矩阵连乘最优结合 动态规划求解

1.引言  多矩阵连乘

对于一般的矩阵乘法来说，如矩阵A(m,n)与矩阵B(n,p)相乘需要进行的加法次数为m*n*p次乘法。

由于矩阵乘法满足结合律，因此矩阵相乘的结合性，会影响整个计算表达式的乘法执行次数。

如下面的例子，其中A(10,5)、B(5,20)、C(20,3)：

　　　　(1) ((AB)C) 执行乘法次数为1300次

　　　　(2) (A(BC)) 执行乘法次数为450次

2.求最优的矩阵结合表达式

(1)设矩阵连乘积A_iA_i+1…A_j简记为A[i:j]，设最优计算次序在A_k和A_k+1之间断开，则加括号方式为：

　　　　((A_iA_i+1…A_k) (A_k+1…A_j) )

则依照这个次序，先计算A[i:k]和A[k+1:j]然后再将计算结果相乘，计算量是：

　　　　A[i:k]的计算量+A[K+1:j]的计算量+它们两者相乘的计算量

这里的关键是：计算A[i:j]的最优次序所包含的两个子过程（计算A[i:k]和A[K+1:j]）也是最优次序

(2)具体计算

　　设计算A[i,j]需要的乘法次数记为m[i,j]。

　　　　M[i,j] = 0;  　　(i == j，表示一个矩阵，当然不需要乘法运算)

　　　　M[i,j] = min(M[i,k]+M[k+1,j]+pi*pk*pj); 　　(k在[i,j)之间取值，表示分割点的位置，求最适合的分割点使得乘法次数最少)

　　下面是使用动态规划计算6个矩阵连乘的示意图。可以使用自底向上计算，这样矩阵的分割点好计算。如先计算01两个矩阵乘积，在计算02三个矩阵乘积，在计算03四个矩阵乘积：

     　　01 12 23 34 45

     　　02 13 24 35

    　　 03 14 25

     　　04 15

     　　05

 3.程序实例

程序可以根据给出的多个矩阵的行、列，生成最优结合的相乘表达式。

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <limits.h>
#include <string>
using namespace std;
///计算M矩阵
int calculate_M(vector<vector<int> >&num,vector<pair<int,int> > &data,vector<vector<int> > &points){
    int len = data.size();
    for(int span = 1;span<len;span++){  ///间隔距离
        for(int col=0;col<len-span;col++){  ///操作起始列

            for(int i=col;i<col+span;i++){
                int tmp = num[col][i] + num[i+1][col+span] + data[col].first*data[i].second*data[col+span].second;
                if(tmp < num[col][col+span]){
                    points[col][col+span] = i;  ///记录分割点
                    num[col][col+span] = tmp;   ///记录最少乘法次数
                }
            }
        }
    }
    return 0;
}

///根据记录的分割点，生成最后的矩阵相乘表达式
string make_result(vector<vector<int> > &points,int t1,int t2){
    if(t1 == t2)
        return string(1,'A'+t1);
    int split = points[t1][t2];
    return "("+make_result(points,t1,split)+"*"+make_result(points,split+1,t2)+")";
}

int main()
{
    vector<pair<int,int>> data; ///保存矩阵的行、列
    data.push_back(make_pair(10,100));  //A
    data.push_back(make_pair(100,5));   //B
    data.push_back(make_pair(5,25));    //C
    data.push_back(make_pair(25,15));   //D
    data.push_back(make_pair(15,20));   //E


    int len = data.size();
    vector<vector<int> > num(len,vector<int>(len)); ///定义二维向量，并预先分配空间，记录乘法次数
    vector<vector<int> > points(len,vector<int>(len)); ///定义二维向量，并预先分配空间，记录分割点
    for(int i=0;i<len;i++){
        for(int j=0;j<len;j++){
            points[i][j] = -1;
            if(i == j)
                num[i][j] = 0;  ///自己和自己相乘，所以为0
            else
                num[i][j] = INT_MAX;    ///否则，记为最大整数值
        }
    }

    calculate_M(num,data,points);
    cout<<make_result(points,0,len-1)<<"\t最少乘法次数为:"<<num[0][len-1]<<endl;
    return 0;
}

输入矩阵，表示每个矩阵的行、列：

输出最优的结合表达式：