Aoao Round 2 比赛总结

分数： \(100 + 25 + 20 + 0 = 145\)

好一个神秘 seq 赛。

T1

不难发现，一个符合要求的序列需要是连续的，且其中比 \(b\) 大的数和比 \(b\) 小的数数量相等。

因此，我们可以以 \(b\) 为起点，分别向两侧扫描，把比 \(b\) 小的数记作 \(-1\)，比 \(b\) 大的数记作 \(1\)，并分别计算其前缀和。当左侧的某个前缀和和右侧的某个前缀和成相反数时，此时左右比 \(b\) 大和比 \(b\) 小的数的数量就会恰好相等，那么就找到了一个符合要求的序列。

在代码实现中，为了方便，当在 \(b\) 右侧进行扫描时，我们可以把比 \(b\) 大的记作 \(-1\)，比它小的记作 \(1\)（与上面的描述相反），然后把左右两侧前缀和分别放入两个桶中。然后左右两个桶相同位置的数的乘积之和即为答案。

别忘了开 long long，不然就会挂掉 55 分。

跳过代码

#include <bits/stdc++.h>
typedef long long ll;
const int N = 2e5+10;
int a[N], n, posB, b;
ll val[N], lBuc[2 * N + 10], rBuc[2 * N + 10];
ll ans = 0;

int main() {
  freopen("empty.in", "r", stdin);
  freopen("empty.out", "w", stdout);
  std::ios::sync_with_stdio(false); std::cin.tie(0);
  std::cin >> n >> b;
  for (int i = 1; i <= n; i++) {
    std::cin >> a[i];
    if (a[i] == b) posB = i;
  }
  for (int i = posB - 1; i >= 1; i--) {
    if (a[i] < b) {
      val[i] = val[i+1] - 1;
    } else val[i] = val[i+1] + 1;
  }
  for (int i = posB + 1; i <= n; i++) {
    if (a[i] < b) val[i]  = val[i-1] + 1;
    else val[i] = val[i-1]-1;
  }
  const int ADD = 2e5+10;
  for (int i = 1; i <= posB; i++) {
    lBuc[val[i] + ADD]++;
  }
  for (int i = posB; i <= n; i++) {
    rBuc[val[i] + ADD]++;
  }
  for (int i = 0; i <= 2 * N; i++) {
    ans += lBuc[i] * rBuc[i];
  }
  std::cout << ans << '\n';
  return 0;
}

T2

当我看到题解时，虎躯一震——这道题竟然是图论？！

是的，这是一道典型的图论建模题目。我们可以把每个整数当成图上的一个节点，然后定义：相邻的两个整数的二进制只有一位不同 （有点像格雷码）。

可以注意到 \(\max(\operatorname{nailong}(x, y)) + \min(\operatorname{nailong}(\sim x, y)) = m\)。 考虑 BFS，对序列中的每个数取反，并以其为原点开始。每次搜相邻的整数，如果这个数还没有被搜索过，就记录其步数，并将其加入队列。然后，答案就是 \(m\) 与序列中每个数步数的最小值的差。

#include <bits/stdc++.h>
typedef long long ll;
const int N = 1.1e6+10;
int a[N], n, m, step[N], vis[N];

int main() {
  freopen("purple.in", "r", stdin);
  freopen("purple.out", "w", stdout);
  std::ios::sync_with_stdio(false); std::cin.tie(0);
  std::cin >> n >> m;
  for (int i = 1; i <= n; i++) {
    std::cin >> a[i];
  }
  std::queue<int> q;
  for (int i = 1; i <= n; i++) {
    q.push(((1 << m) - 1) ^ a[i]);
    vis[(((1 << m) - 1) ^ a[i])] = true;
  }
  while (!q.empty()) {
    int u = q.front();
    q.pop();
    for (int i = 0; i < m; i++) {
      int v = u ^ (1 << i);
      if (!vis[v]) {
        vis[v] = true;
        q.push(v);
        step[v] = step[u] + 1;
      }
    }
  }
  for (int i = 1; i <= n; i++) {
    std::cout << m - step[a[i]] << ' ';
  }
  return 0;
}