2018年华东师范大学数学竞赛试题

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或者: http://math.funbbs.me/viewthread.php?tid=70&extra=page%3D1

 

后面做的参考解答: http://www.followmath.com/forum.php?gid=1

 

 

Problem:  (15分)证明:曲线$$\left\{ \begin{array}{ll} x^{2}-y^{2}=z & \\ 2x^{2}+z^{2}=1 & \end{array} \right. $$是球面曲线,并写出此球面的方程.

 

 Problem:  (20分) 设$\mathbb{K}$是数域,$A,B\in M_{n}(\mathbb{K})$,$AB=BA$,若$A^{2018}=E,B^{2019}=E$,证明:$A+B+E$可逆.

 

 Problem:  (15分)设$$A=\left( \begin{array}{ccccc} a_{1} & b_{1} & 0 & \cdots & 0 \\ b_{1} & a_{2} & b_{2} & \cdots & \vdots \\ 0 & b_{2} & \ddots & \ddots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & a_{n-1} & b_{n-1} \\ 0 & \cdots & 0 & b_{n-1} & a_{n} \\ \end{array} \right) \in M_{n}(\mathbb{R}),$$且$b_{i}\ne 0,\forall i=1,2,\cdots,n-1$.证明:$A$有$n$个互异的实特征值.

 

 Problem:  (10分) 设$f$定义在$[a,+\infty)$上,给定$\delta>0,t\geq a$,记 $$\omega (f;t_{0},\delta)=\sup_{t_{1},t_{2}}\left\{|f(t_{1})-f(t_{2})|:t_{1},t_{2}\geq 0,|t_{1}-t_{2}|\leq \delta\right\}.$$ 证明:若$\int_{a}^{+\infty}f(t)dt$收敛,则$$\lim_{t\to +\infty}f(t)=0$$当且仅当$$\lim_{t\to +\infty,\delta\to 0}\omega(f;t_{0},\delta)=0.$$

 

 Problem:  \textbf{(10分)}求极限$$\lim_{x\to 1^{-}}\prod_{n=0}^{+\infty}\left(\frac{1+x^{n+1}}{1+x^{n}}\right)^{x^{n}}.$$

 

 Problem:  (15分)设$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$上连续可导,且$$\sup_{-\infty<x<+\infty}\left|e^{-x^{2}}f'(x)\right|<+\infty.$$ 证明:$$\sup_{-\infty<x<+\infty}\left|xe^{-x^{2}}f(x)\right|<+\infty.$$

 

 Problem:  (15分)设$\{a_{n}\}$是单调递减的正数列.证明:级数$$\sum_{n=1}^{+\infty}a_{n}\sin nx$$在任何区间上一致收敛的充分必要条件是$$\lim_{n\to +\infty}na_{0}=0.$$ 

 

posted @ 2018-05-28 07:20 张祖锦 阅读(...) 评论(...) 编辑 收藏