摘要: 16 级高代 II 思考题十 设 $V$ 是数域 $\mathbb{K}$ 上的 $n$ 维线性空间, $\varphi$ 是 $V$ 上的线性变换, 证明: $\varphi$ 的极小多项式 $m(\lambda)$ 在 $\mathbb{K}$ 上无重因式的充要条件是对 $V$ 的任一 $\va阅读全文
posted @ 2017-05-09 13:10 torsor 阅读(322) 评论(0) 编辑
摘要: 16 级高代 II 思考题九 设 $V$ 是数域 $\mathbb{K}$ 上的 $n$ 维线性空间, $\varphi$ 是 $V$ 上的线性变换, $f(\lambda),m(\lambda)$ 分别是 $\varphi$ 的特征多项式和极小多项式. 设 $f(\lambda)=m(\lambd阅读全文
posted @ 2017-05-07 17:37 torsor 阅读(187) 评论(0) 编辑
摘要: 设 $V$ 是复数域 $\mathbb{C}$ 上的 $n$ 维线性空间, $\varphi$ 是 $V$ 上的线性变换, $A\in M_n(\mathbb{C})$ 是 $\varphi$ 在某组基下的表示矩阵, 则有线性变换或矩阵的 Jordan 标准型理论. 具体的, 设 $\varphi$阅读全文
posted @ 2017-05-06 17:18 torsor 阅读(220) 评论(7) 编辑
摘要: 实对称阵是一类常见的矩阵, 它与实二次型和实内积空间上的自伴随算子有着密切的联系. 任一实对称阵 $A$ 均正交相似于对角阵, 即存在正交阵 $P$, 使得 $P'AP=\mathrm{diag\,}\{\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n\}$, 这是实对称阵的阅读全文
posted @ 2017-04-29 19:38 torsor 阅读(238) 评论(0) 编辑
摘要: 由多项式的根关于系数的连续性可以得到矩阵的特征值关于矩阵元素的连续性, 这一结论对于研究矩阵特征值的性质具有重要的作用. 通常证明多项式的根关于系数的连续性都是利用复变函数中的 Rouche 定理, 比如读者可以参考蒋尔雄先生的教材《线性代数》(人民教育出版社, 1978年出版), 这里给出一种初等阅读全文
posted @ 2017-03-18 13:42 torsor 阅读(276) 评论(0) 编辑
摘要: 每周一题的说明 一、本学期高代II的每周一题面向16级的同学,将定期更新(一般每周的周末公布下一周的题目); 二、欢迎16级的同学通过微信或书面方式提供解答图片或纸质文件给我,优秀的解答可以分享给大家; 三、请大家先独立思考和解答每周一题,实在做不出的情况下,可以点击参考答案进行学习。 ******阅读全文
posted @ 2017-03-04 11:03 torsor 阅读(1768) 评论(15) 编辑
摘要: 六、(本题10分) 设 $A$ 为数域 $\mathbb{K}$ 上的 $2n$ 阶反对称阵, $\alpha$ 为 $2n$ 维列向量, $x$ 为未定元, 证明: $$|A+x\alpha\alpha'|=|A|.$$ 证法一(利用行列式的性质) 第一步是将 $|A+x\alpha\alpha'阅读全文
posted @ 2017-01-10 14:03 torsor 阅读(640) 评论(0) 编辑
摘要: 七、(本题10分) 设 $A,B$ 均为 $m\times n$ 阶实矩阵, 满足 $A'B+B'A=0$. 证明: $$r(A+B)\geq\max\{r(A),r(B)\},$$并且等号成立的充要条件是存在 $m$ 阶方阵 $P$, 使得 $B=PA$ 或 $A=PB$. 证法一 由 $A'B+阅读全文
posted @ 2017-01-10 12:28 torsor 阅读(350) 评论(0) 编辑
摘要: 八、(本题10分) 设 $V$ 为数域 $\mathbb{K}$ 上的线性空间, $V_1,V_2$ 分别是 $V$ 的 $n$ 维, $m$ 维子空间, 使得 $V_1\not\subseteq V_2$. 设 $\{e_1,e_2,\cdots,e_n\}$ 为 $V_1$ 的一组基, 证明: 阅读全文
posted @ 2017-01-10 11:42 torsor 阅读(364) 评论(0) 编辑
摘要: 一、期末考试成绩班级前十名 宁盛臻(100)、朱民哲(92)、徐钰伦(86)、范凌虎(85)、沈伊南(84)、何陶然(84)、丁知愚(83)、焦思邈(83)、董瀚泽(82)、钱信(81) 二、总成绩计算方法 平时成绩根据交作业的次数决定,本学期共交作业13次,10次以上(包括10次)100分,少一次阅读全文
posted @ 2017-01-09 13:38 torsor 阅读(814) 评论(0) 编辑
摘要: ★ 2016级高等代数II每周一题 参考答案 ★ 2016级高等代数I思考题 参考答案 ★ 2015级高等代数II思考题 ★ 2015级高等代数I思考题 ★ 2014级高等代数II每周一题 参考答案 [问题2015S01] [问题2015S02] [问题2015S03] [问题2015S04] [问阅读全文
posted @ 2016-11-20 09:21 torsor 阅读(1094) 评论(0) 编辑
摘要: 思考题的说明 一、本学期高代I的思考题面向16级的同学,将不定期地进行更新; 二、欢迎16级的同学通过微信或书面方式提供解答图片或纸质文件给我,优秀的解答可以分享给大家; 三、请大家先独立解答思考题,实在做不出来的情况下,可以点击思考题的解答进行参考。 ***********************阅读全文
posted @ 2016-10-06 12:35 torsor 阅读(1759) 评论(2) 编辑
摘要: 首先,欢迎2016级的同学进入数学学院和复旦学院志德书院开始大学阶段的学习和生活! 说起数学,相信大家不会陌生,因为从小学至今已学了12年的数学。如果把数学比喻成一座雄伟的高山,把数学学习比喻成登山,那么前面12年的数学学习充其量只是让你来到了山脚下,拿到了一张登山的门票而已,真正的登山即将从现在开阅读全文
posted @ 2016-08-15 16:15 torsor 阅读(799) 评论(0) 编辑
摘要: 六、(本题10分) 设 $n$ 阶复方阵 $A$ 的特征多项式为 $f(\lambda)$, 复系数多项式 $g(\lambda)$ 满足 $(f(g(\lambda)),g'(\lambda))=1$, 证明: 存在 $n$ 阶复方阵 $B$, 使得 $g(B)=A$. 证明 设 $P$ 为非异阵阅读全文
posted @ 2016-06-30 13:35 torsor 阅读(500) 评论(0) 编辑
摘要: 七、(本题10分) 设 $A,B,C$ 分别为 $m\times m$, $n\times n$, $m\times n$ 阶复矩阵, $M=\begin{pmatrix} A & C\\ 0 & B\\ \end{pmatrix}$ 可对角化, 求证: 矩阵方程 $AX-XB=C$ 必有解. 证明阅读全文
posted @ 2016-06-30 12:41 torsor 阅读(376) 评论(0) 编辑