分离参数法

前言

在高中数学教学实践中，有一种使用频度比较高的数学方法，叫分离参数法，她和许多数学素材有关联，高三学生大多都耳熟能详，但对其具体的来由和需要注意的问题却不是很清楚，本博文试着对此做个总结，以廓清我们认识上的误区，帮助我们提高教学，也帮助学生顺利掌握这一方法。

方法定义

已知函数\(f(x)=x^2 +ax-2\ge 0\)在区间\([1，5]\)上恒成立，求参数\(a\)的取值范围。

[法1]：二次函数法，由于\(\Delta=a^2+8>0\)，故不需要考虑\(\Delta<0\)的情形，

只需要考虑对称轴\(x=-\cfrac{a}{2}\)和给定区间\([1，5]\)的相对位置关系

当\(-\cfrac{a}{2}\leq 1\)时，即\(a\geqslant -2\)时，函数\(f(x)\)在区间\([1,5]\)单调递增，

所以\(f(x)_{min}=f(1)=1+a-2\geqslant 0\),解得\(a\geqslant 1\)，又因为\(a\geqslant -2\)，所以得到\(a\geqslant 1\)。

当\(-\cfrac{a}{2}\ge 5\)时，即\(a\leqslant -10\) 时，函数\(f(x)\)在区间 \([1,5]\)单调递减，

所以\(f(x)_{min}=f(5)=25+5a-2\ge 0\),解得\(a\ge -\cfrac{23}{5}\)，

又因为\(a\leq -10\)，所以得到\(a\in\varnothing\)。

当\(1<-\cfrac{a}{2}<5\)，即\(-10<a<-2\)时，\(f(x)min=f(-\cfrac{a}{2})=\cfrac{a^2}{4}-\cfrac{a^2}{2}-2≥0\)，

得到\(a\in\varnothing\)。（这种情形可以省略）

综上可得\(a\geqslant 1。\)即\(a\)的取值范围是\([1，+\infty)\)

[法2]：两边同时除以参数\(a\)的系数\(x\)(由于\(x\in [1，5]\)，不等号方向不变)，得到

\(a\geqslant \cfrac{2}{x}－x\)在区间 \([1，5]\)上恒成立, 令\(g(x)=\cfrac{2}{x}－x\)，

则利用函数单调性的结论，可以看到\(g(x)=\cfrac{2}{x}－x\)在区间 \([1，5]\)上单调递减，

所以\(g(x)_{max}=g(1)=1\)，所以\(a\geqslant 1\)，即\(a\)的取值范围是\([1，+\infty)\)

相比较而言，法2比法1要简单快捷的多，其使用的策略是将参数和自变量分离开，故这样的方法自然就叫分离参数法。

使用场景

【2017\(\cdot\) 西安模拟】已知函数\(f(x)=kx^2-lnx\)有两个零点，求参数\(k\)的取值范围。

$A.k > \cfrac{e}{2}$ $B.0< k <\sqrt{e}$ $C.k > \cfrac{\sqrt{2}e}{2}$ $D.0< k <\cfrac{1}{2e}$

【法1】：不完全分离参数法，定义域为\((0，+\infty)\)，转化为方程\(kx^2=lnx\)有两个不同的实数根，

再转化为函数\(y=kx^2\)与函数\(y=lnx\)的图像有两个不同的交点，

如图设两个函数的图像相切于点为\((x_0，y_0)\)，

则有关系式\(\begin{cases}2kx_0=\cfrac{1}{x_0}①\\kx_0^2=y_0②\\y_0=lnx_0③\end{cases}\)， 从哪些角度列从三个角度列方程：两曲线在切点处的斜率相等；点在曲线一上；点在曲线二上；\(\quad\).

由 ① 得到\(2kx_0^2=1\)，代入 ② 式，解得\(y_0=\cfrac{1}{2}，x_0=\sqrt{e}\)，即切点为\((\sqrt{e}，\cfrac{1}{2})\)，

再代入函数\(y=kx^2\)，求得此时的\(k=\cfrac{1}{2e}\)，

再结合函数\(y=kx^2\)的系数\(k\)的作用，可得两个函数要有两个不同的交点，

则\(k\in(0，\cfrac{1}{2e})\)。 故选\(D\).

