对偶问题

线性规划中一个经典问题的描述如下：

　　某工厂有两种原料A、B，而且能用其生产两种产品：

1、生产第一种产品需要2个A和4个B，能够获利6；

2、生产第二种产品需要3个A和2个B，能够获利4；

此时共有100个A和120个B，问该工厂最多获利多少？

用数学表达式描述如下：

已知：

2×X₁+3×X₂≤100

4×X₁+2×X₂≤120

求：

max 6×X₁+4×X₂

　　工厂除了拿原料生产成产品卖掉这条出路外，还有一种方法是直接将原料卖掉。当然，不管是怎么做都要利益越大话！也就是说，把原料卖掉赚的钱比生产成产品赚的钱多，才去会这样做。那么最低可以接受多少的价格呢？假设资源A和B的单价分别为：Y1和Y2，那么可以用数学表达式描述如下：

已知：

2×Y₁+4×Y₂≥6

3×Y₁+2×Y₂≥4

求：

min 100×Y₁+120×Y₂

那么，这两个问题互为对偶问题。

对偶问题的性质和定理如下：

1、对偶问题的对偶问题就是原问题。

2、如果X₀和Y₀分别是原问题和对偶问题的可行解，那么C×X₀≥Y₀×B。

3、如果X₀和Y₀分别是原问题和对偶问题的最优解，那么C×X₀₌Y₀×B。

4、有一对对偶问题，如果其中有一个问题有一个有限的最优解，则另一个也有最优解。

5、若线性规划原问题有一个对应于基B的最优基本可行解，则此时的单 纯型乘子Y= C_BB^-1是相应于对偶问题的一个最优解。

6、若X和Y分别是原问题和对偶问题的可行解，则X和Y都是最优解的充要条件是，对所有i和j，下列关系式成立：

a、如果X_j>0，必有Y×P_j=c_j

b、如果Y×Pj<c_j，必有X_j=0

c、如果Y_i>0，必有A_i×X=b_i

d、如果A_i×X>b_i，必有Y_i=0

其中P_j是A的第j列，A_i是A的第i行，称为互补松弛定理。

证明：

原问题标准化：

对应的“对偶问题”标准化后得到：

 

因为原问题和对偶问题会“同时”取得最优解，那么在取得最优解时有：

好了，现在开始真正的证明过程：

过程还是很简单的，不过从整体上的过程可以学到很多的思想，也要学会用数学的表述去描述直观的问题。

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