[LeetCode(Q69)] Sqrt(x) (编程实现sqrt)

Q: 

Implement int sqrt(int x).

Compute and return the square root of x.

A:

这里给出两种实现方法:一是二分搜索,二是牛顿迭代法。

1. 二分搜索

对于一个非负数n,它的平方根不会小于大于(n/2+1)(谢谢@linzhi-cs提醒)。在[0, n/2+1]这个范围内可以进行二分搜索,求出n的平方根。

 1 int sqrt(int x) {
 2     long long i = 0;
 3     long long j = x / 2 + 1;
 4     while (i <= j)
 5     {
 6         long long mid = (i + j) / 2;
 7         long long sq = mid * mid;
 8         if (sq == x) return mid;
 9         else if (sq < x) i = mid + 1;
10         else j = mid - 1;
11     }
12     return j;
13 }

注:在中间过程计算平方的时候可能出现溢出,所以用long long。

2. 牛顿迭代法

   为了方便理解,就先以本题为例:

   计算x2 = n的解,令f(x)=x2-n,相当于求解f(x)=0的解,如左图所示。

   首先取x0,如果x0不是解,做一个经过(x0,f(x0))这个点的切线,与x轴的交点为x1

   同样的道理,如果x1不是解,做一个经过(x1,f(x1))这个点的切线,与x轴的交点为x2

   以此类推。

   以这样的方式得到的xi会无限趋近于f(x)=0的解。

   判断xi是否是f(x)=0的解有两种方法:

   一是直接计算f(xi)的值判断是否为0,二是判断前后两个解xi和xi-1是否无限接近。

 

经过(xi, f(xi))这个点的切线方程为f(x) = f(xi) + f’(xi)(x - xi),其中f'(x)为f(x)的导数,本题中为2x。令切线方程等于0,即可求出xi+1=xi - f(xi) / f'(xi)。

继续化简,xi+1=xi - (xi- n) / (2xi) = xi - xi / 2 + n / (2xi) = xi / 2 + n / 2xi = (xi + n/xi) / 2。

有了迭代公式,程序就好写了。关于牛顿迭代法,可以参考wikipedia以及百度百科

 1 int sqrt(int x) {
 2     if (x == 0) return 0;
 3     double last = 0;
 4     double res = 1;
 5     while (res != last)
 6     {
 7         last = res;
 8         res = (res + x / res) / 2;
 9     }
10     return int(res);
11 }

牛顿迭代法也同样可以用于求解多次方程的解。

P.S. 本题是求解整数的平方根,并且返回值也是整型。在上述代码基础上稍微做修改,就可以同样适用于double(仅限方法2)。

 1 double sqrt(double x) {
 2     if (x == 0) return 0;
 3     double last = 0.0;
 4     double res = 1.0;
 5     while (res != last)
 6     {
 7         last = res;
 8         res = (res + x / res) / 2;
 9     }
10     return res;
11 }

 

关于LeetCode的其他题目,可以参考我的GitHub

references:本文讲解牛顿迭代法使用的图片来自wikipedia。

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posted @ 2013-04-18 16:46  AnnieKim  阅读(23310)  评论(21编辑  收藏  举报