【法2】：完全分离参数法，定义域为\((0，+\infty)\)，转化为方程\(kx^2=lnx\)有两个不同的实数根，

再转化为\(k=\cfrac{lnx}{x^2}\)有两个不同的实数根，

再转化为函数\(y=k\)和函数\(y=g(x)=\cfrac{lnx}{x^2}\)的图像有两个不同的交点，

用导数研究函数\(g(x)\)的单调性，\(g'(x)=\cfrac{\cfrac{1}{x}\cdot x^2-lnx\cdot 2x}{(x^2)^2}=\cfrac{1-2lnx}{x^3}\)，

令\(1-2lnx>0\)，得到\(0< x<\sqrt{e}\)，令\(1-2lnx<0\)，得到\(x >\sqrt{e}\)，

即函数\(g(x)\)在区间\((0，\sqrt{e}]\)上单调递增，在\([\sqrt{e}，+\infty)\)上单调递减，

故\(g(x)_{max}=g(\sqrt{e})=\cfrac{1}{2e}\)，

作出函数\(g(x)\)和函数\(y=k\)的简图，由图像可得\(k\)的取值范围是\(k\in(0，\cfrac{1}{2e})\)。 故选\(D\).

• 从上述的解法中我们体会到，如果一个数学题目从数的角度直接来求解，结果很有可能要么不会求解，要么解不出，更或者没有思路；此时若换个角度思考，从形入手分析，将参数或含有参数的代数式(比如\(k+1\))和自变量分别放置在等号的两端，即\(k=f(x)\)的形式，然后数的问题就转化为形的问题了，从而直观快捷，思路简单明了。 一句话，当我们从形的角度入手分析解题时，接下来使用的方法常常是分离参数法。

常见类型

• ①完全分离参数法：如\(\lambda f(x)=g(x)\Rightarrow \lambda=\cfrac{g(x)}{f(x)}\)；

引例，已知函数\(f(x)=kx^2-lnx\)有两个零点，求参数\(k\)的取值范围，用常规法分离参数，即得到方程\(k=\cfrac{lnx}{x^2}\)有两个不同实根，具体解法链接

【菁优网答题改编】已知函数\(f(x)=mlnx+x^2-mx\)在\((1，+∞)\)上单调递增，求\(m\)的取值范围____________．

分析：由题目可知，\(f'(x)≥0\)在\((1，+∞)\)上恒成立，且\(f'(x)\)不恒为零，

则有\(f'(x)=\cfrac{m}{x}+2x-m=\cfrac{2x^2-mx+m}{x}≥0\)在\((1，+∞)\)上恒成立，

即\(2x^2-mx+m≥0\)在\((1，+∞)\)上恒成立，常规法分离参数得到

\(m≤\cfrac{2x^2}{x-1}=\cfrac{2(x-1)^2+4x-2}{x-1}=\cfrac{2(x-1)^2+4(x-1)+2}{x-1}=2(x-1)+\cfrac{2}{x-1}+4\)

由于\(x>1\)，故\(2(x-1)+\cfrac{2}{x-1}+4≥2\sqrt{4}+4=8\)，当且仅当\(x=2\)时取到等号。

故\(m≤8\)，当\(m=8\)时，函数不是常函数，也满足题意，故\(m\in (-\infty，8]\)。

• ②倒数法分离参数：如\(\lambda f(x)=g(x)\Rightarrow \cfrac{1}{\lambda}=\cfrac{f(x)}{g(x)}\)；

引例，方程\(kx^2=e^x\)，若常规法分离参数得到\(k=\cfrac{e^x}{x^2}\)，就没有倒数法分离为\(\cfrac{1}{k}=\cfrac{x^2}{e^x}\)优越，

原因是函数\(y=\cfrac{e^x}{x^2}\)在\(x=0\)处有断点，而函数\(y=\cfrac{x^2}{e^x}\)在\(x\in R\)上是处处连续的，函数相对简单一些。

已知函数\(f_1(x)=e^x\)，\(f_2(x)=ax^2-2ax+b\)，设\(a>0\)，若对任意的\(m，n∈[0，1](m\neq n)\)，\(|f_1(m)-f_1(n)|>|f_2(m)-f_2(n)|\)恒成立，求\(a\)的最大值。

