跟锦数学171217-180630

(171217) (1) 试证: $\dps{\sex{1+\f{1}{n}}^n\nearrow \e\ (n\to\infty),\ \sex{1+\f{1}{n}}^{n+1}\searrow \e\ (n\to\infty)}$; (2) 试证: $\dps{\sex{\f{n+1}{\e}}^n<n!<\e\sex{\f{n+1}{\e}}^{n+1}}$; (3) 试证: $\dps{\vlm{n} \f{\sqrt[n]{n!}}{n}=\f{1}{\e}}$; (4) 试证: $\dps{\vlm{n}\sed{[(n+1)!]^\f{1}{n+1}-(n!)^\f{1}{n}}}$.

 

(171218) [中山大学2018数分]  证明 $\dps{\vsm{n} \f{1}{n^2+1} <\f{1}{2}+\f{\pi}{4}}$.   

 

(171219) [华南理工大学2010数分]  确定 $\alpha$ 与 $\beta$ 的值使得 $\dps{  \lim_{n\to\infty}\sex{\sqrt{3n^2+4n-2}-\alpha n-\beta}=0  }$.   

 

(171220) [华南理工大学2010数分]  讨论函数 $f(x)$, $g(x)$ 在 $x=0$ 处的可导性, 其中 $$\bex  f(x)=\left\{\ba{ll}  -x,&x\mbox{ 为无理数},\\  x,&x\mbox{ 为有理数};  \ea\right.   g(x)=\left\{\ba{ll}  -x^2,&x\mbox{ 为无理数},\\  x^2,&x\mbox{ 为有理数}.  \ea\right.\eex$$    

 

(171221) [华南理工大学2010数分]  已知 $f(x)$ 在 $[0,\infty)$ 上连续, 且满足 $0\leq f(x)\leq x,\ x\in [0,\infty)$. 设  $$\bex  a_1\geq 0,\ a_{n+1}=f(a_n),\ n=1,2,3,\cdots.\eex$$  证明:  (1) $\dps{\sed{a_n}}$ 收敛.  (2) 若 $\dps{\lim_{n\to\infty}a_n=l}$, 则 $f(l)=l$.

 

(171222) [华南理工大学2010数分]  判断下面级数的敛散性:  $\dps{  \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{(1+x)(1+x^2)\cdots(1+x^n)},\ x\geq 0.  }$    

 

(171223) [华南理工大学2010数分]  讨论函数 $f(x,y)=(1+\e^y)\cos y-y\e^y$ 的极大值与极小值.    

 

(171224) [华南理工大学2010数分]  计算 $\dps{\iint\limits_S  x^3\rd y\rd z+2y^3\rd z\rd x+3z^3\rd x\rd y}$, 其中 $S$ 为球面 $\dps{x^2+y^2+z^2=a^2}$ 的外侧.     

 

(171225) [中山大学2018数分]  讨论级数 $\dps{\sum_{n=2}^\infty \f{(-1)^n}{\sqrt{n}+(-1)^n}}$ 的敛散性.   

 

(171226) [中山大学2018数分]  设函数 $f(x)$ 在 $(x_0-1,x_0+1)$ 连续, 在 $(x_0-1,x_0)\cup (x_0,x_0+1)$ 上可导. 又设 $\dps{\lim_{x\to x_0}f'(x)=a}$. 证明: $f'(x_0)$ 存在, 且 $f'(x_0)=a$.   

 

(171227) [中山大学2018数分]  求幂级数 $\dps{\vsm{n}\sex{1+\f{1}{2}+\cdots+\f{1}{n}}x^n}$ 的收敛域.   

 

(171228) [中山大学2018数分]  函数 $\dps{f(x)=x\sin x^\f{1}{4}}$ 在 $[0,+\infty)$ 上是否一致连续? 试说明理由.   

 

(171229) [中山大学2018数分]  讨论函数项级数 $\dps{\sum_{n=2}^\infty\f{x^n}{n\ln n}}$ 在 $[0,1)$ 上的一致收敛性.   

 

(171230) [中山大学2018数分]  设 $f: \bbR\to\bbR$ 连续, $\dps{f_n(x)=\f{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} f\sex{x+\f{k}{n}}}$, 证明 $f_n(x)$ 在任意区间 $(a,b)$ 上一致收敛. 又问, $f_n(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上也一定一致收敛吗? 若否, 举出反例. 

 

(171231) [中山大学2018高代]  设 $A,B$ 为 $n$ 阶方阵, 满足条件 $AB-BA=A$, 判断 $A$ 是否可逆, 并说明你的理由. 

 

(180101) (1) 设 $n$ 阶实对称矩阵 $A=(a_{ij})$ 正定, 证明 $\det A\leq a_{11}\cdots a_{nn}$; (2) 设 $B,D$ 分别为 $n$ 阶, $m$ 阶实方阵, 且实矩阵 $\dps{H=\sexm{ B&C\\ C^T&D}}$ 正定, 证明: $\det H\leq \det B\cdot \det D$.   

