leetcode 62. Unique Paths

时隔大半年又开始OJ了！

A robot is located at the top-left corner of a m x n grid (marked 'Start' in the diagram below).

The robot can only move either down or right at any point in time. The robot is trying to reach the bottom-right corner of the grid (marked 'Finish' in the diagram below).

How many possible unique paths are there?

Above is a 7 x 3 grid. How many possible unique paths are there?

Note: m and n will be at most 100.

Example 1:

Input: m = 3, n = 2
Output: 3
Explanation:
From the top-left corner, there are a total of 3 ways to reach the bottom-right corner:
1. Right -> Right -> Down
2. Right -> Down -> Right
3. Down -> Right -> Right

Example 2:

Input: m = 7, n = 3
Output: 28
我写的方法使用递归，方法是没错可是次数一多会超时，下面是代码

class Solution1 {			//超时
public:
	int uniquePaths(int m, int n) {
		if (m < 1 || n < 1)
			return 0;
		if (m == 1 && n == 1)
		{
			return 1;
		}
		else
		{
			return uniquePaths(m - 1, n) + uniquePaths(m, n - 1);

		}
	}
};

　　领一种循环的方法，可以accepted

class Solution {			
public:
	int uniquePaths(int m, int n) {
		vector<vector<int>> dp(m);
		for (int i = 0; i < dp.size(); i++)
		{
			dp[i].resize(n);
		}
		for (int i = 0; i < m; i++)
		{
			for (int j = 0; j < n; j++)
			{
				dp[i][j] = 1;
			}
		}

		for (int i = 1; i < m; i++)
		{
			for (int j = 1; j < n; j++)
			{
				dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
			}
		}
		return dp[m-1][n-1];
	}
};

　　另外下面贴一个转载的为什么某些情况下递归比循环效率低的分析

不知道大家发现没有，执行递归算法，特别是递归执行层数多的时候，结果极其的慢，而且递归层数达到一定的值，还可能出现内存溢出的情况。本文就要将为你解释原因和对应的解决方案。

一、递归与循环

1.1所谓的递归慢到底是什么原因呢？

大家都知道递归的实现是通过调用函数本身，函数调用的时候，每次调用时要做地址保存，参数传递等，这是通过一个递归工作栈实现的。具体是每次调用函数本身要保存的内容包括：局部变量、形参、调用函数地址、返回值。那么，如果递归调用N次，就要分配N局部变量、N形参、N调用函数地址、N返回值，这势必是影响效率的，同时，这也是内存溢出的原因，因为积累了大量的中间变量无法释放。

1.2用循环效率会比递归效率高吗？

递归与循环是两种不同的解决问题的典型思路。当然也并不是说循环效率就一定比递归高，递归和循环是两码事，递归带有栈操作，循环则不一定，两个概念不是一个层次，不同场景做不同的尝试。

2.1递归算法：

优点：代码简洁、清晰，并且容易验证正确性。（如果你真的理解了算法的话，否则你更晕）

缺点：它的运行需要较多次数的函数调用，如果调用层数比较深，需要增加额外的堆栈处理（还有可能出现堆栈溢出的情况），比如参数传递需要压栈等操作，会对执行效率有一定影响。但是，对于某些问题，如果不使用递归，那将是极端难看的代码。

2.2循环算法：

优点：速度快，结构简单。

缺点：并不能解决所有的问题。有的问题适合使用递归而不是循环。如果使用循环并不困难的话，最好使用循环。

2.3递归算法和循环算法总结：

1） 一般递归调用可以处理的算法，也可以通过循环去解决，常需要额外的低效处理。

2）现在的编译器在优化后，对于多次调用的函数处理会有非常好的效率优化，效率未必低于循环。

3） 递归和循环两者完全可以互换。如果用到递归的地方可以很方便使用循环替换，而不影响程序的阅读，那么替换成递归往往是好的。（例如：求阶乘的递归实现与循环实现。）

1.3.那么递归使用的栈是什么样的一个栈呢？

首先，看一下系统栈和用户栈的用途。

3.1系统栈（也叫核心栈、内核栈）

是内存中属于操作系统空间的一块区域，其主要用途为：
1)保存中断现场，对于嵌套中断，被中断程序的现场信息依次压入系统栈，中断返回时逆序弹出；
2)保存操作系统子程序间相互调用的参数、返回值、返回点以及子程序(函数)的局部变量。

