查找——二分查找
二分查找也叫做折半查找，查找的对象是已经排好序的序列（一般默认为升序）。
让我们来看看原理：顾名思义，就是先将中间数和目标key比较，如果相等则返回其索引，否则把序列分成两半，根据大小判断所查找的key在哪一半中，对这一半序列再重复上述步骤，直到找到目标key或查找完序列。
一般的二分查找
被查找的序列arr中无重复的元素，在此序列中查找目标数target。
被查找的序列示例：int[] arr1 = { 1, 2, 4, 5, 8, 13, 19, 20, 33, 38, 40, 48, 88 }。
public static int binarySearch(int[] arr, int target) {
if (arr == null || arr.length == 0) {
return -1;
}
// 确定别查找的区间
int left = 0;
int right = arr.length - 1;
// 开始查找【left，right】区间
while (left <= right) {
// 找到中间数的索引
int mid = (left + right) / 2;
// 判断 中间数 和 target 的大小
if (arr[mid] == target) { // 若相等，则返回其索引
return mid;
} else if (arr[mid] > target) { // 若大于，确定前半段区间
right = mid - 1;
} else if (arr[mid] < target) { // 若小于，确定后半段区间
left = mid + 1;
}
}
// 如果未查找到，则返回-1
return -1;
}
第一步，初始化原序列，left指向索引为0的位置，即此区间的第一个元素，right指向索引为arr.length-1的位置，即此区间最后一个元素，也就是说这个区间是闭区间，[left，right]区间内的元素都是被查的元素。
第二步，找到中间元素的索引mid，判断中间元数和目标数target的值是否相等：
- 若中间数等于target，说明已经找到了目标数了，查找成功，直接返回其索引mid；
- 若中间数小于target，说明要查找的数在后半段，即[mid+1，right]，所以将mid+1值赋给left，确定下次要查找的区间，重复第二步；
- 若中间数大于target，说明要查找的数在前半段，即[left，mid-1]，所以将mid-1值赋给right，确定下次要查找的区间，重复第二步；
第三步，当查找到left==right时，是最后一个区间，即[left，left],此区间只有一个元素，即下标为left的元素。如果此元素是目标数则查找成功，返回其索引；如果不是，会重新确定left或right的值，使得left>right，查找完毕退出循环，返回-1。
有重复元素的二分查找
被查找的序列arr中有重复的元素，在此序列中查找目标数target。
被查找的序列示例：int[] arr1 = { 1, 2, 5, 5, 5, 13, 19, 33, 33, 38, 40, 48, 48 }。
1.寻找左侧边界的二分查找
顾名思义，就是当序列中被查找的数有多个时，找到最左边的那个数的位置，然后返回其索引。当然，如果被查找的数只有一个，找到并返回其索引就好了，否则返回-1。
public static int binarySearch1(int[] arr, int target) {
if (arr == null || arr.length == 0) {
return -1;
}
int left = 0;
int right = arr.length; // 右侧未闭合
while (left < right) { // left==right时，退出循环
int mid = (left + right) / 2;
if (arr[mid] == target) { // 找到时，right向右侧靠拢，记住此位置
right = mid;
}else if (arr[mid] < target) { // 小于时，左侧闭合，向右靠拢
left = mid + 1;
}else if (arr[mid] > target) { // 大于时，右侧不闭合，向左靠拢
right = mid;
}
}
if (left == arr.length) { // 如果target大于所有元素，返回-1
return -1;
}
return arr[left] == target ? left : -1;
}
大框架并没有发生变化，改变的地方需要说一下：
首先，while的条件变了， left <= righ 变成了 left < right ，当left == right时退出循环，为什么要变呢？因为我们这次所查找的区间是左闭右开的，[left，right)，当left增长到left == right时，所查找的区间已查找完毕，这时我们就要退出循环了。为什么要这样设计？此中妙处，请往下看。
if (left == arr.length) { return -1; } 这段代码是干啥的？这是当我们要查找的数大于此序列的所有数时，left会一直增加到left == right，而此时的right并未改变,就是arr.length。这段代码是为了处理这这种情况。
当中间数不是target时，调整下次要查询的区间的范围，大家应该可以理解，因为这是左闭右开的区间。
当中间数等于target时， right = mid; ，怎么回事？找到 target 时不要立即返回，而是缩小「搜索区间」的上界 right，在区间 [left, mid) 中继续搜索，即不断向左收缩，达到锁定左侧边界的目的。当然，如果此时right锁定的就是左边界，left会一直向右收缩，直到left == right。
最后的 return arr[left] == target ? left : -1; 是为了应对target小于所有数时的情况和是否找到target时的情况。
2.寻找右侧边界的二分搜索
与上面的相反，就是当序列中被查找的数有多个时，找到最右边的那个数的位置，然后返回其索引。当然，如果被查找的数只有一个，找到并返回其索引就好了，否则返回-1。
public static int binarySearch2(int[] arr, int target) {
if (arr == null || arr.length == 0) {
return -1;
}
int left = 0;
int right = arr.length;
while (left < right) {
int mid = (left + right) / 2;
if (arr[mid] == target) {
left = mid+1;
}else if (arr[mid] < target) {
left = mid+1;
}else if (arr[mid] > target) {
right = mid;
}
}
if (left == 0) {
return -1;
}
return arr[left-1] == target ? (left-1) : -1;
}
当我们查找左边界的时候，我们是用right指针来锁定左侧边界的；同理，当我们查找右边界的时候，我们用left来锁定右边界，但有一点小区别，因为查找区间是左闭右开的，left指向的元素在查找范围内，因此我们用left的前一个元素来锁定右边界。
这就是为什么当中间元素等于target时，我们要 left = mid+1; 呢，left的前一个元素最终会锁定的右边界，这也就对应了后面的return语句中为什么是left - 1，因为left - 1指向的最右边的target元素。
if (left == 0) { return -1; } 这段代码是为了应对当target小于所有元素时的情况，因为后面有left-1，没有这条语句的话会造成索引越界的情况。
总结一下
二分查找有一个实现框架：
public static int binarySearch(int[] arr, int target) {
if (arr == null || arr.length == 0) {
return -1;
}
int left = 0;
int right = --------;
while (--------) {
int mid = (left + right) / 2;
if (arr[mid] == target) {
--------;
} else if (arr[mid] > target) {
right = --------;
} else if (arr[mid] < target) {
left = --------;
}
}
return --------;
}
当我们实现时根据题目的具体要求，来调整框架中所填部分的值。
一般的二分查找最为简单；当有重复数字时，查找相对复杂一些，本文中只提到了查找左右边界的情况，但平常我们还会遇到一些变种的二分查找情况，比如：查找最后一个等于或者小于key的元素、查找最后一个小于key的元素、查找第一个等于或者大于key的元素、查找第一个大于key的元素等。虽然变化很多，但万变不离其宗！读者只要理解查找的原理和每一步的过程，将其融会贯通，便可攻无不克。
