数学物理方程总览
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数学物理方程相关介绍
数学物理方程，通常指从物理学及其他各门自然科学、技术科学中所产生的偏微分方程，有时也包括与此有关的积分方 程、微分积分方程和常微分方程。
数学物理方程的种类： { 常 微 分 方 程 ( O D E ) 偏 微 分 方 程 ( P D E ) 积 分 方 程 \left\{\begin{array}{l} 常微分方程(ODE)\\偏微分方程(PDE)\\ 积分方程\end{array}\right. ⎩⎨⎧常微分方程(ODE)偏微分方程(PDE)积分方程
数学物理方程中主要研究二阶线性偏微分方程
二阶线性偏微分方程包括 { ∇ 2 u = f 椭 圆 形 、 泊 松 ( p o i s s o n ) 方 程 u t − D ∇ 2 u = f 抛 物 型 、 扩 散 方 程 u t t − a 2 ∇ 2 u = f 双 曲 型 、 波 动 方 程 ∇ 2 u = 0 拉 普 拉 斯 ( L a p l a c e ) 方 程 ∇ 2 u + k 2 u = f 亥 姆 霍 兹 ( H e l m h o l t z ) 方 程 \left\{\begin{array}{l} \nabla^2 u=f\quad椭圆形、泊松(poisson)方程\\u_t-D\nabla^2u=f\quad 抛物型、扩散方程\\u_{tt}-a^2\nabla^2u=f\quad 双曲型、波动方程\\\nabla^2 u=0 \quad 拉普拉斯(Laplace)方程 \\ \nabla^2u+k^2u=f\quad 亥姆霍兹(Helmholtz)方程 \end{array}\right. ⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧∇2u=f椭圆形、泊松(poisson)方程ut−D∇2u=f抛物型、扩散方程utt−a2∇2u=f双曲型、波动方程∇2u=0拉普拉斯(Laplace)方程∇2u+k2u=f亥姆霍兹(Helmholtz)方程
相关算符：
梯度算符，Del算符( ∇ \nabla ∇)， ∇ = ( ∂ ∂ x , ∂ ∂ y , ∂ ∂ z ) \nabla=\left(\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z}\right) ∇=(∂x∂,∂y∂,∂z∂) ，在物理学中被称为哈密顿算子。
其中 ∇ 2 u = ∇ ⋅ ( ∇ u ) , ∇ 2 ≡ ∂ 2 ∂ x 2 + ∂ 2 ∂ y 2 + ∂ 2 ∂ z 2 = ∇ ⋅ ∇ \nabla^{2} u=\nabla \cdot(\nabla u), \quad \nabla^{2} \equiv \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}}=\nabla \cdot \nabla ∇2u=∇⋅(∇u),∇2≡∂x2∂2+∂y2∂2+∂z2∂2=∇⋅∇称为拉普拉斯算符/算子，Laplace operator。 Δ 3 \Delta_3 Δ3 表示三维空间的拉普拉斯算符。
物理意义：泊松方程 表示静电势或引力势，即电势与电荷密度间的关系
波动方程 表示波的传播，方程 u t t − a 2 ∇ 2 u = f u_{tt}-a^2\nabla^2u=f utt−a2∇2u=f 中 a a a表示波传播的速度
扩散方程 表示热传导、扩散问题，方程 u t − D ∇ 2 u = f u_{t}-D\nabla^2u=f ut−D∇2u=f
二阶线性PDE(偏微分方程)之间的联系：
扩散过程达到稳定时， u t = 0 u_t=0 ut=0，温度分布变为Poisson 方程；更进一步，若没有热源，即 f = 0 f=0 f=0，又变为Laplace 方程。
波动方程将时间部分分离则变为亥姆霍兹(Helmholtz)方程【 T ′ ′ ( t ) a 2 T ( t ) = ∇ 2 U ( m ) U ( m ) = − λ \frac{T^{\prime \prime}(t)}{a^{2} T(t)}=\frac{\nabla^{2} U(m)}{U(m)}=-\lambda a2T(t)T′′(t)=U(m)∇2U(m)=−λ， ∇ 2 U ( m ) + λ U ( m ) = 0 \nabla^{2} U(m)+\lambda U(m)=0 ∇2U(m)+λU(m)=0】
如果齐次波动方程
∂ 2 u ∂ t 2 − a 2 ∇ 2 u = 0 \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}-a^{2} \nabla^{2} u=0 ∂t2∂2u−a2∇2u=0
中， u ( x , y , z , t ) u(x, y, z, t) u(x,y,z,t) 随时间周期地变化，频率为 ω \omega ω,
u ( x , y , z , t ) = v ( x , y , z ) e − i ω t u(x, y, z, t)=v(x, y, z) \mathrm{e}^{-\mathrm{i} \omega t} u(x,y,z,t)=v(x,y,z)e−iωt
则 v ( x , y , z ) v(x, y, z) v(x,y,z) 满足 Helmholtz 方程
∇ 2 v ( x , y , z ) + k 2 v ( x , y , z ) = 0 \nabla^{2} v(x, y, z)+k^{2} v(x, y, z)=0 ∇2v(x,y,z)+k2v(x,y,z)=0
