饥饿艺术家

设 $X$ 是不可数集,并设 $\tau$ 是 $X$ 中一切这样的子集合 $E$ 的族,$E$ 或是空集或是余有限的.证明 $\tau$ 是 $X$ 上的拓扑.

证明:首先,$\emptyset\in\tau$(题目已经指明),其次 $X\in\tau$(因为 $X\backslash X$ 是有限集).现在我们证明 $\forall A,B\in\tau$,$A\bigcap B\in\tau$,我们只用证明 $X\backslash (A\bigcup B)$ 是余有限的,即只用证明 $(X\backslash A)\bigcap (X\backslash B)$ 是余有限的,这是容易的.现在我们证明 $\tau$ 中的开集的任意并都属于 $\tau$,即证明这些开集的余集的任意交都是有限的,这是显然的.综上,$\tau$ 是 $X$ 上的拓扑.

  证明 $\tau$ 是 Hausdorff 拓扑.

证明:即证明 $X$ 中的任意两个不同的元素都可以被 $\tau$ 中的两个不相交开集覆盖.这个太简单了.

  $(X,\tau)$ 是紧致的.

证明:即证明 $X$ 的任意开覆盖都有有限子覆盖.一个开集覆盖 $X$ 中的部分元素,那么 $X$ 中剩下的元素只有有限个,这有限个元素可以被有限个开集覆盖(为什么?)因此 $X$ 的任意开覆盖都有有限子覆盖.  

$(X,\tau)$ 是连通的.

证明:假设 $(X,\tau)$ 不是连通的,则可以分解成两个互不相交的非空开集之并,这表明 $X$ 是有限集,矛盾.因此 $(X,\tau)$ 是连通的.

当 $x\in X$,且 $(V_n)_{n=1}^{\infty}$ 是任意的含点 $x$ 的开集的族时,$\bigcap_{n=1}^{\infty}V_n\neq\{x\}$.

证明:假若有 $\bigcap_{n=1}^{\infty}V_n=\{x\}$,则有 $X\backslash (\bigcap_{n=1}^{\infty}V_n)=\bigcup_{n=1}^{\infty}(X\backslash V_n)=\{x\}$.这与 $\forall i\in\mathbf{N}^+$,$x\in V_i$ 矛盾.

给定一个带有序关系 $\leq$ 的全序集 $X$,说集合 $V\subset X$ 是开的,如果对于每个 $x\in V$,都存在一个集合 $I$,$I$ 或者是一个"区间" $\{y\in X:a<y<b\}$ ,其中 $a,b\in X$,或者是一条射线 $\{y\in X:a<y\}$,其中 $a\in X$,或者是一条射线 $\{y\in X:y<b\}$,其中 $b\in X$,或者 $I$ 是全集 $X$,使得 $x\in I$,且 $I\subseteq V$.设 $\tau$ 是 $X$ 的全体开子集的族.证明 $(X,\tau)$ 是拓扑空间(称为序拓扑).

证明:首先,$\emptyset\in \tau$ (为什么?)其次,$X\in\tau$(为什么?).下面我来证明 $\tau$ 中任两个开集的交仍然属于 $\tau$.当这两个开集中有一者为 $\emptyset$ 或者 $X$ 时,证明是容易的.否则,仍然容易证明 $\tau$ 中两个开集的交为开集(怎么证?).现在我们来证明 $\tau$ 中的元素的任意并仍然是 $\tau$ 中的开集,这是十分简单的.因此 $(X,\tau)$ 是拓扑空间.

证明平凡拓扑不是 Hausdorff 拓扑.

证明:这是因为空集无法成为 $X$ 中任意一个元素的邻域.  

证明:对于 Hausdorff 空间,成立命题 12.1.20 的类比.

先叙述出类比.设 $(X,\tau)$ 是 Hausdorff 拓扑空间,并设 $(x^{(n)})_{n=m}^{\infty}$ 是 $X$ 中的序列,假定存在两点 $x,x'\in X$ 使 $(x^{(n)})_{n=m}^{\infty}$ 同时收敛到 $x,x'$,则必有 $x=x'$. 证明:假若 $x\neq x'$,则根据由于 $(X,\tau)$ 是 Hausdorff 的,可得存在 $x$ 的一个邻域 $P$ 和 $x'$ 的一个邻域 $Q$,使得 $P\bigcap Q=\emptyset$.但是这与拓扑收敛矛盾.

