【TJOI2017】可乐
题目描述
加里敦星球的人们特别喜欢喝可乐。因而，他们的敌对星球研发出了一个可乐机器人，并且放在了加里敦星球的\(1\)号城市上。这个可乐机器人有三种行为：停在原地，去下一个相邻的城市，自爆。它每一秒都会随机触发一种行为。现在给出加里敦星球城市图，在第\(0\)秒时可乐机器人在\(1\)号城市，问经过了\(t\)秒，可乐机器人的行为方案数是多少？
输入格式
第一行输入两个正整数\(N,M\),\(N\)表示城市个数，\(M\)表示道路个数。(\(1≤N≤30\),\(0≤M≤100\))
接下来M行输入\(u,v\)，表示\(u,v\)之间有一条道路。(\(1≤u,v≤n\))保证两座城市之间只有一条路相连。
最后输入时间\(t\)。
输出格式
输出可乐机器人的行为方案数，答案可能很大，请输出对\(2017\)取模后的结果。
数据范围
对于20%的数据，有\(1<t≤1000\)
对于100%的数据，有\(1<t≤10^6\)。
一开始看着数据范围还以为是一道卡常数题啊......
这个保证\(t≤10^6\)，直觉不会想到\(logt\)啊QAQ
显然，如果这道题目是卡常数题的话，那就是一道很简单的小学生dp了
\(f[i][j][0]\)表示第\(i\)时刻，在城市\(j\)爆炸的方案数，\(f[i][j][1]\)表示第\(i\)时刻，在城市\(j\)不爆炸的方案数
\(f[i][j][0]=f[i-1][j][0]+f[i-1][j][1]\),\(f[i][j][1]=f[i][j][1]+f[i][k][1]\)(\(k\)是\(j\)的相邻结点)
这样是要MLE的，显然状态的答案只与前一状态相关，直接滚动即可
事实证明，这样只有20分
看起来这是一阶递推，考虑用矩乘来优化
先考虑\(f[i][j][1]=f[i][j][1]+f[i][k][1]\)，可以发现，如果我们假设\(i\)结点和自己本身相邻的话，可以将前一项并到后一项当中
我们可以用一个\(n*n\)的矩阵\(A\)和\(f[0][?][1]\)构成的矩阵\(B\)相乘得到，而\(n*n\)的矩阵是表示是否直接相邻的邻接矩阵，特别的\(A[i][i]=1\)
这样的话，我们对\(A\)矩阵快速幂即可
继续考虑\(f[i][j][0]=f[i-1][j][0]+f[i-1][j][1]\)，我们可以发现，这其实是\(\sum f[i-1][j][1]\)，按照前一个幂的处理，可以发现，这其实是一个矩阵的等比数列
直接按照等比数列求个和就好了咯
时间复杂度\(O(nlogn)\)
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<string>
#include<climits>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<map>
#define LL long long
using namespace std;
inline char nc(){
static char buf[100000],*p1=buf,*p2=buf;
if (p1==p2) { p2=(p1=buf)+fread(buf,1,100000,stdin); if (p1==p2) return EOF; }
return *p1++;
}
inline void read(int &x){
char c=nc();int b=1;
for (;!(c>='0' && c<='9');c=nc()) if (c=='-') b=-1;
for (x=0;c>='0' && c<='9';x=x*10+c-'0',c=nc()); x*=b;
}
inline void read(LL &x){
char c=nc();LL b=1;
for (;!(c>='0' && c<='9');c=nc()) if (c=='-') b=-1;
for (x=0;c>='0' && c<='9';x=x*10+c-'0',c=nc()); x*=b;
}
inline int read(char *s)
{
char c=nc();int len=0;
for(;!((c>='A' && c<='Z')||(c>='a' && c<='z'));c=nc()) if (c==EOF) return 0;
for(;((c>='A' && c<='Z')||(c>='a' && c<='z'));s[len++]=c,c=nc());
s[len++]='\0';
return len;
}
inline void read(char &x){
for (x=nc();!(x=='?' || x=='+' || x=='-');x=nc());
}
int wt,ss[19];
inline void print(int x){
if (x<0) x=-x,putchar('-');
if (!x) putchar(48); else {
for (wt=0;x;ss[++wt]=x%10,x/=10);
for (;wt;putchar(ss[wt]+48),wt--);}
}
inline void print(LL x){
if (x<0) x=-x,putchar('-');
if (!x) putchar(48); else {for (wt=0;x;ss[++wt]=x%10,x/=10);for (;wt;putchar(ss[wt]+48),wt--);}
}
int n,m,T,f[40],g[40];
const int mo=2017;
struct data
{
int f[40][40];
}a,b;
void add(data &x,data y)
{
for (int i=1;i<=n;i++)
for (int j=1;j<=n;j++)
x.f[i][j]=(x.f[i][j]+y.f[i][j])%mo;
}
void mul(data &x,data y)
{
data z;
memset(z.f,0,sizeof(z.f));
for (int i=1;i<=n;i++)
for (int j=1;j<=n;j++)
for (int k=1;k<=n;k++)
z.f[i][j]=((x.f[i][k]*y.f[k][j])%mo+z.f[i][j])%mo;
x=z;
}
data Power(data x,int y)
{
data res;
memset(res.f,0,sizeof(res.f));
for (int i=1;i<=n;i++)
res.f[i][i]=1;
for (;y;y>>=1)
{
if (y&1) mul(res,x);
mul(x,x);
}
return res;
}
data Sum(data x,int y)
{
data res;
memset(res.f,0,sizeof(res.f));
if (y==0) return res;
if (y==1) return x;
for (int i=1;i<=n;i++)
res.f[i][i]=1;
add(res,Power(x,y>>1));mul(res,Sum(x,y>>1));
if (y&1) add(res,Power(x,y));
return res;
}
int main()
{
read(n);read(m);
int x,y;
memset(a.f,0,sizeof(a.f));
for (int i=1;i<=m;i++)
read(x),read(y),a.f[x][y]=1,a.f[y][x]=1;
for (int i=1;i<=n;i++)
a.f[i][i]=1;
read(T);
b=a;
a=Power(a,T);
memset(g,0,sizeof(g));
memset(f,0,sizeof(f));
g[1]=1;
for (int i=1;i<=n;i++)
for (int j=1;j<=n;j++)
f[i]=((g[j]*a.f[i][j])%mo+f[i])%mo;
int ans=0;
for (int i=1;i<=n;i++)
ans=(ans+f[i])%mo;
b=Sum(b,T-1);
for(int i=1;i<=n;i++)
b.f[i][i]=(b.f[i][i]+1)%mo;
memset(g,0,sizeof(g));
memset(f,0,sizeof(f));
g[1]=1;
for (int i=1;i<=n;i++)
for (int j=1;j<=n;j++)
f[i]=((g[j]*b.f[i][j])%mo+f[i])%mo;
for (int i=1;i<=n;i++)
ans=(ans+f[i])%mo;
print(ans),puts("");
return 0;
}
