抽象函数的对称性验证
抽象函数的对称性，到底该如何验证呢。。。
前言
抽象函数的性质往往不太好想，所以举个例子，加以验证。作为学生，不需要知道那么严谨的逻辑证明，只要会用结论就行了。
图像说明
✍️ 轴对称函数所举的例子：\(f(x)=\cfrac{1}{4}(x-2)^2\)；具体函数\(\Rightarrow\)抽象函数；
【结论】若函数\(f(x)\)满足条件\(f(x)=f(4-x)\)，
则函数是轴对称图形，其对称轴是\(x=\cfrac{(x)+(4-x)}{2}\)\(=2\)；
✍️ 中心对称函数所举的例子：\(g(x)=(x-1)^3\)；具体函数\(\Rightarrow\)抽象函数；
【结论】若函数\(g(x)\)满足条件\(g(x)+g(2-x)=0\)，
则函数是中心对称图形，其对称中心是\((x_0，y_0)\)，
具体坐标算法为\(x_0=\cfrac{(x)+(2-x)}{2}=1\)，\(y_0=\cfrac{y_1+y_2}{2}\)\(=\cfrac{g(x)+g(2-x)}{2}\)\(=\cfrac{0}{2}=0\)；
逻辑证明
充分性：函数\(f(x)\)满足\(f(x)=f(4-x)\)，取其上任意一点\((x_0，y_0)\)，
则有\(y_0=f(x_0)\)，则有\(f(x_0)=f(4-x_0)=y_0\)，
说明点\((x_0，y_0)\)和点\((4-x_0，y_0)\)都在函数图像上，
而这两个点关于直线\(x=\cfrac{x_0+(4-x_0)}{2}=2\)对称，
又由于点的任意性刚才证明了那两个点的对称，又由于我们取的点是任意点，没有什么特殊性，也称为点具有任意性，仿照刚才的证明也能说明其他的点也具有对称性，所以函数图像具有对称性； 可知，函数关于直线\(x=2\)对称；
必要性：函数\(f(x)\)的对称轴为直线\(x=2\)，
取其上任意一点\((x_0，y_0)\)，则有\(y_0=f(x_0)\)，
而点\((x_0，y_0)\)关于直线\(x=2\)的对称点是\((4-x_0，y_0)\)，
故有\(y_0=f(x_0)=f(4-x_0)\)，即\(f(x_0)=f(4-x_0)\)，
又由于点的任意性可知，函数必然满足\(f(x)=f(4-x)\)。[证毕]
✍️ 使用方法：若函数\(f(x)\)满足\(f(x)\)\(=\)\(f(2-x)\)，则是关于直线\(x\)\(=\)\(\cfrac{x+(2-x)}{2}\)\(=\)\(1\) 对称的；自然若函数\(f(x)\)满足\(f(1-x)\)\(=\)\(f(1+x)\)，则也是关于直线\(x\)\(=\)\(\cfrac{(1-x)+(1+x)}{2}\)\(=\)\(1\) 对称的；其实表达式\(f(x)\)\(=\)\(f(2-x)\)和\(f(1-x)\)\(=\)\(f(1+x)\)刻画的是同一回事，用\(1-x\)替换\(f(x)\)\(=\)\(f(2-x)\)中的\(x\)，就能得到\(f(1-x)\)\(=\)\(f(1+x)\)。用此理论，我们还可以主动刻画函数的对称性，其一用图像刻画，其二用数学语言表达为\(f(0.5-x)\)\(=\)\(f(1.5+x)\)；
充分性：函数\(f(x)\)满足\(f(x)+f(2-x)=2\)，取其上任意一点\((x_0，y_0)\)，则必有\(y_0=f(x_0)\)，
又由于点\((x_0，y_0)\)关于点\((1，1)\)的对称点为\((2-x_0，2-y_0)\)，
\(f(x_0)+f(2-x_0)=2\)，得到\(y_0+f(2-x_0)=2\)，
即\(2-y_0=f(2-x_0)\)，说明点\((2-x_0，2-y_0)\)也在函数图像上，
