如何通俗易懂地解释卷积?

  卷积这个概念,很早以前就学过,但是一直没有搞懂。教科书上通常会给出定义,给出很多性质,也会用实例和图形进行解释,但究竟为什么要这么设计,这么计算,背后的意义是什么,往往语焉不详。一个公式倘若倘若给不出结合实际的直观的通俗的解释(也就是背后的“物理”意义),就觉得少了点什么,觉得不是真的懂了。

  教科书上一般定义函数  $f, g$  的卷积  $f * g(n)$  如下:

  连续形式:

  $(f * g)(n)=\int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) g(n-\tau) d \tau$

  离散形式:

  $(f * g)(n)=\sum_{\tau=-\infty}^{\infty} f(\tau) g(n-\tau)$

  这两个式子有一个共同的特征:

    $n=\tau+(n-\tau)$

  这个特征有什么意义?

  我们令  $x=\tau, y=n-\tau $  ,那么  $x+y=n $  就是下面这些直线: 

    

  如果遍历这些直线,就好比,把毛巾沿着角卷起来:

    

 

离散卷积的例子:丢骰子

  我有两枚骰子,把这两枚骰子都抛出去,求两枚骰子点数加起来为 4 的概率是多少? 

  这里问题的关键是,两个骰子加起来要等于 4,这正是卷积的应用场景。

  我们把骰子各个点数出现的概率表示出来:

    

 

  那么,两枚骰子点数加起来为4的情况有:

    

 

      

     

  因此,两枚骰子点数加起来为4的概率为:

     $f(1) g(3)+f(2) g(2)+f(3) g(1)$

  符合卷积的定义,把它写成标准的形式就是:

    $(f * g)(4)=\sum \limits_{m=1}^{3} f(4-m) g(m)$

连续卷积的例子:做馒头

  楼下早点铺子生意太好了,供不应求,就买了一台机器,不断的生产馒头。

  假设馒头的生产速度是  $f(t)$ ,那么一天后生产出来的馒头总量为:

    $\int_{0}^{24} f(t) d t$

  馒头生产出来之后,就会慢慢腐败,假设腐败函数为 g(t) ,比如,10个漫头,24小时会腐败:

    $10 * g(t)$

  想想就知道,第一个小时生产出来的馒头,一天后会经历24小时的腐败,第二个小时生产出来的馒 头,一天后会经历 23 小时的腐败。
  如此,我们可以知道,一天后,馒头总共腐败了:

    $\int_{0}^{24} f(t) g(24-t) d t$

  这就是连续的卷积。

 

因上求缘,果上努力~~~~ 作者:cute_Learner,转载请注明原文链接:https://www.cnblogs.com/BlairGrowing/p/15797752.html

posted @ 2022-01-13 15:30  cute_Learner  阅读(40)  评论(0编辑  收藏  举报