IEEE754、VAX、IBM浮点型介绍和.NET中互相转换

【题外话】

最近在做C3D文件的解析,好奇怪的是文件中竟然存储了CPU的类型,原本不以为然,结果后来读取一个文件发现浮点数全部读取错误。查了下发现虽然在上世纪80年代就提出了IEEE754要统一浮点数标准,但是到现在仍然有计算机采用不同方式存储浮点数。在某些非IEEE754标准的计算机产生的二进制文件中,如果拿到其他计算机中读取,如果不进行专门的转换,可能导致数据错误等问题。

 

【文章索引】

  1. IEEE754标准浮点数字的存储详解
  2. VAX及IBM浮点数字的存储和转换
  3. 双精度浮点数的处理

 

【一、IEEE754标准浮点数字的存储详解】

对于x86等常见的CPU,都是采用IEEE754存储和计算浮点型的,当然在.NET平台中浮点型也是IEEE754标准的。首先回顾下本科时学过的计算机组成原理,查了下课本发现是如下介绍IEEE754浮点数的存储的(唐朔飞版课本233页):

其中,S为数符,它表示浮点数的正负,但与其有效位(尾数)是分开的。阶码用移码表示,阶码的真值都被加上一个常数(偏移量),如短实数、长实数和临时实数的偏移量用十六进制表示分别为7FH、3FFH和3FFFH。尾数部分通常都是规格化表示,即非“0”的有效位最高位总是1。

以单精度浮点数为例,如果字节查看应该是如下这个样子的,数符占第1字节的第1位,阶码占第1字节的后7位及第二字节的第1位,其余都是尾数。

SEF      S        EEEEEEEE        FFFFFFF        FFFFFFFF        FFFFFFFF
bits     1        2      9        10                                    32
bytes    byte1           byte2                   byte3           byte4

如果设数符为S,阶码为E,尾数的小数部分为F,那么可以通过位运算得到这三位:

Double S = (byte1 & 0x80) >> 7;
Double E = ((byte1 & 0x7F) << 1) + ((byte2 & 0x80) >> 7);
Double F = ((byte2 & 0x7F) << 16) + (byte3 << 8) + byte4;

由于阶码用移码表示,所以真实的阶码则是E - 0x7F。而尾数由于是规格化的表示,即将尾数规范化为(1.FFFFF……FF)2,但只存小数点之后的部分。由于1 / 2 + 1 / 4 + 1 / 8 + ... + 1 / n = 1 - 1 / 2n,所以可知尾数M(M = 1.0 + F)的范围为1 <= M <= 2 - 1 / 223

所以可通过如下的公式来计算浮点数的值,其中,C是尾数规范化后减去的常量,B是移码的偏移量,可知A、B、C分别为A = 2、B = 0x7F以及C = 1.0。

V = (-1)^S * (F + C) * A^(E - B)

可见,浮点数就不存在0的概念了,所以只能用极限小来表示,同时为了表示无穷大,规定E取值范围为0 < E < 0xFF,即-0x7F < (E - B) < 0x80。

所以,当E = 0xFF时,指数最大,规定F = 0时为无穷值,其中又有S = 0为正无穷以及S = 1为负无穷;而F != 0时为无效数字(NaN)。

当E = 0时,指数最小,规定F = 0时为0,其中又有S = 0为正0以及S = 1时为-0。

不过表示非常小的数字,允许当E = 0时非规范化的尾数存在。即当E = 0且F !=0时,V = (-1)^S * F * A^-126。

二进制表示 十六进制表示 含义 十进制表示
0 11111111 00000000000000000000000 7F 80 00 00 正无穷 +∞ 
1 11111111 00000000000000000000000 FF 80 00 00 负无穷 -∞ 
0 00000000 00000000000000000000000 00 00 00 00 +0 0
1 00000000 00000000000000000000000 80 00 00 00 -0 0
0 00000000 00000000000000000000001 00 00 00 01  最小正数  1.401298E-45
0 11111110 11111111111111111111111 7F 7F FF FF 最大值 3.402823E+38
1 11111110 11111111111111111111111 FF 7F FF FF 最小值 -3.402823E+38
0 01111111 00000000000000000000000
3F 80 00 00
+1 1

而二进制小数转十进制小数的计算可以直接按整数的转换来做,然后除以2n即可,n在这里其实就是尾数的长度,为23。

所以,有了以上的这些信息,我们就可以将浮点数字与字节数组相互转换了(本文假定给定的字节数组都是Litten-Endian):

