组合数学及其应用——二项式定理

  常见的指数是形式的二项式定理我们是熟悉的，即对于(x+y)的n次幂，n取正整数，我们能将其展开成有限项数的多项式，但对于n取负数、分数，二项式是否成立了呢？

 

  1676年Newton拓展二项式定理，即证明了如下定理：

                        

  当(x+y)的指数取正整数时，就是拓展二项式定理的一种情况。

  指数取正整数情况的证明，可以考虑用数学归纳法或者组合分析来证明，笔者在《A First Course in Probability》中呈现过数学归纳的证法，这里便不再赘述。

  而对于推广形式的二项系数定理的证明，在高级微积分教材中会找到，这里暂且不展开论述。

 

  这里主要记录利用拓展二项式定理，来计算分数指数和负指数的情况。

 

  分数指数：

  其实我们用计算器的时候就应该十分好奇，加减乘除计算器能够很快地计算，人脑理解(加减乘除)也很容易，但是根号呢？这好像就显得不是那么显然了。

  我们以利用牛顿二项式定理计算平方根为例。

   

  这个结果在我们利用递推公式和生成函数推导卡特兰数的解会发挥重要作用。

 

 

  这个结果将在后面的引入生成函数概念一节中一个特定模型的推导中起到作用。