 

(180102) [华南理工大学2010数分]  设 $p$ 为正常数, 函数 $f(x)=\cos\sex{x^p}$. 证明: 当 $0<p\leq1$ 时, $f(x)$ 在 $[0,\infty)$ 上一致连续.    

 

(180103) [华南理工大学2010数分]  证明 $\dps{\int_a^b \e^{-xy}\rd y=\frac{\e^{-ax}-\e^{-bx}}{x}}$, 并计算积分 $\dps{\int_0^\infty \frac{\e^{-ax}-\e^{-bx}}{x}\rd x\ \sex{b>a>0}}$.   

 

(180104) [华南理工大学2010数分]  令 $\dps{f(x,y)=\left\{\ba{cc}  \frac{\ln(1+xy)}{x},&x\neq 0,\\  y,&x=0.  \ea\right.}$ 证明 $f(x,y)$ 在其定义域内是连续的.    

 

(180105) [华南理工大学2010数分]  求积分 $$\bex I=\iint_D\sex{\sqrt{\frac{x-c}{a}}+\sqrt{\frac{y-c}{b}}}\rd x\rd y,\eex$$ 其中 $D$ 由曲线 $\dps{\sqrt{\frac{x-c}{a}}+\sqrt{\frac{y-c}{b}}=1}$ 和 $x=c$, $y=c$ 所围成.   

 

(180106) [华南理工大学2010数分]  设 $f$ 为定义在 $(a,\infty)$ 上的函数, 在每一有限区间 $(a,b)$ 上有界, 且 $$\bex  \lim_{x\to\infty}\sez{f(x+1)-f(x)}=A.\eex$$  证明: $\dps{\lim_{x\to \infty}\frac{f(x)}{x}=A}$.    

 

(180107) [华南理工大学2010数分]  设 $f(x)$, $g(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续. 证明:  $$\bex  \lim_{\lambda(\Delta)\to 0}  \sum_{i=1}^nf(\xi_i)g(\theta_i)\lap x_i  =\int_a^bf(x)g(x)\rd x,\eex$$  其中  $\lap:\ a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b$ 为 $[a,b]$ 的任一分割;  $\xi_i,\theta_i\in [x_i,x_{i+1}]$, $\lap x_i=x_i-x_{i-1}$ $(i=1,2,\cdots, n)$;  $\dps{\lambda\sex{\lap}=\max_{1\leq i\leq n}\sev{\lap x_i}}$.   

 

(180108) [华南理工大学2010高代]  设 $m,n\in \bbN$. 证明: $\dps{\sex{x^m-1,x^n-1}=x^{(m,n)}-1}$.    

 

(180109) [华南理工大学2010高代]  当 $a,b$ 为何值时, 下列线性方程组无解,有唯一解, 有无穷多解? 当方程组有解时, 写出其全部解.  $$\bex  \left\{\ba{lll}  x+y-z=0,\\  2x+(a+3)y-3z=3,\\  -2x+(a-1)y+bz=-1.  \ea\right.\eex$$   

 

(180110) [华南理工大学2010高代]  设 $V$ 是 $n$ 维线性空间 $(n\geq 3)$, 又设 $X$ 和 $Y$ 是 $V$ 的两个子空间, 并且 $\dim(X)=n-1$, $\dim(Y)=n-2$.  (1) 证明: $\dim\sex{X\cap Y}=n-2\mbox{ or }n-3$.  (2) 证明: $\dim\sex{X\cap Y}=n-2\lra Y\subset X$.  (3) 举例说明: 存在满足假设条件的线性空间 $V$ 及其子空间 $X$ 和 $Y$ 使得 $\dim\sex{X\cap Y}=n-2\mbox{ or }n-3$.

 

(180111) [华南理工大学2010高代]  设 $A$ 是 $n$ 阶实对称矩阵, 若 $A$ 的前 $n-1$ 个顺序主子式均大于零, 而 $\det(A)=0$. 证明: $n$ 元二次型  $\dps{  f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=x^TAx  }$  是半正定的, 其中 $x=(x_1,x_2,\cdots,x_n)^T$.    

 

(180112) [华南理工大学2010高代]  设 $\scrA $ 是实数域 $\bbR$ 的线性空间 $V$ 的线性变换, $\scrA ^2=\scrE$ (恒等变换). 令  $$\bex  V^+=\sed{x\in V;\ \scrA x=x},\ \ \  V^-=\sed{x\in V;\ \scrA x=-x}.\eex$$  证明: $V=V^+\oplus V^-$.    

 

(180113) [华南理工大学2010高代]  设 $A=(a_1,a_2,\cdots,a_n)$ 为非零实 $1\times n$ 矩阵. 求 (1) $\rank(A^TA)$; (2) $A^TA$ 的特征值与特征向量.    