其中 k = ω / a k=\omega / a k=ω/a 称为波数。
连续性方程，其中 ρ \rho ρ 是介质的体密度
∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ ρ U = 0 \frac{\partial\rho }{\partial t}+\nabla \cdot \boldsymbol{\rho U}=0 ∂t∂ρ+∇⋅ρU=0
PDE求解
如常微分方程一样，对于偏微分方程来说，如果我们能求得二阶线性偏微分方程的通解，它应含有两个任意函数。例如，偏微分方程
∂
2
u
(
x
,
y
)
∂
x
2
=
0
\frac{\partial^{2} u(x, y)}{\partial x^{2}}=0
∂x2∂2u(x,y)=0
的通解就是
u
(
x
,
y
)
=
c
1
(
y
)
+
x
c
2
(
y
)
,
u(x, y)=c_{1}(y)+x c_{2}(y),
u(x,y)=c1(y)+xc2(y),
其中
c
1
(
y
)
c_{1}(y)
c1(y) 和
c
2
(
y
)
c_{2}(y)
c2(y) 是
y
y
y 的任意函数。
但上面只对介质内部进行了求解，如果介质通过边界面与外部相互作用，或需要描述变化的过程，则除了偏微分方程外，还必须有定解条件，包括初始条件和边界条件。
定解问题： { 范 定 方 程 定 解 条 件 { 初 始 条 件 边 界 条 件 \left\{\begin{array}{l} 范定方程\\定解条件\left\{\begin{array}{l} 初始条件\\边界条件 \\ \end{array}\right. \\ \end{array}\right. ⎩⎨⎧范定方程定解条件{初始条件边界条件
边界条件：
其中
∂
∂
n
\frac{\partial}{\partial n}
∂n∂ 称为法向微商，它是物理量梯度矢量在外法线方向上的投影，
∂
∂
n
=
n
⋅
∇
,
即
∂
u
∂
n
=
n
⋅
∇
u
.
\frac{\partial}{\partial n}=\boldsymbol{n} \cdot \nabla, \quad \text { 即 } \quad \frac{\partial u}{\partial n}=\boldsymbol{n} \cdot \nabla u \text {. }
∂n∂=n⋅∇, 即 ∂n∂u=n⋅∇u.
第一类边界条件–狄利克雷(Dirichlet)条件：
u
(
0
,
t
)
=
μ
(
t
)
u(0,t)=\mu(t)
u(0,t)=μ(t) 给出边界上各点的函数值；
第二类边界条件–诺依曼边界条件：
u
x
(
0
,
t
)
=
ν
(
t
)
u_x(0,t)=\nu(t)
ux(0,t)=ν(t) 给出边界上各点函数的法向微商值；
第三类边界条件–罗宾边界条件：
u
x
(
0
,
t
)
−
h
u
(
0
,
t
)
=
θ
(
t
)
u_x(0,t)-hu(0,t)=\theta(t)
ux(0,t)−hu(0,t)=θ(t) 给出边界上各点的函数值与法向微商值之间的线性关系。
其他边界条件：内部界面上的连接条件、周期性条件、自然边界条件 R ( r ) = c l r l + d l r l R(r)=c_lr^l+d_lr_l R(r)=clrl+dlrl、无穷远条件、有界条件
初始条件个数应等于方程对时间导数的阶数，n阶导数的通解中需要n个待定参数。
定解问题分类： { 柯 西 问 题 只 有 初 条 ， 无 需 边 条 狄 氏 问 题 只 有 边 条 ， 无 需 初 条 混 合 形 定 解 问 题 既 有 边 条 ， 又 有 初 条 \left\{\begin{array}{l} 柯西问题 \quad 只有初条，无需边条\\狄氏问题 \quad 只有边条，无需初条\\ 混合形定解问题 \quad 既有边条，又有初条\end{array}\right. ⎩⎨⎧柯西问题只有初条，无需边条狄氏问题只有边条，无需初条混合形定解问题既有边条，又有初条
解的适定性： { 存 在 性 唯 一 性 稳 定 性 \left\{\begin{array}{l} 存在性\\唯一性\\ 稳定性\end{array}\right. ⎩⎨⎧存在性唯一性稳定性
实际计算过程中二阶偏微分方程的解法有：
二阶偏微分方程的解法： { 行 波 方 程 − 行 波 法 − 波 动 方 程 的 达 朗 贝 尔 解 分 离 变 量 法 − 波 动 、 热 传 导 、 直 角 柱 球 坐 标 中 拉 普 拉 斯 方 程 积 分 变 换 法 − 傅 里 叶 变 换 、 拉 普 拉 斯 积 分 变 换 格 林 函 数 − 场 对 点 源 的 响 应 变 分 法 数 值 方 法 − 插 分 法 \left\{\begin{array}{l} 行波方程-行波法-波动方程的达朗贝尔解\\分离变量法-波动、热传导、直角柱球坐标中拉普拉斯方程\\ 积分变换法-傅里叶变换、拉普拉斯积分变换\\格林函数-场对点源的响应 \\变分法 \\数值方法-插分法 \\ \end{array}\right. ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧行波方程−行波法−波动方程的达朗贝尔解分离变量法−波动、热传导、直角柱球坐标中拉普拉斯方程积分变换法−傅里叶变换、拉普拉斯积分变换格林函数−场对点源的响应变分法数值方法−插分法
接下来我们将对这些解法进行更详细的介绍，点击传送门阅读更多内容。
下一章节：线性偏微分方程的通解
想要直接看分离变量法的同学：分离变量法