分析：不妨设\(m>n\)，则函数\(f_1(x)\)在区间\([0，1]\)上单调递增，故\(f_1(m)-f_1(n)>0\)，

又\(f_2(x)=a(x-1)^2+b-a\)，对称轴是\(x=1\)，开口向上，

故函数\(f_2(x)\)在区间\([0，1]\)上单调递减，故\(f_2(m)-f_2(n)<0\)，

这样对任意的\(m，n\in [0，1](m>n)\)，\(|f_1(m)-f_1(n)|>|f_2(m)-f_2(n)|\)恒成立，

就可以转化为\(f_1(m)-f_1(n)>f_2(n)-f_2(m)\)恒成立，

即\(f_1(m)+f_2(m)>f_1(n)+f_2(n)\)恒成立，

令\(h(x)=f_1(x)+f_2(x)=e^x+ax^2-2ax+b\)，

则到此的题意相当于已知\(m>n\)时，\(h(m)>h(n)\)，

故函数\(h(x)\)在区间\([0，1]\)上单调递增，故\(h'(x)≥0\)在区间\([0，1]\)上恒成立；

即\(h'(x)=e^x+2ax-2a≥0\)在区间\([0，1]\)上恒成立；

即\(2a(1-x)≤e^x\)恒成立，这里我们使用倒数法分离参数得到，

\(\cfrac{1}{2a}≥\cfrac{1-x}{e^x}\)在区间\([0，1]\)上恒成立；

再令\(p(x)=\cfrac{1-x}{e^x}\)，即需要求\(p(x)_{max}\)，

\(p'(x)=\cfrac{-1×e^x-(1-x)e^x}{(e^x)^2}=\cfrac{x-2}{e^x}\)，

容易看出，当\(x∈[0，1]\)时，\(p'(x)<0\)恒成立，故\(p(x)\)在区间\([0，1]\)上单调递减，

则\(p(x)_{max}=p(0)=1\)，故\(\cfrac{1}{2a}≥1\)，又\(a>0\)，

故解得\(0<a≤1\)。故\(a_{max}=1\).

• ③讨论法分离参数：如\(\lambda f(x)\ge g(x)\)；

比如，\(\lambda(x-1)\ge 2lnx\)对任意的\(x\in(0，1]\)恒成立，接下来分\(x=1\)和\(0<x<1\)分类讨论分离参数，具体见博文的后半部分的对应例题。

已知对任意\(x>0\)且\(x\neq 1\)，不等式\(\cfrac{x-m}{lnx}>\sqrt{x}\)恒成立，求参数\(m\)的值。

分析：对任意\(x>0\)且\(x\neq 1\)，不等式\(\cfrac{x-m}{lnx}>\sqrt{x}\)恒成立等价于

当\(0<x<1\)时，\(m>x-\sqrt{x}lnx①\)恒成立，或者当\(x>1\)时，\(m<x-\sqrt{x}lnx②\)恒成立，

令\(h(x)=x-\sqrt{x}lnx(x>0，x\neq 1)\)，\(h'(x)=\frac{2\sqrt{x}-lnx-2}{2\sqrt{x}}\)

令\(\phi(x)=2\sqrt{x}-lnx-2\)，则\(\phi'(x)=\frac{\sqrt{x}-1}{x}\)；

易知\(\phi(x)\)在\((0，1)\)上单调递减，在\((1，\infty)\)上单调递增，

所以\(\phi(x)>\phi(1)=0\)，即得到\(h'(x)>0\)，

因此由①式可得，\(m\ge h(1)=1\)，由②式得\(m\leq h(1)=1\)

取两种结果的交集，所以\(m=1\)。

故不等式\(\cfrac{x-m}{lnx}>\sqrt{x}\)恒成立的充要条件是\(m=1\)。

• ④整体法分离参数：如\(\lambda^2+2\lambda=f(x)\)；

【2017湖南郴州二模】若命题“\(P：\exists x_0\in R，2^x_0-2+3a\leq a^2\)”是假命题，则实数\(a\)的取值范围是__________。

分析：由题目可知，命题“\(\neg P：\forall x\in R，2^x-2> a^2-3a\)”是真命题，

即\(2^x-2> a^2-3a\)对\(\forall x\in R\)恒成立，故\((2^x-2)_{min}>a^2-3a\)，

只需求\((2^x-2)_{min}\)，而\(2^x-2>-2\)，则有\(-2\ge a^2-3a\)，即\(a^2-3a+2\leq 0\)，

解得\(1\leq a\leq 2\)，故实数\(a\)的取值范围是\([1，2]\)。

已知函数\(f(x)=-x^2+ax+b^2-b+1(a\in R，b\in R)\)，对任意实数\(x\)都有\(f(1-x)=f(1+x)\)成立，若当\(x\in[-1，1]\)时，\(f(x)>0\)恒成立，则\(b\)的取值范围是_____________.

