BZOJ2287 【POJ Challenge】消失之物 动态规划 分治

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题目传送门 - BZOJ2287

题意

　　有$n$个物品，第$i$个物品的体积为$w_i$。

　　令$cnt_{i,j}$表示不取第$i$个物品，占用$j$体积的方案总数。

　　每一个物品只能取或者不取。

　　让你对于每一个$i,j(1\leq i\leq n,1\leq j\leq m)$输出$cnt_{i,j}$。

　　$n,m\leq 2\times 10^3$

题解

　　这题有两种做法，时间复杂度不同，但是跑出来差不多，嘻嘻。

 

　　$\Large Solution\ 1:$

　　这个是经典的分治背包问题。第$i$个物品的出现时间为[1,i)U(i,n]。

　　然后你会发现这个就是上一题BZOJ4025的弱化版。只是把并查集的一系列操作改成了$O(m)$背包DP而已。

　　具体不再赘述，自行感受BZOJ4025的做法。

　　时间复杂度$O(n^2\log n)$。

 

　　$\Large Solution\ 2:$

　　动态规划。

　　首先处理出$f_n$表示没有任何限制搞01背包占用$n$体积的方案总数。

　　考虑得到$cnt_{i,j}$。

　　接下来分两种情况讨论。

　　$j<w_i\Rightarrow cnt_{i,j}=f_j$：显然$f_j$的方案中不可能拿第$i$个物品啊。所以直接等于啊。

　　$j\geq w_i\Rightarrow cnt_{i,j}=f_j-cnt_{i,j-w_i}$：考虑到$f_j$的方案中会有拿了第$i$个物品的情况，所以我们只要考虑减掉拿了第$i$个物品的情况。其他物品所占用的容量显然为$j-w_i$的。但是第$i$个物品只能拿一次啊，所以以后就不能拿了，所以是$cnt_{i,j-w_i}$。

　　时间复杂度$O(n^2)$。

 

　　然而，实际上跑出来差不多。

2679062	zhouzhendong	2287	Accepted	17008 kb	388 ms	C++/Edit	610 B	2018-03-31 20:01:27
2679058	zhouzhendong	2287	Accepted	17004 kb	452 ms	C++/Edit	942 B	2018-03-31 19:56:48

　　下面的那个是分治的耗时，上面的那个是直接DP。

代码

分治

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=2005;
vector <int> x,y;
int n,m,w[N],cnt[N][N];
void solve(int L,int R,vector <int> x,vector <int> &y){
	vector <int> z;
	z.clear();
	for (int i=0;i<y.size();i++){
		int id=y[i];
		if (L<=id&&id<=R){
			z.push_back(id);
			continue;
		}
		for (int j=m-w[id];j>=0;j--)
			x[j+w[id]]=(x[j+w[id]]+x[j])%10;
	}
	if (L==R){
		for (int i=0;i<=m;i++)
			cnt[L][i]=x[i];
		return;
	}
	int mid=(L+R)>>1;
	solve(L,mid,x,z);
	solve(mid+1,R,x,z);
}
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for (int i=1;i<=n;i++)
		scanf("%d",&w[i]);
	x.clear(),y.clear();
	x.push_back(1);
	for (int i=1;i<=m;i++)
		x.push_back(0);
	for (int i=1;i<=n;i++)
		y.push_back(i);
	solve(1,n,x,y);
	for (int i=1;i<=n;i++,puts(""))
		for (int j=1;j<=m;j++)
			printf("%d",cnt[i][j]);
	return 0;
}

　　

DP

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=2005;
int n,m,w[N],f[N],cnt[N][N];
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for (int i=1;i<=n;i++)
		scanf("%d",&w[i]);
	memset(f,0,sizeof f);
	f[0]=1;
	for (int i=1;i<=n;i++)
		for (int j=m-w[i];j>=0;j--)
			f[j+w[i]]=(f[j+w[i]]+f[j])%10;
	for (int i=1;i<=n;i++){
		for (int j=0;j<w[i];j++)
			cnt[i][j]=f[j];
		for (int j=w[i];j<=m;j++)
			cnt[i][j]=(f[j]-cnt[i][j-w[i]]+10)%10;
	}
	for (int i=1;i<=n;i++,puts(""))
		for (int j=1;j<=m;j++)
			printf("%d",cnt[i][j]);
	return 0;
}