函数的单调性

前言

函数的单调性是很重要的性质之一，那么我们到底需要研究什么？

相关概念：函数在区间上是增加的函数\(y=f(x)\)的定义域内的一个区间\(A\)上，如果对\(\forall\) \(x_1,\)\(x_2\)\(\in\)\(A\)，当\(x_1\)\(<\)\(x_2\)时，都有\(f(x_1)\)\(<\)\(f(x_2)\)\([f(x_1)\)\(>\)\(f(x_2)]\)，称函数在区间\(A\)上是增加的(减少的)[递增的(递减的)](或减少的)；单调区间如果函数\(y=f(x)\)在区间\(A\)上是增加的或是减少的，则称区间\(A\)为单调区间；体现在形上，递增的函数的图像是上升的，递减的函数的图像是下降的；，

单调性如果函数\(y=f(x)\)在定义域的某个子集上是增加的或者是减少的，称函数\(y=f(x)\)在这个子集上具有单调性；如\(y\)\(=\)\(x^2\)在区间\((-\infty,0]\)上是减少的，在区间\([0,+\infty)\)上是增加的，增函数如果函数\(y=f(x)\)在整个定义域内是增加的或是减少的，则称此函数为增函数或减函数；比如函数\(y=2^x\)是增函数，\(y=log_\frac{1}{2}x\)为减函数；，减函数，单调函数增函数和减函数统称为单调函数；；

单调性的给出方式[其实质也是单调性的判断方法]；

单调性[单调区间]的判断，难点是抽象函数与复合函数的单调性判断；

单调性的证明方法，只能用定义法和导数法；

单调性的作用：①求解单调区间或判断单调性；②求函数的值域或者最值；③函数值的或者自变量的大小比较；④求解函数不等式；

易混淆的两个概念：函数的单调区间特指函数具备单调性的“最大”的区间，如函数\(y=x^2\)的单调区间是\((-\infty,0]\)和\([0,+\infty)\)；恰成立命题和函数在某区间上单调此区间往往是函数的最大单调区间的子区间；如函数\(y=x^2\)在区间\([1,2]\)上单调递增；而不能说函数的单调区间是\([1,2]\)

常用给出

• 1、以图像的形式给出；

如图[图中画出一个增函数]，或者给出\(f(x)=\left\{\begin{array}{l}{x^2，x\geqslant 0}\\{-x^2，x<0}\end{array}\right.\)，

设函数\(f(x)=\left\{\begin{array}{l}2^{x}，x<2\\x^{2}, x\geqslant 2\end{array}\right.\)，若\(f(a+1)\geqslant f(2a-1)\)，则实数\(a\)的取值范围是【】

$A.(-\infty, 1]$ $B.(-\infty, 2]$ $C.[2,6]$ $D.[2,+\infty)$

解析: 易知函数\(f(x)\)在定义域\((-\infty，+\infty)\) 上是增函数，因为\(f(a+1)\geqslant f(2a-1)\)

所以\(a+1 \geqslant 2a-1\)，解得\(a \leqslant 2\)，故实数\(a\)的取值范围是\((-\infty, 2]\)，故选\(B\)。

• 2、题目中用文字语言直接给出；

如函数在区间\([a，b]\)单调递增；

• 3、以定义式给出；

如给出函数\(f(x)\)在区间\(D\)上满足\(\forall x_1，x_2\in D\)，\(x_1<x_2\)，\(f(x_1)<f(x_2)\)，

则意味着函数\(f(x)\)在区间\(D\)上单调递增；

【注意】函数的单调性定义中，\(x_1，x_2\)有三个特征：①任意性；②有大小；③同属于同一个单调区间；

• 4、以定义的等价变形形式【积式】给出；

如函数\(f(x)\)在区间\(D\)上满足\(\forall x_1，x_2\in D\)，\(x_1\neq x_2\)，\((x_1-x_2)\cdot[f(x_1)-f(x_2)]<0\)