分析：先由\(f(1-x)=f(1+x)\)得到，二次函数的对称轴\(x=-\cfrac{a}{-2}=1\)，解得\(a=2\)，

故题目转化为\(-x^2+2x+b^2-b+1>0\)对任意\(x\in [-1,1]\)恒成立，

用整体法分离参数，得到\(b^2-b>x^2-2x-1\)对任意\(x\in[-1,1]\)恒成立。

令\(g(x)=x^2-2x-1，x\in[-1,1]\)，需要求函数\(g(x)_{max}\)；

\(g(x)=x^2-2x-1=(x-1)^2-2，x\in[-1，1]\)，

故\(g(x)\)在区间\([-1，1]\)上单调递减，则\(g(x)_{max}=g(-1)=2\)，

故\(b^2-b>2\)，解得\(b<-1\)或\(b>2\)。

法2：还可以利用对称轴与给定区间的关系求解；

• ⑤不完全分离参数法：如\(kx^2=lnx\)；

比如，已知函数\(f(x)=kx^2-lnx\)有两个零点，求参数\(k\)的取值范围，用不完全分离参数法，即得到方程\(kx^2=lnx\)有两个不同实根，具体解法链接

局限之处

并不是所有的含参问题都适合分离参数，比如\(ax^2-a^2x+3<0\)在区间\([1,2]\)上恒成立，求\(a\)的范围，就不能用分离参数的方法，因为你没法将参数和自变量有效的分开，所以此时你可能需要借助二次函数的图像来考虑，而不是一味的使用分离参数法。

一般来说，以下的一些情形都不适合使用分离参数法：

• (1)不能将参数和自变量有效的分离开的；

比如，已知方程\(e^{-x}=ln(x+a)\)在\(x>0\)时有解，求参数的取值范围；

本题目就不能将参数和自变量有效的分离开的，此时我们就可以考虑用数形结合的思路求解。解法

• (2)如果参数的系数能取到正、负、零三种情形的，

引例，已知函数\(f(x)=x^2+ax-2a\ge 0\)对\(x\in [1，5]\)上恒成立，求参数\(a\)的取值范围。

如果用分离参数的方法，则先转化为\((x-2)a\ge -x^2，x\in [1，5]\)

接下来就转化成了三个恒成立的命题了，不管会不会做，从效率上都已经很不划算了。具体的解法已经隐藏。

• (3)分离参数后，得到的新函数变得复杂无比的；

比如函数\(f(x)=x^2-2x+a(e^{x-1}+e^{-x+1})\)有唯一的零点，分离参数后，得到\(a=\cfrac{-x^2+2x}{e^{x-1}+e^{-x+1}}=h(x)\)，

你确信你能研究清楚函数\(h(x)\)的性质，并用手工做出函数的图像吗？省省吧，您呐。

• (4)分离参数后，得到的新函数中有\(sinx\)和\(cosx\)的，他们都有无穷阶导数，所以求导会一直做下去，一般不会使得函数式变得简单。

比如已知\(2a-1+sin2x+a(sinx-cosx)\ge 0\)在\(x\in [0，\cfrac{\pi}{2}]\)上恒成立，求参数\(a\)的取值范围。\([1，+\infty)\)

接下来的思路有：

思路一：分离参数，当分离为\(a\ge \cfrac{1-sin2x}{2+sinx-cosx}=g(x)\)时，你会发现，求函数\(g(x)_{max}\)很难，所以放弃；

思路二：转化划归，令\(sinx-cosx=t=\sqrt{2}sin(x-\cfrac{\pi}{4})\)，由于\(x\in [0，\cfrac{\pi}{2}]\)，故\(t\in [-1，1]\)

由\((sinx-cosx)^2=t^2\)，得到\(sin2x=1-t^2\)，故不等式转化为\(at+1-t^2+2a-1\ge 0\)，

即\(t^2-at-2a\leq 0\)在\(t\in [-1，1]\)上恒成立，令\(h(t)=t^2-at-2a，t\in [-1，1]\)，

则\(h(t)\leq 0\)等价于\(\begin{cases}h(-1)=1+a-2a\leq 0\\h(1)=1-a-2a\leq 0 \end{cases}\)，解得\(a\ge 1\)，

• (5)看题目的选项确定方法

【2019届高三理科数学二轮用题】已知函数\(f(x)=mx-\cfrac{1-m}{x}+lnx\)，要使得函数\(f(x)>0\)恒成立，则正实数\(m\)应该满足【】

