与概率相关的题目

1、一个随机数产生器以概率p生成0,以概率(1-p)生成1,怎样生成等概率的0和1?

如果用这个随机数产生器产生两个位,出现00的概率为,出现01的概率为,出现10的概率为,出现11的概率为。看到没有,出现01和10的概率相等。那么我们就可以用这个随机数生成器每次产生2位,直到产生的是01或者10,当为01时,输出0,当为10时输出1。

问题扩展:还是给这么一个随机数产生器,要求等概率地产生

解法1:每次产生n位,当为仅第一位是1,其他是0时输出1,当仅有第二位是1,其他位是0是输出2,……当仅有第n位是1,其他是0时输出n。(这个解法有点0疼,好多信息都浪费了,复杂度太高了)

解法2:从原问题的解答中,我们可以成功地得到等概率产生0和1的,求一下n-1二进制表示的位数,比如为k。那么我们每次等概率生成k位二进制数,将这k位二进制组装成一个数,如果这个数在0~n-1的范围内,输入这个数+1,否则重复产生。

2、不重复随机数的产生

我们可以把这题稍微细化一点,随机产生0~n-1中的k个不重复的随机数。

解法1:最容易想到的方法就是,用一个集合来装这些随机产生的数,当这个集合的大小不为k的时候,就没完没了的随机产生并add到集合中。真正这么干过的童鞋会发现这个办法是不行的,当k稍微大一点,这个程序就跑步出来了。

解法2:开辟一个长度为n的数组a,向其中装入0~n-1,然后随机产生一个0~n-1的数x,将a[x]与a[n-1]交换,并将a[n-1]输出,接下来随机产生一个0~n-2的数y,将a[y]与a[n-2]交换,并将a[n-2]输出,知道输出了k个数为止……代码实现参考这里

3、给定能随机生成整数1到5的函数,写出能随机生成整数1到7的函数

解法1:

产生K个数(k>1) 假定产生的数分别为n1,n2,n3,n4...那么定义产生的数为n1-1+(n2-2)*5+(n3-1)*5^2+(n4-1)*5^3........于是产生的数位于区间(0,5^k-1)。然后把5^k分成k等分,产生的数位于哪个等分就是那个产生的随机数(0~6),然后+1即可。如果位于k等分的余数范围,则重新执行一次上述过程。不用担心余数问题,当k取3时落到余数范围的概率就已经降低为6/125,而且余数不会导致概率的问题,只是会影响效率。(相当于5进制)

解法2:

通过rand5()*5+rand5()产生6 7 8 9 10 11......26 27 28 29 30这25个数,每个数出现的概率相等,去前面3*7个数,舍弃后面的4个数,将6 7 8转化成1, 9 10 11转化成2,……,公式:(a-3) / 3,其实跟解法1是一样的,包装一下而已。

4、如何随机选取1000个关键字

给定一个数据流,其中包含无穷尽的搜索关键字(比如,人们在谷歌搜索时不断输入的关键字)。如何才能从这个无穷尽的流中随机的选取1000个关键字?

定义长度为1000的数组。对于数据流中的前1000个关键字,显然都要放到数组中。对于数据流中的的第n(n>1000)个关键字,我们知道这个关键字被随机选中的概率为 1000/n。所以我们以 1000/n 的概率用这个关键字去替换数组中的随机一个。这样就可以保证所有关键字都以 1000/n的概率被选中。对于后面的关键字都进行这样的处理,这样我们就可以保证数组中总是保存着1000个随机关键字。

PS:关于1000/n的概率问题,可以这样来,随机生成1~n的数,如果是在1~1000内那么就替换相应位置

5、在半径为1的圆中随机选取一点

解法1:

假设圆心在(0,0)。在x轴[-1, 1],y轴[-1, 1]的正方形内随机选取一点。然后判断此点是否在圆内(通过计算此点到圆心的距离)。如果在圆内,则此点即为所求;如果不在,则重新选取直到找到为止。正方形的面积为4,圆的面积为pi,所以正方形内的随机点在圆内的概率是 pi / 4。

解法2:

从[0, 2*pi)中随机选一个角度,对应于圆中的一条半径,然后在此半径上选一个点。但半径上的点不能均匀选取,选取的概率应该和距圆心的长度成正比,这样才能保证随机点在圆内是均匀分布的。

关于不均匀选取问题:在一个直角三角形(斜边长pi,直角边长为1)斜边上随机选一点,然后投影到长为1的直角边应该满足条件。

posted on 2011-12-22 22:41 小橋流水 阅读(...) 评论(...) 编辑 收藏

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