则说明：函数\(f(x)\)在区间\(D\)上单调递减；

你会仿照上例，刻画单调递增吗？

• 5、以定义的等价变形形式【商式】给出；

如函数\(f(x)\)在区间\(D\)上满足\(\forall x_1，x_2\in D\)，\(x_1\neq x_2\)，\(\cfrac{f(x_1)- f(x_2)}{x_1-x_2}>0\)

则说明：函数\(f(x)\)在区间\(D\)上单调递增；

• 6、以函数单调性的结论形式给出；

结论①：函数\(f(x)、g(x)\)是增(减)函数，则\(f(x)+g(x)\)为增(减)函数；

注意，此处不是用复合函数的“同增异减”来判断，而是利用单调性的定义可以证明的。

结论②：已知函数\(f(x)、g(x)\)是增(减)函数，同时又已知\(f(x)>0，g(x)>0\)，则有\(f(x)\cdot g(x)\)是增（减）函数；

已知函数\(f(x)、g(x)\)是增（减）函数，同时又已知\(f(x)<0，g(x)<0\)，则有\(f(x)\cdot g(x)\)是减（增）函数；

• 7、以导数的形式给出，

如函数在区间\([a，b]\)满足\(f'(x)\ge0\)(只在有限个点处使得\(f'(x)=0\))

• 8、以积函数的形式给出，

如\((x-1) \cdot f'(x)>0\)，则可知\(\left\{\begin{array}{l}{x-1>0}\\{f'(x)>0}\end{array}\right.\)或\(\left\{\begin{array}{l}{x-1<0}\\{f'(x)<0}\end{array}\right.\)

即可知，当\(x>1\)时，\(f'(x)>0\)，即函数\(f(x)\)在区间\((1，+\infty)\)上单调递增；

当\(x<1\)时，\(f'(x)<0\)，即函数\(f(x)\)在区间\((-\infty，1)\)上单调递减；

同理可以理解表达式\((x^2-3x+2)\cdot f'(x)>0\)。

高阶给出

• 1、以“定义的商式变形+构造函数的形式”给出；

引例，对任意两个不相等的正数\(x_1，x_2\)，都有\(\cfrac{x_2f(x_1)-x_1f(x_2)}{x_1-x_2}>0\)，

记\(a=\cfrac{f(3^{0.2})}{3^{0.2}}\)，\(b=\cfrac{f(0.3^2)}{0.3^2}\)，\(c=\cfrac{f(log_25)}{log_25}\)，比较\(a、b、c\)的大小。

分析：构造函数\(g(x)=\cfrac{f(x)}{x}\)，令\(0<x_1<x_2\)，则由单调性定义的等价形式可得，

\(\cfrac{g(x_1)-g(x_2)}{x_1-x_2}=\cfrac{\cfrac{f(x_1)}{x_1}-\cfrac{f(x_2)}{x_2}}{x_1-x_2}=\cfrac{x_2f(x_1)-x_1f(x_2)}{x_1x_2(x_1-x_2)}\)

由题目，对任意两个不相等的正数\(x_1，x_2\)，都有\(\cfrac{x_2f(x_1)-x_1f(x_2)}{x_1-x_2}>0\)，

则可知\(\cfrac{g(x_1)-g(x_2)}{x_1-x_2}>0\)，即函数\(g(x)=\cfrac{f(x)}{x}\)是单调递增的，

• 2、以“单调+奇偶”的综合形式给出；

如给出函数\(f(x)\)在区间\(D\)上满足：\(\cfrac{f(x_1)+ f(x_2)}{x_1+x_2}>0\)，且函数\(f(x)\)为奇函数，

则可知\(-f(-x_2)=f(x_2)\)，代换得到\(\cfrac{f(x_1)- f(-x_2)}{x_1-(-x_2)}>0\)，

再令\(-x_2=x_3\)，即\(\cfrac{f(x_1)- f(x_3)}{x_1-x_3}>0\)，

即函数\(f(x)\)在区间\(D\)上单调递增；

• 3、 以图像的形式给出；(给出\(f(x)\)图像或者\(f'(x)\)的图像，要会读斜率)

