带权请求策略的几种算法
2010-08-28 00:08 by Creason New, 1020 visits, 收藏, 编辑在看《算法设计》的贪心算法时，有一个问题:Weight Interval Scheduling，也就是常常提到的带权请求策略问题，这个算法经常用到，比如CPU的进程调度，资源调度等。书中给出的方案是使用动态规划算法解出的，后来我发现也可以从图论的角度解决，就整理了一下思路，想出了几个解决问题的其它方案，在这里跟大家一同分享一下，探讨还有没有更多解法。
问题描述
在一定时间段内，有n个请求需要占用同一资源，它们的起始和结束时间各不相同，每一个请求有一个权值，指示完成请求所付的报酬。那么，怎么才能得到最大的报酬。
Figure 1.1 A simple instance of weighted interval scheduling
动态规划法
每一个请求i，都有起始和结束时间si,fi，共有n个请求，假设S是最终的解，那么S∈{1..n}，解为∑(i∈S)vi。这里我们还要定义一个变量，p(i):
p(i):按照结束时间对n个请求正序排序，p(i)代表请求i前的结束时间最晚而且不相冲突的请求的索引，即i前最近的不相冲突的请求的索引，如果没有则为0。
Figure 2.1 An instance of weighted interval scheduling with the functions p(i) defined for each interval i.
设Oi为包含请求i的最优解，OPT(i)为Oi的总权值，那么OPT(0)=0，所以我们要求的便是On中的n，设j=n，当j∈Oj时，那么OPT(j)=vj+OPT(p(j))，如果!j∈Oj，那么OPT(j)=OPT(j-1)，于是：
OPT(j) = max( vj+OPT(p(j)) , OPT(j-1) ).
如果j属于最优解，那么当且仅当：vj+OPT(p(j)) >= OPT(j-1)
则整个过程为：
Compute-Opt(j) If j=0 then Return 0 Else Return max(vj+Compute-Opt(p(j)), Compute-Opt(j-1)) Endif
在程序运行时，我们发现很多时候我们重新计算了很多值，如果问题的规模非常大，那么这将是笔不小的开销：
Figure 2.2 The tree of subproblems called by Compute-Opt
所以，要一个数组保存Opt(j)的值，改进后的算法为：
M-Compute-Opt(j) If j=0 then Return 0 Else if M[j] is not empty then Return M[j] Else Define M[j] = max(vj+M-Compute-Opt(p(j)), M-Compute-Opt(j-1)) Return M[j] Endif
最终算法的时间复杂度为O(n)，已经相当出色了，这就是动态规划的实力。
最大连通图法
我将通过一个实例来阐述这种方法，如下面图中的情况：
Figure 3.1 An instance of weighted interval scheduling with longest path
首先，我把所有请求的起始终止时间投影到时间轴上，并对它们编号。
然后，绘制出图，其中点为时间点，边为时间点间的请求，边的权值为该请求的权值，如图：
Figure 3.2 Process of get a graph from requests
从请求中得到图我们需要做一些额外的工作，正如上图中所示，首先如果请求i位于时间点a,b间，就连接a,b，并把请求i的权值作为边ab的权值。完成这一步我们将得到一个包含多个子图的弱连通图。然后，加入一个起始点s和一个结束点f，s连接到所有子图的最先时间点，f连接到所有子图的最迟时间点，并给它们0权值。最后，也是最重要的一步，就是连接各个子图，这一步有一个原则：
找到子图中最先时间点a，连接a之前的最邻近的时间点，并赋权值0。找子图中最迟的时间点b，连接b之后的最邻近的时间点，并赋权值0。这样，我们就得到一个连通图。继而，使用图的理论求得s,f间的最长路径，继而求解成功。
最大独立集法
独立集就是图中互不连通的点的集合，最大独立集也就是图中点数最多的独立集，根据这一理论，我们可以使用最大独立集法求解。
首先，我们用请求的权值作为图的点，如果请求a,b冲突，就做边ab，于是得到图。然后，根据图的理论求出图的最大独立集。
总结
有关带权请求策略的算法可能还有很多，以上的两种为本人的个人解法，可能没有第一种效率高，但针对不同的问题，使用图论来解决会得到更好的结果，具体的性能分析也没有测试，希望有兴趣的可以试一下。如果，你有更好的算法不妨说出来，让我们一起研究一下。
作者：Creason New(Creason's Blog)
出处： http://www.cnblogs.com/niuchenglei
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