摘要: 本文收集了从 2009 年至今复旦大学数学学院高等代数历届期中考试精选的大题, 其中有的大题由习题课老师或任课老师自编而来, 有的大题由其他大学的教材或学习指导书中的题目或考研试题改编而来, 也有相当部分的大题已经融入到复旦高等代数学习指导书 (第三版) 中了. 这里我们将不会公布这些精选大题的解答阅读全文
posted @ 2017-08-19 21:33 torsor 阅读(4) 评论(0) 编辑
摘要: 以下是复旦高代教材复习题六的第 19 题或高代白皮书的例 6.18: 习题 1 设 $A,B,C$ 均为 $n$ 阶复方阵, 满足 $C=AB-BA$, $AC=CA$ 和 $BC=CB$, 求证: $C$ 的特征值全为零. 这道题目有多种证法, 其中利用特征值理论进行证明是最直接的方法, 例如大家阅读全文
posted @ 2017-08-14 13:16 torsor 阅读(35) 评论(0) 编辑
摘要: 以下是复旦大学数学学院本科13级、14级、15级和16级部分同学对高等代数博客和每周一题的评价。 13级本科生 谷嵘 非常非常有幸能在复旦第一学年学习谢帅的高等代数课程,谢老师不论是上课效率、板书还是与学生的互动,都是我在复旦大学遇见的最优秀的老师。在大一下半学期,我们的高等代数课程进入了核心内容的阅读全文
posted @ 2017-08-03 13:06 torsor 阅读(316) 评论(0) 编辑
摘要: 六、(本题10分) 设 $A$ 为 $n$ 阶半正定实对称阵, $S$ 为 $n$ 阶实反对称阵, 满足 $AS+SA=0$. 证明: $|A+S|>0$ 的充要条件是 $r(A)+r(S)=n$. 证法一 (从 $A$ 出发) 由于问题的条件和结论在同时正交相似下不改变, 故不妨从一开始就假设 $阅读全文
posted @ 2017-07-06 08:48 torsor 阅读(187) 评论(4) 编辑
摘要: 七、(本题10分) 设 $n$ 阶复方阵 $A$ 的特征多项式为 $f(\lambda)$, 复系数多项式 $g(\lambda)$ 满足 $(f(\lambda),g'(\lambda))=1$. 证明: $A$ 可对角化的充要条件是 $g(A)$ 可对角化. 证明 先证必要性. 设 $A$ 可对阅读全文
posted @ 2017-07-05 21:54 torsor 阅读(139) 评论(0) 编辑
摘要: 八、(本题10分) 设 $\varphi$ 是欧氏空间 $V$ 上的线性算子, $g(\lambda)$ 是 $\varphi$ 的极小多项式. 证明: $\varphi$ 是正规算子的充要条件是对 $g(\lambda)$ 的任一首一不可约因式 $g_i(\lambda)$, 以下两个条件都成立:阅读全文
posted @ 2017-07-05 12:26 torsor 阅读(140) 评论(0) 编辑
摘要: 一、期末考试成绩班级前十五名 林晨(93)、朱民哲(92)、何陶然(91)、徐钰伦(91)、吴嘉诚(91)、于鸿宝(91)、宁盛臻(90)、杨锦文(89)、占文韬(88)、章俊鑫(87)、颜匡萱(87)、王旭磊(87)、王泽斌(87)、沈伊南(86)、李飞虎(86) 二、总成绩计算方法 平时成绩根据阅读全文
posted @ 2017-07-04 19:29 torsor 阅读(663) 评论(2) 编辑
摘要: 16 级高代 II 思考题十 设 $V$ 是数域 $\mathbb{K}$ 上的 $n$ 维线性空间, $\varphi$ 是 $V$ 上的线性变换, 证明: $\varphi$ 的极小多项式 $m(\lambda)$ 在 $\mathbb{K}$ 上无重因式的充要条件是对 $V$ 的任一 $\va阅读全文
posted @ 2017-05-09 13:10 torsor 阅读(438) 评论(0) 编辑
摘要: 16 级高代 II 思考题九 设 $V$ 是数域 $\mathbb{K}$ 上的 $n$ 维线性空间, $\varphi$ 是 $V$ 上的线性变换, $f(\lambda),m(\lambda)$ 分别是 $\varphi$ 的特征多项式和极小多项式. 设 $f(\lambda)=m(\lambd阅读全文
posted @ 2017-05-07 17:37 torsor 阅读(256) 评论(0) 编辑
摘要: 设 $V$ 是复数域 $\mathbb{C}$ 上的 $n$ 维线性空间, $\varphi$ 是 $V$ 上的线性变换, $A\in M_n(\mathbb{C})$ 是 $\varphi$ 在某组基下的表示矩阵, 则有线性变换或矩阵的 Jordan 标准型理论. 具体的, 设 $\varphi$阅读全文
posted @ 2017-05-06 17:18 torsor 阅读(303) 评论(7) 编辑
摘要: 实对称阵是一类常见的矩阵, 它与实二次型和实内积空间上的自伴随算子有着密切的联系. 任一实对称阵 $A$ 均正交相似于对角阵, 即存在正交阵 $P$, 使得 $P'AP=\mathrm{diag\,}\{\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n\}$, 这是实对称阵的阅读全文
posted @ 2017-04-29 19:38 torsor 阅读(295) 评论(0) 编辑
摘要: 由多项式的根关于系数的连续性可以得到矩阵的特征值关于矩阵元素的连续性, 这一结论对于研究矩阵特征值的性质具有重要的作用. 通常证明多项式的根关于系数的连续性都是利用复变函数中的 Rouche 定理, 比如读者可以参考蒋尔雄先生的教材《线性代数》(人民教育出版社, 1978年出版), 这里给出一种初等阅读全文
posted @ 2017-03-18 13:42 torsor 阅读(296) 评论(0) 编辑
摘要: 每周一题的说明 一、本学期高代II的每周一题面向16级的同学,将定期更新(一般每周的周末公布下一周的题目); 二、欢迎16级的同学通过微信或书面方式提供解答图片或纸质文件给我,优秀的解答可以分享给大家; 三、请大家先独立思考和解答每周一题,实在做不出的情况下,可以点击参考答案进行学习。 ******阅读全文
posted @ 2017-03-04 11:03 torsor 阅读(1993) 评论(17) 编辑
摘要: 六、(本题10分) 设 $A$ 为数域 $\mathbb{K}$ 上的 $2n$ 阶反对称阵, $\alpha$ 为 $2n$ 维列向量, $x$ 为未定元, 证明: $$|A+x\alpha\alpha'|=|A|.$$ 证法一(利用行列式的性质) 第一步是将 $|A+x\alpha\alpha'阅读全文
posted @ 2017-01-10 14:03 torsor 阅读(702) 评论(0) 编辑
摘要: 七、(本题10分) 设 $A,B$ 均为 $m\times n$ 阶实矩阵, 满足 $A'B+B'A=0$. 证明: $$r(A+B)\geq\max\{r(A),r(B)\},$$并且等号成立的充要条件是存在 $m$ 阶方阵 $P$, 使得 $B=PA$ 或 $A=PB$. 证法一 由 $A'B+阅读全文
posted @ 2017-01-10 12:28 torsor 阅读(391) 评论(0) 编辑