$A.\cfrac{m-1}{m}\cdot e^{2m-1} < 1$

$B.\cfrac{m-1}{m}\cdot e^{1-2m}< 1$

$C.\cfrac{m-1}{m}\cdot e^{2m-1} >1$

$D.\cfrac{m-1}{m}\cdot e^{1-2m} >1$

法1：先考虑分离参数法，若能成功分离参数，那么得到的形式必然是\(m>g(x)\)或\(m<g(x)\)的形式，接下来需要求解函数\(g(x)\)的最值，其必然是数字化的，则结果和给定的选项的形式是不一致的，故这个思路做了大致分析后放弃；

法2：由函数\(f(x)>0\)恒成立，则需要求在\((0，+\infty)\)上的函数\(f(x)_{min}>0\)即可，故考虑用导数方法；

\(f'(x)=\cfrac{(x+1)[mx+(1-m)]}{x^2}\)， 故函数在\(x=\cfrac{m-1}{m}\)处取到最小值，则要使得函数\(f(x)>0\)恒成立，只需要\(f(\cfrac{m-1}{m})>0\)即可，

对此化简整理得到，正实数\(m\)应该满足\(\cfrac{m-1}{m}\cdot e^{2m-1}>1\)，故选\(C\)。

解后反思：本题目的解法有点漏洞，条件中应该使得\(m>1\)，而不仅仅是\(m>0\)，否则当\(0<m\leq 1\)时，函数\(f(x)\)在\((0，+\infty)\)上单调递增，其最小值的极限为\(f(0)\)，题目就有了问题。

策略延伸

在具体的解题实践中，我们会发现绝大多数的题目可以用分离参数法解决，但是如果简单尝试后发现此法行不通，则需要及时调整解题思路和策略，比如做差构造新函数的思路。

已知函数\(f(x)=x^2-ax\)，\(g(x)=mx+nlnx\)，函数\(f(x)\)的图像在点\((1，f(1))\)处的切线的斜率为\(1\)，函数\(g(x)\)在\(x=2\)处取到极小值\(2-2ln2\)；

(1)求函数\(f(x)\)与\(g(x)\)的解析式；

分析：由题可知\(f'(x)=2x-a\)，又\(f'(1)=2-a=1\)，解得\(a=1\)，即\(f(x)=x^2-x\)；

又\(g'(x)=m+\cfrac{n}{x}\)，由\(g'(2)=m+\cfrac{n}{2}=0\)及\(g(2)=2m+nln2=2-2ln2\)，解得\(m=1，n=-2\)，即\(g(x)=x-2lnx\)；

(2)已知函数\(f(x)+g(x)\ge x^2-\lambda(x-1)\)对任意的\(x\in(0，1]\)恒成立，求实数\(\lambda\)的取值范围。

分析：由于\(f(x)+g(x)=x^2-2lnx\)，则\(x^2-2lnx\ge x^2-\lambda(x-1)\)对任意的\(x\in(0，1]\)恒成立，可以有以下的思路：

法1：带参分析法，先令\(h(x)=\lambda(x-1)-2lnx\)，则问题转化为\(h(x)\ge 0\)对任意的\(x\in(0，1]\)恒成立，

\(h'(x)=\lambda-\cfrac{2}{x}=\cfrac{\lambda x-2}{x}\)

当\(\lambda\leq 0\)时，\(h'(x)<0\)，\(h(x)\)在区间\((0，1]\)上单调递减，

\(h(x)_{min}=h(1)=0\)，即\(h(x)\ge 0\)恒成立；

当\(0<\lambda \leq 2\)时，\(h'(x)<0\)，\(h(x)\)在区间\((0，1]\)上单调递减，

\(h(x)_{min}=h(1)=0\)，即\(h(x)\ge 0\)恒成立；

当\(\lambda>2\)时，\(h'(x)<0\)在\((0，\cfrac{2}{\lambda})\)上恒成立，\(h'(x)>0\)在\((\cfrac{2}{\lambda}，1)\)上恒成立，

即\(h(x)\)在\((0，\cfrac{2}{\lambda})\)单调递减，在\((\cfrac{2}{\lambda}，1)\)上单调递增，

所以\(h(\cfrac{2}{\lambda})<h(1)=0\)，故不满足题意，注意\(h(1)=0\)，即函数\(h(x)\)恒过点\((1，0)\)

综上所述，实数\(\lambda\)的取值范围为\((-\infty，2]\)。

法2：讨论法分离参数，先转化为\(\lambda(x-1)\ge 2lnx\)对任意的\(x\in(0，1]\)恒成立，

当\(x=1\)时，\(\lambda\cdot 0\ge 2ln1=0\)，\(\lambda\in R\)；

当\(x\in (0，1)\)时，分离参数得到\(\lambda \leq \cfrac{2lnx}{x-1}\)；令\(h(x)= \cfrac{2lnx}{x-1}\)，

