§1.1 随机数的产生
§1.1.1 均匀随机数的产生
随机变量的抽样序列称为随机数列。若随机变量是均匀分布的，则的抽样序列称为均匀随机数列；如果是正态分布的随机变量，则称其抽样序列为正态随机数列。
用数学方法产生随机数，就是利用计算机能直接进行算术运算或逻辑运算的特点，产生具有均匀总体、简单子样统计性质的随机数。计算机利用数学方法产生随机数速度快，占用内存少，对模拟的问题可以进行复算检查，通常还具有较好的统计性质。
另外，计算机上用数学方法产生随机数，是根据确定的算法推算出来的，因此严格说来，用数学方法在计算机上产生的“随机数”不能说是真正的随机数，故一般称之为“伪随机数”。不过对这些伪随机数，只要通过统计检验符合一些统计要求，如均匀性、随机性、独立性等，就可以作为真正的随机数来使用。以后，我们统称这样产生的伪随机数为随机数。
首先给出产生均匀随机数的方法，这是产生具有其它分布随机数的基础，而后给出产生其它分布随机数的方法。
§1.1.1 均匀随机数的产生方法
线性同余法简称为LCG法（Linear Congruence Generator），它是Lehmer 于1951年提出来的。线性同余法利用数论中的同余运算原理产生随机数。分为乘同余法、混合同余法等，线性同余法是目前发展迅速且使用普遍的方法之一。
线性同余法递推公式为
其中为初值，为乘子，为增量，为模，且和皆为非负整数。
当时，上式称为乘同余法公式；当时，上式称为混合同余法公式。
如下例用乘同余法产生伪随机数：
例1：
上述方法虽产生了随机数，但只产生1-10之间的数。
下列用混合同余法产生（0,1）均匀随机数。
例2：
混合同余法：
则 。
用C语言表述为:
double hrand(){
static unsigned long x=1;
x=(314159269L*x+453806245L)%(2147483648L);
return((double)x/2147483648.0);
}
如产生之间的随机数,可令=2+3.
§1.1.1 均匀随机数的应用
下面看几个具体的实例，来看一下随机数有哪些应用。
1.模拟投硬币1000次，记录正面朝上的概率及反面朝上的概率。
（方法：用混合同余法产生1000的均匀随机数，小于0.5时即为“0”(反面)，大于等于0.5是即为“1”（正面）。为0的个数除以1000即为反面朝上的概率，同理1的个数除以1000即为正面朝上的概率。）
下面是模拟正面朝上的概率程序：
#include "stdio.h"
#include "stdlib.h"
double hrand();
int main(){
long i,count=0;
double k;
for(i=1;i<=10000;i++){
k=hrand();
if(k>0.5) {
count++;
}
}
printf("%.16lf\n",(double)count/10000.0);
return(0);
}
double hrand(){
static unsigned long x=1;
x=(314159269L*x+453806245L)%(2147483648L);
return((double)x/2147483648.0);
}
运行结果：
0.4999000000000000
Press any key to continue
2.求
方法一：随机点法
#include "stdio.h"
#include "stdlib.h"
#include "math.h"
double hrand(){
static unsigned long x=1;
x=(314159269L*x+453806245L)%(2147483648L);
return((double)x/2147483648.0);
}
int main(){
long i,count=0;
double x,y,y1;
for(i=1;i<=1000000;i++){
x=hrand(); /*x从0到1*/
y=hrand(); /*y从0到1*/
y1=x*x; /*x^2在x处的值*/
if(y<y1) {count++; /*落入阴影区域，就计数*/
}
}
printf("%.16lf\n",(double)count/1000000.0*1);
return(0);
}
运行结果：
0.3335010000000000
Press any key to continue
方法二：求积分也可由平均值法求得
平均值法：由 (0),
则
用平均值法求中的积分：
令
则，其中
#include "stdio.h"
#include "stdlib.h"
double hrand();
int main(){
long i;
double x,y,n=0,m=10000;
for(i=1;i<=10000;i++){
x=hrand();
y=x*x;
n=n+y;
}
printf("%.16lf\n",(double)n/m);
return(0);
}
double hrand(){
static unsigned long x=1;
x=(314159269L*x+453806245L)%(2147483648L);
return((double)x/2147483648.0);
}
运行结果：
0.3319887679961978
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作业：用两种方法（随机点法，平均值法）求dx的值。
答案：
方法一：随机点法：
#include "stdio.h"
#include "stdlib.h"
#include "math.h"
#define e 2.718281828
double hrand(){
static unsigned long x=1;
x=(314159269L*x+453806245L)%(2147483648L);
return((double)x/2147483648.0);
}
int main(){
long i,count=0;
double x,y,y1;
for(i=1;i<=100000;i++){
x=hrand(); /*x从0到1*/
y=hrand()*e; /*y从0到e*/
y1=exp(x); /*e^x在x处的值*/
if(y<y1) {count++; /*落入阴影区域，就计数*/
}
}
printf("%.16lf\n",(double)count/100000.0*e);
return(0);
}
运行结果：
1.7191773421185998
Press any key to continue
方法二：平均值法
#include "stdio.h"
#include "stdlib.h"
#include "math.h"
double hrand(){
static unsigned long x=1;
x=(314159269l*x+453806245l)%(2147483648l);
return((double)x/2147483648.0);
}
main(){
long i;
double x,y,k,sum=0;
for(i=1;i<=10000000;i++){
x=hrand();
y=exp(x);
sum=sum+y;
}
k=(double)sum/10000000.0;
printf("%.16lf\n",k);
}
运行结果：
1.7184117075589254
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详细情况还是看一下上传的附件“随机数产生原理”