  举出一个非 Hausdorff 空间的例子使得命题 12.1.20 不成立.

解:平凡拓扑空间就是一个例子.

设 $X$ 是集合,令 $\tau=\{\emptyset,X\}$,证明 $(X,\tau)$ 是拓扑空间(叫平凡拓扑).设 $X$ 含有多于一个的元素,证明平凡拓扑不能由在 $X$ 上定义一个度量得到.证明这个拓扑空间既是紧致的又是连通的.

证明:之所以 $(X,\tau)$ 是拓扑空间,是因为首先空集和全集都属于 $\tau$.其次,$X\bigcap X=X\in\tau$,$X\bigcap \emptyset=\emptyset\in \tau$,$\emptyset\bigcap\emptyset=\emptyset\in\tau$.而且,$X\bigcup X=X\in\tau,X\bigcup\emptyset=X\in\tau$,$\emptyset\bigcup\emptyset=\emptyset\in\tau$. 因此 $(X,\tau)$ 是一个拓扑.下面证明当 $X$ 的元素多于一个时,平凡拓扑不能由在 $X$ 上定义一个度量得到.这是因为当 $X$ 上的元素多于一个时,产生的拓扑是 $(X,2^X)$,易得不是平凡拓扑.   下面证明 $X$ 是紧致的,即证明 $X$ 的每个开覆盖都有有限子覆盖,这太简单了,因为 $X$ 本身就覆盖 $X$,而 $\emptyset$ 却不能覆盖 $X$ 中的任意一个元素. 下面证明 $X$ 是连通的,这是很容易的,因为假设 $X$ 是不连通的,则 $X$ 可以分为两个互不相交的开集的并,且该两开集非空,但是 $\emptyset$ 就是空的,矛盾了.  

联合命题 13.3.2 和推论 13.4.7,推出关于紧致连通区域上的连续函数的定理,作为推论 9.7.4 的推广.

  解答:设 $(X,d)$ 是紧致连通度量空间.设 $f:X\to\mathbf{R}$ 是从度量空间 $(X,d)$ 到实直线的连续映射.根据陶哲轩实分析命题 13.3.2,可知存在 $x_{\max}\in X$,使得 $f(x_{\max})$ 是 $f$ 的最大值,也存在 $x_{\min}\in X$,使得 $f(x_{\min})$ 是 $f$ 的最小值.由于 $f(X)$ 是连通的,因此根据 陶哲轩实分析 推论 13.4.7,可知 $[f(x_{\min}),f(x_{\max})$ 是一个区间,该区间就是 $f(X)$.

设 $(X,d)$ 是度量空间,并设 $E$ 是 $X$ 的子集合.证明:如果 $E$ 是连通的,则 $E$ 的闭包 $\overline{E}$ 也是连通的.

证明:如果 $\overline{E}$ 不是连通的,则 $\overline{E}$ 可以分解成两个不相交非空集合$A$ 和 $B$ 的并.且 $A$ 和 $B$ 都是相对于 $\overline{E}$ 的开集.易得 $E\bigcap A$ 和 $E\bigcap B$ 都是相对于 $E$ 的非空开集(为什么?注:$\overline{E}$ 是闭包这个条件很关键),且不相交,因此 $E$ 是不连通的,矛盾.可见假设错误,即命题成立.

设 $(X,d)$ 是度量空间,并设 $E$ 是 $X$ 的子集合,且 $E$ 是道路连通的,求证 $E$ 是连通的.

