点分治学习笔记

点分治学习笔记

淀粉质一般用来处理树上的点对问题，代码复杂度适中 。

本文中通过以下例题来解释点分治，这是一道经典题 (poj1741)：
给出一棵树，有边权，求树上路径长度不超过 \(k\) 的条数。

可以直接考虑一棵以节点 \(u​\) 为根的树的答案，显然可以分成两种情况：

1.经过 u 的路径；
2.不经过 u 的路径。

接着从 \(u\) 开始 \(dfs\) 处理出子树上的点到 \(u\) 的距离，将所有的距离放进一个数组 \(c\) ，然后排序后用尺取法就可以得到经过 \(u\) 的路径条数，这样就解决了情况 \(1\) ??????
显然不是这样，还需要考虑一种情况：某两点的 \(lca\) 并不是 \(u\) ，但是他们到 \(u\) 的距离之和并没有超过 \(k\)，只需要把 \(u\) 的子节点上的答案减掉就好了(可以看代码理解)。

每次求出经过 \(u\) 的路径，就可以将 \(u\) 从树中删除，因为它不再对答案有贡献；这样就将树分成了若干棵树，递归求解即可。
选择删除的点时可以选择重心，每次分出来的树大小最少减少为原来的一半，所以最多递归 \(logn\) 层。

这样复杂度就是 \(O(n\) \(log^2n)\) 还有一个 \(log\) 是在尺取时的排序操作。

代码如下：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
inline int in() {
    int x=0;char c=getchar();bool f=false;
    while(c<'0'||c>'9') f|=c=='-', c=getchar();
    while(c>='0'&&c<='9') x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48), c=getchar();
    return x;
}

const int N = 1e4+5, inf = 0x3f3f3f3f;
struct edge {
    int next, to, w;
}e[N<<1];
int cnt=1, head[N], n, k, rt, tot, res, dep[N], siz[N], f[N], b[N];
bool vis[N];

inline void jb(int u, int v, int w) {
    e[++cnt].next=head[u];
    e[cnt].to=v;
    e[cnt].w=w;
    head[u]=cnt;
}

void dfs(int u, int fa) {
    siz[u]=1, f[u]=0;
    for(int i=head[u];i;i=e[i].next) {
        int v=e[i].to;
        if(v==fa||vis[v]) continue;
        dfs(v, u);
        f[u]=std::max(f[u], siz[v]);
        siz[u]+=siz[v];
    }
    f[u]=std::max(f[u], tot-siz[u]);
    if(f[u]<f[rt]) rt=u;
}

void get_dep(int u, int fa) {
    b[++b[0]]=dep[u];
    for(int i=head[u];i;i=e[i].next) {
        int v=e[i].to;
        if(v==fa||vis[v]) continue;
        dep[v]=dep[u]+e[i].w;
        get_dep(v, u);
    }
}

inline int work(int u, int s) {
    dep[u]=s, b[0]=0;
    get_dep(u, -1);
    std::sort(b+1, b+1+b[0]);
    int ret=0;
    for(int l=1, r=b[0];l<r;++l) {
        while(l<r&&b[l]+b[r]>k) --r;
        ret+=r-l;
    }
    return ret;
}

void pp(int u) {
    res+=work(u, 0);
    vis[u]=true;
    for(int i=head[u];i;i=e[i].next) {
        int v=e[i].to;
        if(vis[v]) continue;
        res-=work(v, e[i].w);
        rt=0, tot=siz[v], dfs(v, u), pp(rt);
    }
}

inline void init() {
    cnt=1, res=0;
    memset(head, 0, sizeof(head));
    memset(vis, 0, sizeof(vis));
}

int main() {
    while(true) {
        init();
        n=in(), k=in();
        if(!n&&!k) break;
        for(int i=1, x, y, z;i<n;++i) {
            x=in(), y=in(), z=in();
            jb(x, y, z), jb(y, x, z);
        }
        tot=n;
        f[rt=0]=inf;
        dfs(1, -1);
        pp(rt);
        printf("%d\n", res);
    }
    return 0;
}

放几道练习题：

luogu P3806 【模板】点分治1

luogu P2634 [国家集训队]聪聪可可