又由于点的任意性可知，函数图像上任意点关于点\((1，1)\)的对称点也在函数图像上；
必要性：函数\(f(x)\)的对称中心为点\((1，1)\)，
取其上任意一点\((x_0，y_0)\)，其在图像上，则有\(y_0=f(x_0)\)，
而其对称点\((2-x_0，2-y_0)\)也在图像上，故有\(2-y_0=f(2-x_0)\)，
即\(2-f(x_0)=f(2-x_0)\)，即\(f(x_0)+f(2-x_0)=2\)；
又由于点的任意性可知，函数图像上任意点都满足\(f(x)+f(2-x)=2\)；[证毕]
✍️ 使用方法：若函数\(f(x)\)满足\(f(x)\)\(+\)\(f(2-x)\)\(=\)\(4\)，则其关于点成中心对称，对称中心的坐标\((x_0，y_0)\)这样求解，\(x_0\)\(=\)\(\cfrac{x+(2-x)}{2}\)\(=\)\(1\)，\(y_0\)\(=\)\(\cfrac{f(x)+(2-x)}{2}\)\(=\)\(2\)，即对称中心为\((1，2)\)；自然若函数\(f(x)\)满足\(f(-x)\)\(+\)\(f(2+x)\)\(=\)\(2\)，则也是关于点\((1，1)\)对称的，同理我们也可以这样刻画一个函数关于点\((1，1)\)对称。我们就说函数满足条件 \(f(0.5-x)\)\(+\)\(f(1.5+x)\)\(=\)\(2\) 或者\(f(3-x)\)\(+\)\(f(-1+x)\)\(=\)\(2\)；
[引申]：函数 \(f(x)\) 的对称中心是 \((a，b)\) 的充要条件是函数\(f(x)\)满足\(f(x)+f(a-x)=b\)。
典例剖析
所举的函数例子虽说不是抽象函数，但对称性的验证同样适用。
分析：由于函数\(f(x)\)是复合函数，定义域要使\(x>0，2-x>0\)，即定义域是\((0，2)\)，
又\(f(x)=ln[x(2-x)]=ln[-(x-1)^2+1]\)，
则由复合函数的单调性法则可知，在\((0，1)\)上单增，
在\((1，2)\)上单减，故排除\(A\)，\(B\)；
若函数\(y=f(x)\)关于点\((1，0)\)对称，则函数\(f(x)\)必然满足关系：\(f(x)+f(2-x)=0\)；
若函数\(y=f(x)\)关于直线\(x=1\)对称，则函数\(f(x)\)必然满足关系：\(f(x)=f(2-x)\)；
接下来我们用上述的结论来验证，由于\(f(x)=lnx+ln(2-x)\)，
\(f(2-x)=ln(2-x)+ln(2-(2-x))=ln(2-x)+lnx\)，即满足\(f(x)=f(2-x)\)，
故函数\(y=f(x)\)的图像关于直线\(x=1\)对称，选\(C\)；
再来验证\(D\)，发现\(f(x)+f(2-x)=2[lnx+ln(2-x)]\neq 0\)，\(D\)选项不满足。故选\(C\)。
分析：令内函数\(g(x)=4x-x^2>0\)，得到定义域\((0，4)\)，又\(g(x)=-(x-2)^2+4\)，
故内函数在\((0，2]\)单减，在\([2，4)\)单增，外函数只有单调递增，
故复合函数\(f(x)\)在\((0，2]\)单减，在\([2，4)\)单增，故排除\(A\)、\(B\)；
要验证\(C\)选项，只需要验证\(f(x)=f(4-x)\)即可，这是\(y=f(x)\)的图像关于直线\(x=2\)对称的充要条件；
而\(f(4-x)=lg[4(4-x)-(4-x)^2]=lg(16-4x-16+8x-x^2)=lg(4x-x^2)=f(x)\)，故选\(C\)。
若要验证\(D\)选项，只需要利用\(y=f(x)\)的图像关于点\((2，0)\)对称的充要条件，
即验证\(f(x)+f(4-x)=0\)即可。自行验证，不满足。
故本题目选\(C\).