比如给出\(f(x)\)图像，需要会解读图像，给出\(f'(x)\)的图像，要会通过\(f'(x)\)的正负解读单调性；

• 4、函数单调性的性质应用；

结论①：函数\(f(x)、g(x)\)是增(减)函数，则\(f(x)+g(x)\)为增(减)函数；

注意，此处不是用复合函数的“同增异减”来判断，而是利用单调性的定义可以证明的。

结论②：已知函数\(f(x)、g(x)\)是增(减)函数，同时又已知\(f(x)>0，g(x)>0\)，则有\(f(x)\cdot g(x)\)是增（减）函数；

已知函数\(f(x)、g(x)\)是增（减）函数，同时又已知\(f(x)<0，g(x)<0\)，则有\(f(x)\cdot g(x)\)是减（增）函数；

结论③：\(f(x)\)与\(f(x)+c\)(\(c\)为常数)有相同的单调性；

结论④：\(k>0\)时，\(f(x)\)与\(k\cdot f(x)\)有相同的单调性；\(k<0\)时，\(f(x)\)与\(k\cdot f(x)\)有相反的单调性；

结论⑤：\(f(x)\)恒不为零，则\(f(x)\)与\(\cfrac{1}{f(x)}\)单调性相反；

结论⑥：\(f(x)\)恒为正，则\(f(x)\)与\(\sqrt{f(x)}\)具有相同的单调性；

【易错】函数\(f(x)\)在区间\(D_1、D_2\)上单调递增(或减)，但是在区间\(D_1\cup D_2\)上不一定单调递增(或减)

如函数\(f(x)=\cfrac{1}{x}\)，在区间\((-\infty，0)\)上单调递减，在区间\((0，+\infty)\)上单调递减，

但是在区间\((-\infty，0)\cup(0，+\infty)\)并不具有单调性，即在其定义域上没有单调性。

• 5、以复合函数的形式给出单调性；

【2017凤翔中学高三理科第二次月考第9题】若函数\(f(x)=log_a^\;(6-ax)\)在\([0，2]\)上为减函数，则实数\(a\)的取值范围是【】

A、\([3，+\infty)\) \(\hspace{2cm}\) B、\((0，1)\) \(\hspace{2cm}\) C、\((1，3]\) \(\hspace{2cm}\) D、 \((1，3)\)

分析：令\(g(x)=6-ax\)，像这类题目既要考虑单调性，还要考虑定义域。

由题目可知必有\(a>0\)，故函数\(g(x)\)单调递减，考虑定义域时只要最小值\(g(2)>0\)即可，

再考虑外函数必须是增函数，故\(a>1\)，

结合\(g(2)>0\)，解得\(1<a<3\)，故选D。

• 6、以分段函数的形式给出单调性

引例，(已知分段函数的单调性，求参数的取值范围)

已知\(a>0\)，函数\(f(x)\)满足\(f(x)=\begin{cases} (3-a)x-3 &x\leq 7 \\ a^{x-6} &x>7 \end{cases}\)，函数\(f(x)\)在\(R\)上单调递增，求\(a\)的取值范围。