3.2用户栈

是用户进程空间中的一块区域，用于保存用户进程的子程序间相互调用的参数、返回值、返回点以及子程序(函数)的局部变量。

我们编写的递归程序属于用户程序，因此使用的是用户栈。

二、递归与尾递归

以上初略介绍了递归与循环的实现机理，似乎代码简洁和效率不能共存。那么有没有一种方法能拥有递归代码简洁的好处，同时给我们带来更快的速率么？算法的世界会告诉你，一切皆有可能。它的名字叫做尾递归。

让递归和尾递归来做一个对比吧。

2.1递归

用线性递归实现Fibonacci函数，程序如下所示：

int FibonacciRecursive(int n)
 {
     if( n < 2)
         return n;
     return (FibonacciRecursive(n-1)+FibonacciRecursive(n-2));
}

递归写的代码非常容易懂，完全是根据函数的条件进行选择计算机步骤。例如现在要计算n=5时的值，递归调用过程如下图所示，可以看出，程序向下递归，向上返回，所以每一步都需要存储中间变量和过程。

 

 

2.2 尾递归

顾名思义，尾递归就是从最后开始计算, 每递归一次就算出相应的结果, 也就是说, 函数调用出现在调用者函数的尾部, 因为是尾部, 所以根本没有必要去保存任何局部变量。直接让被调用的函数返回时越过调用者, 返回到调用者的调用者去。尾递归就是把当前的运算结果（或路径）放在参数里传给下层函数，深层函数所面对的不是越来越简单的问题，而是越来越复杂的问题，因为参数里带有前面若干步的运算路径。

尾递归是极其重要的，不用尾递归，函数的堆栈耗用难以估量，需要保存很多中间函数的堆栈。比如f(n, sum) = f(n-1) + value(n) + sum，会保存n个函数调用堆栈，而使用尾递归f(n, sum) = f(n-1, sum+value(n))，这样则只保留后一个函数堆栈即可。

采用尾递归实现Fibonacci函数，程序如下所示：

int FibonacciTailRecursive(int n,int ret1,int ret2)
{
   if(n==0)
      return ret1; 
    return FibonacciTailRecursive(n-1,ret2,ret1+ret2);
}

 

 

例如现在要计算n=5时的值，尾递归调用过程如下图所示：

 

 

从图可以看出，尾递归不需要向上返回了，但是需要引入额外的两个空间来保持当前的结果，这样减少了中间变量的存储和返回，大大提升了效率，而且避免了内存溢出。

三、举一反三

相信很多读者对于快速排序都耳熟能详，不知道各位还记得快速排序的实现就是基于递归实现的么，于是这里就提供了一种优化快速排序的方案，当然尾递归不能改变快速排序的时间复杂度，但是提升性能还是没问题的。笔者不再做详细介绍，只贴上实现代码，留给各位独立思考的空间。

int Partition(int *p,int len,int start,int last)  
{  
    int flag=*(p+start);  
    int i=start;  
    int j=last;  
    while(i<j)  
    {  
        while(i<j && *(p+j)>flag) --j;  
        *(p+i)=*(p+j);  
        while(i<j  && *(p+i)<=flag) ++i;  
        *(p+j)=*(p+i);  
    }  
    *(p+i)=flag;  
    return i;     
}  
  
void QuickSort(int *p,int len,int start,int last)  
{  
   if(NULL=p) return;  
   int index;  
   while(start<last)  
   {  
     index=Partition(p,len,start,last);  

     QuickSort(p,len,start,index-1);  
     //QuickSort(p,len,index+1,last);   ／**递归调用*／
     start=index+1;   ／**尾递归调用*／
   }          
} 

作者：爱情小傻蛋
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來源：简书
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