  证明:假如 $E$ 不是连通的,则 $E$ 可以分解成两个非空的互不相交的集合 $A$ 和 $B$ 的并,其中 $A$ 和 $B$ 都是相对于 $E$ 的开集.在 $A$ 里选取一个点 $x$,在 $B$ 里选取一个点 $y$.令 $[0,1]$ 上的连续函数 $f:[0,1]\to E$ 满足 $f(0)=x,f(1)=y$,根据陶哲轩实分析 定理 13.4.6 ,可知 $f([0,1])$ 是 $X$ 上的连通集.但是 $f([0,1])=(f([0,1])\bigcap A)\bigcup (f([0,1]\bigcap B)$,且 $f([0,1])\bigcap A$ 和 $f([0,1])\bigcap B$ 都是非空的,不相交的,相对于 $f([0,1])$ 的开集(为什么?).这说明 $f([0,1])$ 不是连通的,矛盾.可见假设错误,即 $E$ 是连通的.  

设 $(X,d)$ 是度量空间,并设 $(E_{\alpha})_{\alpha\in I}$ 是 $X$ 中的一族连通集合.还设 $\bigcap_{\alpha\in I}E_{\alpha}$ 不空.证明 $\bigcup_{\alpha\in I}E_{\alpha}$ 是连通的.

证明:由于 $\bigcap_{\alpha\in I}E_{\alpha}$ 是不空的,因此存在 $p\in \bigcap_{\alpha\in I}E_{\alpha}$.假设 $\bigcup_{\alpha\in I}E_{\alpha}$ 是不连通的,则 $\bigcup_{\alpha\in I}E_{\alpha}$ 可以分解成两个不相交非空集合 $A$ 和 $B$ 的并,其中 $A$ 和 $B$ 都是相对于 $\bigcup_{\alpha\in I}E_{\alpha}$ 的开集.根据对称性,不妨设 $p\in A$.下面我们来证明 $\forall \alpha\in I$,$E_{\alpha}\bigcap B=\emptyset$.否则我们来看 $E_{\alpha}\bigcap A$ 和 $E_{\alpha}\bigcap B$.易得 $E_{\alpha}\bigcap A$ 和 $E_{\alpha}\bigcap B$ 都是相对于 $E_{\alpha}$ 的非空开集(为什么?),且 $(E_{\alpha}\bigcap A)\bigcup (E_{\alpha}\bigcap B)=E_{\alpha}$,因此 $E_{\alpha}$ 不是连通的,这与 $E_{\alpha}$ 的连通性矛盾.因此 $\forall \alpha\in I$,$E_{\alpha}\bigcap B=\emptyset$,因此 $B$ 是空集,这与 $B$ 的非空性矛盾.因此假设错误,即 $\bigcup_{\alpha\in I}E_{\alpha}$ 是连通的.

(中值定理) 设 $f:X\to \mathbf{R}$ 是从度量空间 $(X,d_X)$ 到实直线的连续映射.设 $E$ 是 $X$ 的连通子集合,并设 $a,b\in X$.设 $y$ 是介于 $f(a)$ 和 $f(b)$ 之间的实数.那么存在 $c\in E$,使得 $f(c)=y$.

证明:由于 $E$ 在 $X$ 中是连通的,因此根据陶哲轩实分析 定理 13.4.6, $f(E)$ 在 $\mathbf{R}$ 中也是连通的,因此根据陶哲轩实分析 定理 13.4.5,$f(E)$ 是 $\mathbf{R}$ 中的区间.因此命题成立.

设 $f:X\to Y$ 是从度量空间 $(X,d_X)$ 到度量空间 $(Y,d_Y)$ 的连续映射.设 $E$ 是 $X$ 的连通子集,那么 $f(E)$ 是 $Y$ 的连通子集.

证明:假设 $f(E)$ 不是 $Y$ 的连通子集,则 $f(E)$ 可以分解成两个不相交集合 $A$ 和 $B$ 的并,这两个集合都是相对于 $f(E)$ 的开集.根据陶哲轩实分析 定理 13.1.5 ,可知 $f^{-1}(A)$ 和 $f^{-1}(B)$ 都是 $X$ 中的开集,且该两开集不相交(为什么?),且 $f^{-1}(A)\bigcup f^{-1}(B)=X$(为什么?),这表明 $X$ 是不连通的,这与 $X$ 的连通性矛盾.