• 7、以赋值法的形式给出单调性；

如定义在\(R\)上的函数\(f(x)\)满足\(f(x+y)=f(x)+f(y)\)，且\(x >0\)时，\(f(x)<0\)，判定函数单调性。

分析：令\(x_1> x_2\)，则\(x_1-x_2>0\)，故\(f(x_1-x_2)<0\)，

则有$ f(x_1) = f(x_1-x_2+x_2) = f(x_1-x_2)+f (x_2) < f( x_2) $，

故函数\(f(x)\)在\(R\)上单调递减。

• 8、以导函数的整体或部分形式给出(更难些)，

比如题目给出当\(x>0\)时满足条件\(xf'(x)-f(x)<0\)，则是告诉我们需要构造新函数，同时能知道新函数的单调性；

分析：构造\(g(x)=\cfrac{f(x)}{x}\)，则当\(x>0\)时，

则\(g'(x)=\cfrac{xf'(x)-f(x)}{x^2}<0\)，

即新函数\(g(x)\)在区间\((0，+\infty)\)上单调递减。

典例剖析

已知函数\(f(x)=e^x-1\)，对于满足\(0＜x_1＜x_2＜e\)的任意\(x_1\)、\(x_2\)，给出下列结论：

①\((x_2-x_1))[f(x_2)-f(x_1)]＜0\)；

②\(x_2f(x_1)＜x_1f(x_2)\)；

③\(f(x_2)-f(x_1)＞x_2-x_1\)；

④\(\cfrac{f(x_1)+f(x_2)}{2}＞f(\cfrac{x_1+x_2}{2})\)；

其中正确结论的序号是【②③④】．

分析：由于函数\(f(x)=e^x-1\)在区间\([0，e]\)上单调递增，

对于选项①而言，函数\(f(x)\)单调递减，故①错误；

对于选项②变形得到，\(x_2f(x_1)＜x_1f(x_2)\)；即\(\cfrac{f(x_1)}{x_1}<\cfrac{f(x_2)}{x_2}\)；

即\(\cfrac{f(x_1)-0}{x_1-0}<\cfrac{f(x_2)-0}{x_2-0}\)；借助图像很容易说明②正确；

对于选项③而言，变形得到\(\cfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}>1>0\)，即函数单调递增，故③正确；

对于选项④而言，刻画的是函数的凹凸性，也是正确的，故正确结论的序号是【②③④】．

\(f(x)\)是偶函数，当\(x\in(-\infty，0)\)时，\(f(x)+xf'(x)<0\)成立，比较\(2f(2)，3f(3)，5f(5)\)的大小。

分析：构造\(g(x)=x\cdot f(x)\)，\(g(x)\)为奇函数，当\(x\in(-\infty，0)\)时，\(f(x)+xf'(x)<0\)成立，则\(g'(x)=f(x)+xf'(x)<0\)，故由单调和奇偶性可知\(g(x)\)在\((0，+\infty)\)上单调递减。大小比较就容易了。

已知函数\(f(x)=x^3-2ax+1\)在区间\([2，5]\)上\(\underline{单调递增}\)，求参数\(a\)的取值范围。

分析：\(f'(x)\ge 0\)在区间\([2，5]\)上恒成立，即\(3x^2-2a\ge 0\)在区间\([2，5]\)上恒成立，

分离参数得到，\(2a\leq 3x^2\)在区间\([2，5]\)上恒成立，即\(2a\leq [3x^2]_{min}=12\)，即\(a\leq 6\)。

【构造函数+大小比较】【2017\(\cdot\)河南平顶山一模】已知\(f(x)\)是定义在\((0，+\infty)\)上的函数，对任意两个不相等的正数\(x_1，x_2\)，都有\(\cfrac{x_2f(x_1)-x_1f(x_2)}{x_1-x_2}>0\)，记\(a=\frac{f(3^{0.2})}{3^{0.2}}\)，\(b=\frac{f(0.3^2)}{0.3^2}\)，\(c=\frac{f(log_25)}{log_25}\)，则【】

$A.a < b < c$ $B.b < a < c$ $C.c < a < b$ $D.c < b < a$

分析：注意到\(a，b，c\)的结构，由题目猜想：要构造的函数是\(g(x)=\cfrac{f(x)}{x}\)，那么是否正确，以下做以验证。

令\(0<x_1<x_2\)，则由单调性定义的等价形式可得，

\(\cfrac{g(x_1)-g(x_2)}{x_1-x_2}=\cfrac{\cfrac{f(x_1)}{x_1}-\cfrac{f(x_2)}{x_2}}{x_1-x_2}=\cfrac{x_2f(x_1)-x_1f(x_2)}{x_1x_2(x_1-x_2)}\)