\(h'(x)=\cfrac{\cfrac{2}{x}(x-1)-2lnx}{(x-1)^2}=\cfrac{2(1-\cfrac{1}{x}-lnx)}{(x-1)^2}\)；

令\(m(x)=1-\cfrac{1}{x}-lnx\)，则\(m'(x)=\cfrac{1}{x^2}-\cfrac{1}{x}=\cfrac{1-x}{x^2}\)，

则\(m'(x)>0\)，则\(m(x)\)在\((0，1)\)上单调递增，故\(m(x)<m(1)=0\)，故\(h'(x)=\cfrac{2m(x)}{(x-1)^2}<0\)，

则\(h(x)\)在\((0，1)\)上单调递减，故\(h(x)>h(1)=2\)(由洛必达法则求得)，即\(\lambda\leq 2\)

综上所述求交集得到，\(\lambda \in(-\infty，2]\)。

法3：不完全分离参数法，由\(\lambda(x-1)\ge 2lnx\)对任意的\(x\in(0，1]\)恒成立，

做函数\(y=\lambda(x-1)\)和函数\(y=2lnx\)的图像，示意图

设直线\(y=\lambda(x-1)\)与曲线\(y=2lnx\)相切于点\((x_0，y_0)\)，则有\(\cfrac{2}{x_0}=\lambda\)，\(y_0=2lnx_0\)，\(y_0=\lambda(x_0-1)\)，

求得切点坐标\((1，0)\)，此时\(\lambda=2\)，由\(\lambda\)的几何意义可知，\(\lambda\)的取值范围是\((-\infty，2]\)。

注意事项

• 分离参数法，一般常用于恒成立问题、能成立问题(有解)，或无解问题，或已知函数零点个数命题中的参数取值范围问题，又或是从数的角度不好解决需要从形的角度入手的问题。
• 分离参数时，尽可能的使函数形式简单，这样求导数判断单调性就简单些，而参数形式复杂些或者简单些都无所谓，

【2018年宝鸡市三检理科数学第21题】【已知函数无零点，求参数的取值范围或最值】已知函数\(f(x)=(2-a)x-2(1+lnx)+a\)，\(g(x)=\cfrac{ex}{e^x}\)，

(1)若函数\(f(x)\)在区间\((0，\cfrac{1}{2})\)上无零点，求实数\(a\)的最小值。

【法1】(分离参数，参数形式简单，函数复杂)

碰到这类问题，我们的第一反应往往是分离参数，然后数形结合求解，但是这个方法不见得是很恰当和很灵活的。

先变形为\(a(1-x)=2+2lnx-2x\)，再分离参数为\(a=\cfrac{2+2lnx-2x}{1-x}\)，其中\(x\in (0，\cfrac{1}{2})\)，

令函数\(h(x)=\cfrac{2+2lnx-2x}{1-x}\)，接下来用导数研究单调性，准备做函数的大值图像，

\(h'(x)=\cfrac{(\cfrac{2}{x}-2)(1-x)-(2+2lnx-2x)(-1)}{(1-x)^2}=\cfrac{2lnx+\cfrac{2}{x}-2}{(1-x)^2}\)

暂时没法看透\(h'(x)\)的正负值，也无法判断原函数\(h(x)\)的增减性，

故再设\(h'(x)\)的分子函数为\(m(x)=2lnx+\cfrac{2}{x}-2\)，

\(m'(x)=\cfrac{2}{x}-\cfrac{2}{x^2}=\cfrac{2x-2}{x^2}\)，

由于\(0< x <\cfrac{1}{2}\)，故\(m'(x) <0\)，即\(m(x)\)单调递减，

故函数\(m(x)\)的最小值的极限为\(m(\cfrac{1}{2})=2ln\cfrac{1}{2}+4-2=2(1-ln2)>0\)

编外话：由分子函数\(m(x)\)的最小值的极限为正，说明函数\(h'(x)\)的分子都为正，

故\(h'(x)=\cfrac{m(x)}{(1-x)^2}>0\)，故函数\(h(x)\)在\(x\in (0，\cfrac{1}{2})\)上单调递增，

故\(h(x)\)的最大值的极限为\(h(\cfrac{1}{2})=\cfrac{2+2ln\cfrac{1}{2}-2\times\cfrac{1}{2}}{1-\cfrac{1}{2}}=2(1-2ln2)\)

