s[++i]=cross(p[k],a,y);
        if (sgn(s[i])>0) swap(p[i],p[k]); else i--;
    }
    for (k=r;k>=l;k--){
        s[--j]=cross(p[k],y,b);
        if (sgn(s[j])>0) swap(p[j],p[k]); else j++;
    }
    if (l<=i) hull(l,i,a,y);
    printf("%.4lf %.4lf\n",y.x,y.y);
    if (j<=r) hull(j,r,y,b);
}

int main(){
    freopen("CH2D.in","r",stdin);
    freopen("CH2D1.out","w",stdout);
    int n,i,x=0;
    scanf("%d",&n);
    for (i=1;i<=n;i++){
        scanf("%lf %lf",&p[i].x,&p[i].y);
        if (x==0 || cmp(p[i],p[x])) x=i;
    }
    swap(p[1],p[x]);
    printf("%.4lf %.4lf\n",p[1].x,p[1].y);
    hull(2,n,p[1],p[1]);
    return 0;
}

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四.凸包算法复杂度下界

(引自<算法艺术与信息学竞赛>)

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五.高效算法的应用

这里有一个平面最远点对的问题 可以利用凸包解决

Poj 2187 http://poj.org/problem?id=2187

由于最远点对必然在凸包上

我们先求凸包 然后枚举凸包上的点 不过这个复杂度最坏是O(N^2)的

不过凸包在很多情况下会改善问题的平均复杂度

凸包上的点通常很少 所以这个问题也可以过

篇幅关系 在下一节会介绍降低最坏复杂度的旋转卡壳算法

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文中部分图片来源

http://westhoffswelt.de/blog/0040_quickhull_introduction_and_php_implementation.html

http://en.wikipedia.org/wiki/Graham_scan