 

(180114) [华南理工大学2010高代]  设 $\alpha$ 为 $n$ 维欧氏空间 $V$ 的非零向量, 对 $\xi\in V$, 定义  $\dps{  \scrA\xi=\xi-\frac{2(\xi,\alpha)}{(\alpha,\alpha)}\alpha, \xi\in V.  }$  (1) 证明: $\scrA$ 是 $V$ 的正交变换.  (2)  记 $W=\span\sed{\alpha}^\perp$, 则 $W$ 是 $(n-1)$ 维子空间, 并且  $\dps{  \scrA\xi=\left\{\ba{ll}  \xi,&\xi\in W,\\  -\xi,&\xi=\alpha.  \ea\right.  }$  (3)  设 $\dim(V)=4$. 令 $\ve_1,\ve_2,\ve_3,\ve_4$ 为 $V$ 的标准正交基, 并设  $\dps{  \alpha=-\frac{1}{2}\ve_1-\frac{1}{2}\ve_2  -\frac{1}{2}\ve_3+\frac{1}{2}\ve_4.  }$  求 $\scrA$ 在 $\ve_1,\ve_2,\ve_3,\ve_4$ 下的矩阵.    

 

(180115) [华南理工大学2010高代]  在欧氏空间中有两组向量  $\dps{  \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s;  \beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s.  }$  如果  (1) $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$ 和 $\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s$ 都是两两正交的单位向量;  (2) $\span\sed{\alpha_1,\cdots,\alpha_i}  =\span\sed{\beta_1,\cdots,\beta_i}$,  $\forall\ 1\leq i\leq s$.  证明: $\alpha_i=\pm \beta_i$,  \ $\forall\ 1\leq i\leq n$.    

 

(180116) [华南理工大学2010高代]  设 $A,B$ 都是实对称矩阵. 证明:  $$\bex  AB=BA\lra  \exists\mbox{ 正交阵 }  Q, \st  Q^{-1}AQ,\ Q^{-1}BQ  \mbox{ 同时为对角阵}.\eex$$    

 

(180117) [华南理工大学2009数分]  设函数 $f(x)=\varphi(a+bx)-\varphi(a-bx)$, 其中 $\varphi(x)$ 在 $x=a$ 的某个小邻域有定义且在该点处可导. 求 $f'(0)$.    

 

(180118) [华南理工大学2009数分]  设 $0<x<y<\pi$. 证明:  $\dps{  x\sin x+2\cos x+\pi x  <y\sin y+2\cos y+\pi y.  }$    

 

(180119) [华南理工大学2009数分]  设 $x>0,\ y>0$. 求 $f(x,y)=x^2y\sex{4-x-y}$ 的极值.    

 

(180120) [华南理工大学2009数分]  设 $\dps{f(x)=\frac{  \int_0^x du\int_0^{u^2}\arctan(1+t)\rd t  }{x(1-\cos x)}}$. 求 $\dps{\lim_{x\to 0}f(x)}$.

 

(180121) [华南理工大学2009数分]  计算 $\dps{\oint_Cx\rd y-y\rd x}$, 其中 $C$ 为椭圆 $(x+2y)^2+(3x+2y)^2=1$, 方向为逆时针方向.    

 

(180122) [华南理工大学2009数分]  计算 $\dps{\iint_S (x-y)\rd x\rd y+x(y-z)\rd y\rd z}$, 其中 $S$ 为柱面 $x^2+y^2=1$ 及平面 $z=0$, $z=3$ 所围成的空间区域 $\Om$ 的整个边界, 取外侧.    

 

(180123) [华南理工大学2009数分]  设 $f(x)=\sin \sqrt{x}$. 判断 $f(x)$ 在 $[0,\infty)$ 上是否一致连续, 并给出证明.    

 

(180124) [华南理工大学2009数分]  计算积分 $\dps{\iint_D\min\sed{x^2y,2}\rd x\rd y}$, 其中  $\dps{  D=\sed{(x,y);\ 0\leq x\leq 4,\ 0\leq y\leq 3}.  }$    

 

(180125) [华南理工大学2009数分]  计算积分 $\dps{I(y)  =\int_0^\infty \e^{-x^2}\sin 2xy\rd x}$.    

 

(180126) [华南理工大学2009数分]  设 $\dps{f(x,y)=\left\{\ba{ll}  \frac{xy^2}{x^2+y^2},&\mbox{当 }x^2+y^2\neq0,\\  0,&\mbox{当 }x^2+y^2=0.  \ea\right.}$ 讨论以下性质:   (1) $f$ 的连续性;  (2) $f_x$, $f_y$ 的存在性及连续性;  (3) $f$ 的可微性.    

 

(180127) [华南理工大学2009数分]  设 $x_0=\sqrt{6}$, $\dps{x_{n+1}=\sqrt{6+x_n}}$, $n\in \bbN$. 判断级数 $\dps{\sum_{n=0}^\infty \sqrt{3-x_n}}$ 的敛散性.    

 

(180128) [华南理工大学2009数分]  设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内有连续的一阶导数. 证明: (1) 若 $\dps{\lim_{\sev{x}\to+\infty}f'(x)=\alpha>0}$, 则方程 $f(x)=0$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内至少有一个实根; (2) 若 $\dps{\lim_{\sev{x}\to+\infty}f(x)=0}$, 则方