要使直线\(y=a\)与函数\(y=h(x)(0< x <\cfrac{1}{2})\)没有交点，

则\(a\)的取值范围是\(a\ge 2(1-2ln2)\)，故\(a_{min}=2-4ln2\)。

【法2】(分离参数，参数形式复杂，函数简单)

将原方程\((2-a)x-2(1+lnx)+a=0\)，先变形为\((2-a)x+(a-2)-2lnx=0\)，再变形为\(\cfrac{2-a}{2}=\cfrac{lnx}{x-1}\)，

令\(h(x)=\cfrac{lnx}{x-1}\)，

则\(h'(x)=\cfrac{\cfrac{1}{x}(x-1)-lnx}{(x-1)^2}=\cfrac{1-\cfrac{1}{x}-lnx}{(x-1)^2}\)

令\(m(x)=1-\cfrac{1}{x}-lnx\)，

则\(m'(x)=\cfrac{1}{x^2}-\cfrac{1}{x}=\cfrac{1-x}{x^2}>0\)在\((0，\cfrac{1}{2})\)上恒成立，

故函数\(m(x)\)在\((0，\cfrac{1}{2})\)单调递增，

故\(m(x)_{max}\)的极限为\(m(\cfrac{1}{2})=1-2-ln\cfrac{1}{2}=ln2-1<0\)

则函数\(h'(x)=\cfrac{m(x)}{(x-1)^2}<0\)在\((0，\cfrac{1}{2})\)上恒成立，

函数\(h(x)\)在\((0，\cfrac{1}{2})\)上单调递减，

则\(h(x)_{min}\)的极限为\(h(\cfrac{1}{2})=\cfrac{ln\cfrac{1}{2}}{\cfrac{1}{2}-1}=2ln2\)

要使得原方程无解，必须满足函数\(y=\cfrac{2-a}{2}\)与函数\(y=h(x)\)没有交点，

即\(\cfrac{2-a}{2}\leq 2ln2\)，即\(a\ge 2-4ln2\)

故\(a_{min}=2-4ln2\)。

【法3】要是不用分离参数的方法，我们还可以这么分析呢？我们这样想，分离参数法是从数的角度来求解的，那么我们可以换个思路，想想能不能从形上入手分析？这时候，最好将原方程\(f(x)=0\)变形得到两个函数\(h(x)=m(x)\)，其中这两个函数最好是基本初等函数，这样它们的图像我们不用费事就能做出来，同时让参数配备个几何意义那是最好的选择，比如斜率等等，故求解如下：

由于函数\(f(x)=0\)在\(x\in (0，\cfrac{1}{2})\)上没有零点，

则\((2-a)x-2(1+lnx)+a=0\)在\(x\in (0，\cfrac{1}{2})\)上没有零点，

变形为\((2-a)(x-1)=2lnx(0< x <\cfrac{1}{2})\)

这样左端为函数\(h(x)=(2-a)(x-1)\)，是过定点\((1，0)\)斜率是\(2-a\)的直线段，

右端为函数\(m(x)=2lnx\)，是过定点\((1，0)\)的对数型函数的一部分，图像

当直线段过点\((1，0)\)和\((\cfrac{1}{2}，2ln\cfrac{1}{2})\)时，斜率为\(k=\cfrac{2-2ln\cfrac{1}{2}}{1-\cfrac{1}{2}}=4ln2\)，

由图像可知，要让这两个定义在\(x\in (0，\cfrac{1}{2})\)上的函数没有交点，

只需要函数\(h(x)\)的斜率\(2-a\)小于等于斜率\(k=4ln2\)即可，

故\(2-a\leq 4ln2\)，即则\(a\)的取值范围是\(a\ge 2(1-2ln2)\)，

故\(a_{min}=2-4ln2\)。

解后反思：

1、法1是这类问题的通用解法，但是分离参数后得到的右端的函数，其单调性用导数判断可能很辛苦，这个题目就说明了这一点，而且用到了二阶导数，一般学生根本分不清一阶导数和二阶导数的关系，所以慎重使用。

2、法2比法1虽然都是分离参数法，但是我们感觉法2比法1要简单，其主要原因是法2采用的策略是，让函数简单些，让参数复杂些，这样运算量就小很多了。

3、法3将方程分离成立两个基本初等函数的形式，这样就可以很快很容易的使用形来解决问题了，到此我们也能体会命题人的意图，能将问题简化为我们学习过的，简单模型的学生，是不是其思维具有更好的可塑性。

通过以上七个方面的粗浅探索，相信各位会对分离参数法有更深入的理解，使用会更加得心应手。

对应练习

【2019凤翔中学高二期末考试题】函数\(f(x)=x^2\)，\(g(x)=2lnx+a\)有公共点，则\(a\)的取值范围是【】

$A.(e，+\infty)$ $B.(1，+\infty)$ $C.[1，+\infty)$ $D.(-\infty，1)$

提示：选\(C\)。

法1：分别作出两个函数的图像，由图像可知\(a\geqslant 1\)，故选\(C\).

