最短路径—Dijkstra算法

Dijkstra算法

1.定义概览

Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的单源最短路径算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法是很有代表性的最短路径算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。注意该算法要求图中不存在负权边。

问题描述：在无向图 G=(V,E) 中，假设每条边 E[i] 的长度为 w[i]，找到由顶点 V0 到其余各点的最短路径。（单源最短路径）

 

2.算法描述

1)算法思想：设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径 , 就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。

2)算法步骤：

a.初始时，S只包含源点，即S＝{v}，v的距离为0。U包含除v外的其他顶点，即:U={其余顶点}，若v与U中顶点u有边，则<u,v>正常有权值，若u不是v的出边邻接点，则<u,v>权值为∞。

b.从U中选取一个距离v最小的顶点k，把k，加入S中（该选定的距离就是v到k的最短路径长度）。

c.以k为新考虑的中间点，修改U中各顶点的距离；若从源点v到顶点u的距离（经过顶点k）比原来距离（不经过顶点k）短，则修改顶点u的距离值，修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。

d.重复步骤b和c直到所有顶点都包含在S中。

 

执行动画过程如下图

 模板

编表写法

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
using namespace std;
#define INF 10000000
#define maxn 3000010
int qd;//到那个点的距离 
int dis[maxn];
int vis[maxn];
int n,m,q,head[maxn];
struct node{
    int u,v,w,next;
}e[maxn];
void add(int u,int v,int w,int i){
    e[i].u=u;//编号为i的对象为u
    if(u==qd) dis[v]=w;//qd到各点的距离//直接入队 
    e[i].v=v;//编号为i的u的对象为v 
    e[i].w=w;//编号为i的u->v 的距离是w
    e[i].next=head[u];//上一个编号 
    head[u]=i; //记录现在编号
}
void djc(int u){
    dis[u]=0;vis[u]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        int m=INF;
        for(int j=1;j<=n;j++){
            if(!vis[j]&&dis[j]<m){
                u=j;
                m=dis[j];
            }    
        }
        //if(u==qd) break;//没找到路   
        vis[u]=1;//标记已走过，无论有没有找到路
        for(int l=head[u];l;l=e[l].next){//当前编号往前找，一直找到0为止，0前再无有效编号 
            if(dis[e[l].v]>dis[e[l].u]+e[l].w){//更新最短路径
               dis[e[l].v]=dis[e[l].u]+e[l].w;
            }
        }
        
    }
}
int main()
{
    int m,u,v,x,y,z;
    memset(dis,127,sizeof dis);
    scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&qd,&v);
    for(int i=1;i<=m;i++){
        scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
        add(x,y,z,i);
        add(y,x,z,i+m);
    }
    djc(qd);
    printf("%d\n",dis[v]);//输出qd->v的最短路径 
    return 0;
}