由题目，对任意两个不相等的正数\(x_1，x_2\)，都有\(\cfrac{x_2f(x_1)-x_1f(x_2)}{x_1-x_2}>0\)，

则可知\(\cfrac{g(x_1)-g(x_2)}{x_1-x_2}>0\)，即函数\(g(x)=\cfrac{f(x)}{x}\)是单调递增的，

故题目需要我们比较\(g(3^{0.2})\)，\(g(0.3^2)\)，\(g(log_25)\)这三个的大小关系，只需要比较自变量的大小就可以了；

由于\(1=3^0<3^{0.2}<3^{0.5}=\sqrt{3}<2\)，\(0<0.3^2=0.09<1\)，\(log_25>log_24=2\)，

故\(g(0.3^2)<g(3^{0.2})<g(log_25)\)，即\(b<a<c\)。

【三角形中常见结论，需要记忆，大小比较】

• 在锐角\(\Delta ABC\)中，\(sinA>cosB\)，\(cosA<sinB\)。

证明：由于在锐角\(\Delta ABC\)中，故\(A+B>\cfrac{\pi}{2}\)，即\(A>\cfrac{\pi}{2}-B\)，

此时\(A\in(0,\cfrac{\pi}{2})\)，\(\cfrac{\pi}{2}-B\in(0,\cfrac{\pi}{2})\)，

而函数\(y=sinx\)在\((0,\cfrac{\pi}{2})\)上是单调递增的，故\(sinA>sin(\cfrac{\pi}{2}-B)=cosB\)，即\(sinA>cosB\)，

同理，函数\(y=cosx\)在\((0,\cfrac{\pi}{2})\)上是单调递减的，故\(cosA<cos(\cfrac{\pi}{2}-B)=sinB\)，即\(cosA<sinB\)。

• 在锐角\(\Delta ABC\)中，\(\sin A>\cos B\)，\(\sin B>\cos C\)，\(\sin C>\cos A\)，

则有\(\sin A+\sin B+\sin C>\cos A+\cos B+\cos C\)，

【奇偶+单调】已知函数\(f(x)\)是定义在\(R\)上的奇函数，且当\(x>0\)时，\(f(x)=-x^2+ax-1-a\)，若函数为\(R\)上的单调减函数，求\(a\)的取值范围。

分析：由于函数\(f(x)\)定义在\(R\)上的奇函数，故\(f(0)=0\)，注意此时并不意味函数必须是在\(x=0\)的两侧连续。

要使得函数在R上单调递减，首先必须是\(x>0\)时，\(f(x)\)单调递减，

那么必须满足\(f(0)\leq 0\)，这样在\([0，+\infty)\)上单调递减，同时必须满足对称轴在\(y\)轴上或者其左侧，

故\(-\cfrac{a}{-2}\leq 0\)的，故由\(\begin{cases}f(0)=-1-a\leq 0\\\cfrac{a}{2}\leq 0\end{cases}\)，解得\(a\in[-1，0]\)。

【大小比较】【2019高三理科数学二轮用题】已知函数\(f(x)=x^3-3x\)，若在\(\triangle ABC\)中，角\(C\)为钝角，则以下大小关系正确的是【】

$A.f(sinA) > f(cosB)$ $B.f(sinA) < f(cosB)$ $C.f(sinA) > f(sinB)$ $D.f(sinA) < f(sinB)$

分析：在钝角\(\triangle ABC\)中，\(sinA<cosB\)，又\(f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)\)，

故函数\(f(x)\)在\((-1，1)\)上单调递减，故\(f(sinA) > f(cosB)\)，故选\(A\)。

补遗备忘

• 函数的凹凸性反应了函数图像变化的一种特点，它并不能直接反应单调性。

函数单调递增或递减的五种代表形式，主要依据函数的切线的变化情况来确定；

增长率逐渐增大型：如函数$y=m(x)$；

增长率逐渐减小型：如函数$y=n(x)$；

增长率恒定不变型：如函数$y=f(x)$；

增长率先慢后快型：如函数$y=g(x)$；

增长率先快后慢型：如函数$y=h(x)$；