法2：转化法，转化为函数\(h(x)=f(x)-g(x)=x^2-2lnx-a\)有零点，分析单调性，令\(h(x)_{min}\leqslant 0\)，故选\(C\).

法3：转化法+分离参数法，转化为\(a=x^2-2lnx\)有解，即函数\(y=a\)和函数\(y=x^2-2lnx\)图像有交点，故选\(C\).

引申：可能还会同时考查整体思想，比如以下的题目；

函数\(f(x)=x^2\)，\(g(x)=2lnx+b^2-b\)有公共点，则\(b\)的取值范围是____________.

函数\(f(x)=x^2\)，\(g(x)=2lnx+a+\cfrac{1}{a}\)有公共点，则\(a\)的取值范围是____________.

思路补充

碰到函数有零点等问题时，我们一般优先选取分离参数法，但是如果分离后得到的函数的最值求解有难度或不太好分离参数时，次之选择分类讨论；

若函数 \(f(x)=x-\sqrt{x}-a\ln x\) 在区间 \((1,+\infty)\) 上存在零点，则实数 \(a\) 的取值范围为【 \(\quad\) 】

$A.(0, \cfrac{1}{2})$ $B.(\cfrac{1}{2},e)$ $C.(0, +\infty)$ $D.(\cfrac{1}{2},+\infty)$

分析：当我们首选分离参数法时， \(a=\cfrac{x-\sqrt{x}}{\ln x}=h(x)\)，接下来用导数求解 \(h(x)\) 的最值会非常麻烦，所以舍弃这个思路，采用分类讨论如下：

解析： 因为函数 \(f(x)=x-\sqrt{x}-a \ln x\), 所以 \(f'(x)=1-\cfrac{1}{2\sqrt{x}}-\cfrac{a}{x}=\frac{2x-\sqrt{x}-2 a}{2x}\),

令 \(g(x)=2 x-\sqrt{x}-2a\)， 因为 \(g'(x)=2-\cfrac{1}{2\sqrt{x}}=\cfrac{4\sqrt{x}-1}{2\sqrt{x}}\)

当 \(x\in(1,+\infty)\) 时， \(4\sqrt{x}-1>0\)，\(2\sqrt{x}>0\)， 所以 \(g'(x)>0\),

所以 \(g(x)\) 在 \((1,+\infty)\) 上为增函数, 则 \(g(x)>g(1)=1-2a\),

当 \(1-2a\geqslant 0\) 时， \(g(x)>0\)， 所以 \(f'(x)>0\)， 所以 \(f(x)\) 在 \((1,+\infty)\) 上为增函数,

则 \(f(x)>f(1)=0\)， 所以 \(f(x)\) 在 \((1,+\infty)\) 上没有零点；

当 \(1-2a<0\)时， 即 \(a>\cfrac{1}{2}\) 时, 因为 \(g(x)\) 在 \((1,+\infty)\) 上为增函数，

则存在唯一的 \(x_{0}\in(1,+\infty)\), 使得 \(g(x_{0})=0\)，

且当 \(x \in(1, x_{0})\) 时， \(g(x)<0\)， 当 \(x\in(x_{0},+\infty)\) 时，\(g(x)>0\);

所以当 \(x\in(1, x_{0})\) 时， \(f^{\prime}(x)<0\)， \(f(x)\) 为减函数，

当 \(x \in(x_{0},+\infty)\) 时 \(, f^{\prime}(x)>0\), \(f(x)\) 为增函数，

当 \(x=x_{0}\) 时,\(f(x)_{\min }=f(x_{0})\)，

因为 \(f(x_{0})<f(1)=0\)， 当 \(x \rightarrow+\infty\) 时，\(f(x) \rightarrow+\infty\)，

所以在 \(x\in(x_{0},+\infty)\) 内， \(f(x)\) 一定存在唯一一个零点，

所以 \(a \in(\cfrac{1}{2},+\infty)\)， 故选 \(D\).