随笔分类 - 数学
摘要：首先有个关键性的结论就是一个数的合数幂就是超级幂。最小的合数是4，所以枚举底数的上限是pow(2^64, 1/4) = 2^16 = 65536对于底数base，指数的上限就是ceil(64*log(2)/log(base))，注意这个上限不能取到，是个开区间 1 #include 2 #incl...
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摘要：我一直相信这道题有十分巧妙的解法的，去搜了好多题解发现有的太过玄妙不能领会。最简单的就是枚举n的所有约数，然后二重循环找lcm(a, b) = n的个数 1 #include 2 #include 3 #include 4 using namespace std; 5 6 int gcd(i...
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摘要：求mk整除n!，求k的最大值。现将m分解质因数，比如对于素数p1分解出来的指数为k1，那么n!中能分解出多少个p1出来呢？考虑10!中2的个数c：1~10中有10/2个数是2的倍数，c += 5；1~10中有10/4个数是4的倍数，所以c += 2，其中有10/8 = 1个数是8的倍数，所以c +=...
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摘要：将K个不超过N的非负整数加起来，使它们的和为N，一共有多少种方法。设d(i, j)表示j个不超过i的非负整数之和为i的方法数。d(i, j) = sum{ d(k, j-1) | 0 ≤ k ≤ i}，可以理解为前j-1个数之和为i-k，最后一个数为k还有一种更快的递推办法，把这个问题转化为将N个小...
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摘要：好吧，被大白书上的入门题给卡了。=_=||已知LCM(A, B) = C，已知A和C，求最小的B一开始我想当然地以为B = C / A，后来发现这时候的B不一定满足gcd(A, B) = 1A要不断地除去gcd(A, B)，直到满足gcd(A, B) = 1B最后就应该乘上A除去的值 1 #incl...
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摘要：桥的间隔数为n = ceil(B/D)，每段绳子的长度为L / n，相邻两塔之间的距离为 B / n主要问题还是在于已知抛物线的开口宽度w 和 抛物线的高度h 求抛物线的长度弧长积分公式为：设抛物线方程为f(x) = ax2，则这段抛物线弧长为查积分表或者自己分部积分算一下：二分抛物线高度x，使得每...
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摘要：给出的曲线要么是开口向上的抛物线要么是直线，但所定义的F(x)的图形一定是下凸的。注意一点就是求得是极小值，而不是横坐标，样例也很容易误导人。 1 #include 2 #include 3 using namespace std; 4 5 const int maxn = 10000 + 1...
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摘要：很水的一道题，因为你发现这个函数是单调递减的，所以二分法求出函数的根即可。 1 #include 2 #include 3 //using namespace std; 4 5 const double e = 1e-14; 6 double p, q, r, s, t, u; 7 8 in...
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摘要：书上分析的太清楚，我都懒得写题解了。=_=|| 1 #include 2 #include 3 #include 4 #include 5 using namespace std; 6 7 const int maxp = 100; 8 const int maxn = 500; 9 bo...
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摘要：将这n个格子看做一个向量，每次操作都是一次线性组合，即vn+1 = Avn，所求答案为Akv0A是一个n*n的矩阵，比如当n=5，d=1的时候：不难发现，A是个循环矩阵，也就是将某一行所有元素统一向右移动一位便得到下一行。而且循环矩阵相乘仍然是循环矩阵，所以只要求出Ak的第一行就行了。 1 #inc...
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摘要：给出一个d阶线性递推关系，求f(n) mod m的值。,求出An-dv0，该向量的最后一个元素就是所求。 1 #include 2 #include 3 #include 4 using namespace std; 5 6 const int maxn = 20; 7 8 typedef...
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摘要：思路挺简单的，题目中的每个命令(包括命令的逆)相当于一个置换。用O(n2k)的时间复杂度从右往左求出这些置换的乘积A，然后求m使Am = I(I为全等置换)还是先把A分解循环，m则等于所有循环节长度的最小公倍数。需要注意的是：执行命令是从右往左执行的，这是题目中说的=_=其他命令还好，mix那个命令...
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摘要：把{1, 2, 3,,, n}叫做自然排列本题便是求有多少个n元排列P要至少经过k次交换才能变为自然排列。首先将排列P看做置换，然后将其分解循环，对于每个长度为i的循环至少要交换i-1次才能归位。设有d(i, j)个i元排列至少交换j次才能变成自然排列。则有d(i, j) = d(i-1, j) +...
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摘要：给出一个26个大写字母的置换B，是否存在A2 = B每个置换可以看做若干个循环的乘积。我们可以把这些循环看成中UVa 10294的项链， 循环中的数就相当于项链中的珠子。A2就相当于将项链旋转了两个珠子间的距离，珠子0、2、4...构成一个循环，一共有gcd(n, 2)个循环，每个循环的长度为n /...
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摘要：Burnside定理：若一个着色方案s经过置换f后不变，称s为f的不动点，将置换f的不动点的数目记作C(f)。等价类的数目等于所有C(f)的平均值。一个项链，一个手镯，区别在于一个能翻转一个不能，用t种颜色染n颗珠子，求等价类的个数。旋转置换群一共有n个置换，分别对应将项链整体逆时针旋转0个、1个、...
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摘要：设f(x)表示x转移到1需要的次数的期望，p(x)为不超过x的素数的个数，其中能整除x的有g(x)个则有(1-g(x)/p(x))的概率下一步还是转移到x，剩下的情况各有1/p(x)的概率转移到x/y根据全期望公式，f(x) = 1 +(1-g(x)/p(x)) * f(x) + sum{ 1/p(...
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摘要：设d(i, j)表示前i局每局获胜的比例均不超过p，且前i局共获胜j局的概率。d(i, j) = d(i-1, j) * (1-p) + d(i-1, j-1) * p则只玩一天就就不再玩的概率Q = sum{d(n, i) | 0 ≤ i≤ p*n}那么期望为这是一个无穷级数，可以用高数的一些知识...
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摘要：高中也做个这种类似的题目，概率空间是[t1, t2] × [s1, s2]的矩形，设x、y分别代表两辆列车到达的时间，则两人相遇的条件就是|x - y| 2 #include 3 #include 4 using namespace std; 5 6 struct Point 7 { 8 ...
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摘要：Tribble是麻球？因为事件都是互相独立的，所以只考虑一只麻球。设f(i)表示一只麻球i天后它以及后代全部死亡的概率，根据全概率公式：f(i) = P0 + P1 * f(i-1) + P2 * f(i-1)2 + ... + Pn * f(n)n每个麻球死亡是独立的，所以Pj * f(i-1)j...
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摘要：如果已经有三个相邻的X，则先手已经输了。 如果有两个相邻的X或者两个X相隔一个.，那么先手一定胜。 除去上面两种情况，每个X周围两个格子不能再放X了，因为放完之后，对手下一轮再放一个就输了。 最后当“禁区”布满整行，不能再放X了，那个人就输了。 每放一个X，禁区会把它所在的线段“分割”开来，这若干个
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