 1 Single ToSingle(Byte[] data)
 2 {
 3     Double a = 2.0;
 4     Double b = 127.0;
 5     Double c = 1.0;
 6     Double d = -126.0;
 7 
 8     Byte byte1 = data[3];
 9     Byte byte2 = data[2];
10     Byte byte3 = data[1];
11     Byte byte4 = data[0];
12 
13     Double s = (byte1 & 0x80) >> 7;
14     Double e = ((byte1 & 0x7F) << 1) + ((byte2 & 0x80) >> 7);
15     Double f = ((byte2 & 0x7F) << 16) + (byte3 << 8) + byte4;
16     Double m = f / Math.Pow(2, 23);
17 
18     if (e == 0xFF && f == 0) return (s == 0 ? Single.PositiveInfinity : Single.NegativeInfinity);
19     if (e == 0xFF && f != 0) return Single.NaN;
20     if (e == 0x00 && f == 0) return 0;
21     if (e == 0x00 && f != 0) return (Single)((s == 0 ? 1.0 : -1.0) * m * Math.Pow(a, d));
22 
23     return (Single)((s == 0 ? 1.0 : -1.0) * (c + m) * Math.Pow(a, e - b));
24 }
25 
26 Byte[] GetBytes(Single num)
27 {
28     Double a = 2.0;
29     Double b = 127.0;
30     Double c = 1.0;
31     Double d = Math.Log(2);
32 
33     Int32 s = (num >= 0 ? 0 : 1);
34 
35     Double v = Math.Abs(num);
36     Int32 e = (Int32)(Math.Log(v) / d + b);
37 
38     Double m = (v / Math.Pow(a, e - b)) - c;
39     Int32 f = (Int32)(m * Math.Pow(2, 23));
40 
41     Byte[] data = new Byte[4];
42     data[3] = (Byte)((s << 7) + ((e & 0xFE) >> 1));
43     data[2] = (Byte)(((e & 0x01) << 7) + ((f & 0x007F0000) >> 16));
44     data[1] = (Byte)((f & 0x0000FF00) >> 8);
45     data[0] = (Byte)(f & 0x000000FF);
46 
47     return data;
48 }

上述的浮点数转字节数组不能支持NaN和非规范化的情况,当然也可以自己判断下。当然了,上边说了这么多还是为了介绍下边两种浮点数做铺垫。如果实现系统浮点数与字节数组转换的话,用上边这种方法转换就不如用System.BitConverter来的方便了。

 

【二、VAX及IBM浮点数字的存储和转换】

首先还是按字节看下VAX和IBM浮点型的存储:

VAX单精度浮点:

SEF         S        EEEEEEEE        FFFFFFF        FFFFFFFF        FFFFFFFF
bits        1        2      9        10                                    32
bytes       byte2           byte3                   byte0           byte1

IBM单精度浮点:

SEF         S        EEEEEEE        FFFFFFFF        FFFFFFFF        FFFFFFFF
bits        1        2     8        9                                      32
bytes       byte1                   byte2           byte3           byte4

非常有意思的是,VAX存储的结构并不是按顺序存储的,而是采用了一种叫做Middle-Endian的存储方式来存储(并非字节序):对于四字节而言其顺序就是2301,八字节为23016745,十六字节为23016745AB89EFCD。不过总体来说,VAX浮点型与IEEE754还是很类似的,比如VAX也要进行规范化,但是其规范化为(0.1FFFFF..FF)2,所以上述的C就为0.5,其尾数M的范围即为1/2 <= M <= 1 - 1 / 224;而同时其也并没有规定无穷大,不需要单独为无限大留出最大的阶码,所以上述的B为0x80。

而IBM单精度浮点则与上述两种差别更大。首先其阶码并不是8位,而是7位,由于还是使用移码存储的阶码,所以其减去的不能是127或者128,而是64,所以其与VAX一样,也没有无穷值的表示。除此之外,其也不是以2为底计算阶码的,而是以16为底,并且其没有规范化尾数的要求(当然这也与其以16为底有关),所以不需要对尾数进行加减运算,其范围为1/16 <= M <= 1- 1 / 224

以下是实现VAX浮点字节数组与系统浮点数字相互转化的类:

 1 using System;
 2 
 3 namespace DotMaysWind.Numerics
 4 {
 5     /// <summary>
 6     /// VAX单精度浮点数字
 7     /// </summary>
 8     /// <remarks>
 9     /// SEF         S        EEEEEEEE        FFFFFFF        FFFFFFFF        FFFFFFFF
10     /// bits        1        2      9        10                                    32          
11     /// bytes       byte2           byte1                   byte4           byte3
12     /// </remarks>
13     public struct VAXSingle
14     {
15         #region 常量
16         private const Int32 LENGTH = 4;
17         private const Double BASE = 2.0;
18         private const Double EXPONENT_BIAS = 128.0;
19         private const Double MANTISSA_CONSTANT = 0.5;
20         private const Double E24 = 16777216.0;
21         #endregion
22 
23         #region 字段
24         private Byte[] _data;
25         #endregion
26 
27         #region 构造方法
28         /// <summary>
29         /// 初始化新的VAX单精度浮点数字
30         /// </summary>
31         /// <param name="data">VAX单精度浮点数字字节数组</param>
32         /// <param name="startIndex">数据起始位置</param>
33         public VAXSingle(Byte[] data, Int32 startIndex)
34         {
35             this._data = new Byte[VAXSingle.LENGTH];
36             Array.Copy(data, startIndex, this._data, 0, VAXSingle.LENGTH);
37         }
38 
39         /// <summary>
40         /// 初始化新的VAX单精度浮点数字
41         /// </summary>
42         /// <param name="num">系统标准的单精度浮点数字</param>
43         public VAXSingle(Single num)
44         {
45             Int32 s = (num >= 0 ? 0 : 1);
46 
47             Double v = Math.Abs(num);
48             Int32 e = (Int32)(Math.Log(v) / Math.Log(2.0) + 1.0 + VAXSingle.EXPONENT_BIAS);
49 
50             Double m = (v / Math.Pow(VAXSingle.BASE, e - VAXSingle.EXPONENT_BIAS)) - VAXSingle.MANTISSA_CONSTANT;
51             Int32 f = (Int32)(m * VAXSingle.E24);
52 
53             this._data = new Byte[VAXSingle.LENGTH];
54             this._data[1] = (Byte)((s << 7) + ((e & 0xFE) >> 1));
55             this._data[0] = (Byte)(((e & 0x01) << 7) + ((f & 0x007F0000) >> 16));
56             this._data[3] = (Byte)((f & 0x0000FF00) >> 8);
57             this._data[2] = (Byte)(f & 0x000000FF);
58         }
59         #endregion
60 
61         #region 方法
62         /// <summary>
63         /// 获取系统标准的单精度浮点数字
64         /// </summary>
65         /// <returns>系统标准的单精度浮点数字</returns>
66         public Single ToSingle()
67         {
68             Byte b1 = this._data[1];
69             Byte b2 = this._data[0];
70             Byte b3 = this._data[3];
71             Byte b4 = this._data[2];
72 
73             Double s = (b1 & 0x80) >> 7;
74             Double e = ((b1 & 0x7F) << 1) + ((b2 & 0x80) >> 7);
75             Double f = ((b2 & 0x7F) << 16) + (b3 << 8) + b4;
76             Double m = f / VAXSingle.E24;
77 
78             if (e == 0 && s == 0) return 0;
79             if (e == 0 && s == 1) return Single.NaN;
80 
81             return (Single)((s == 0 ? 1.0 : -1.0) * (VAXSingle.MANTISSA_CONSTANT + m) * Math.Pow(VAXSingle.BASE, e - VAXSingle.EXPONENT_BIAS));
82         }
83 
84         /// <summary>
85         /// 获取VAX单精度浮点数据字节数组
86         /// </summary>
87         /// <returns>字节数组</returns>
88         public Byte[] ToArray()
89         {
90             Byte[] data = new Byte[VAXSingle.LENGTH];
91 
92             Array.Copy(this._data, data, VAXSingle.LENGTH);
93 
94             return data;
95         }
96         #endregion
97     }
98 }
View Code

以下是实现IBM浮点字节数组与系统浮点数字相互转化的类:

 1 using System;
 2 
 3 namespace DotMaysWind.Numerics
 4 {
 5     /// <summary>
 6     /// IBM单精度浮点数字
 7     /// </summary>
 8     /// <remarks>
 9     /// SEF         S        EEEEEEE        FFFFFFFF        FFFFFFFF        FFFFFFFF
10     /// bits        1        2     8        9                                      32
11     /// bytes       byte1                   byte2           byte3           byte4
12     /// </remarks>
13     public struct IBMSingle
14     {
15         #region 常量
16         private const Int32 LENGTH = 4;
17         private const Double BASE = 16.0;
18         private const Double EXPONENT_BIAS = 64.0;
19         private const Double E24 = 16777216.0;
20         #endregion
21 
22         #region 字段
23         private Byte[] _data;
24         #endregion
25 
26         #region 构造方法
27         /// <summary>
28         /// 初始化新的IBM单精度浮点数字
29         /// </summary>
30         /// <param name="data">IBM单精度浮点数字字节数组</param>
31         /// <param name="startIndex">数据起始位置</param>
32         public IBMSingle(Byte[] data, Int32 startIndex)
33         {
34             this._data = new Byte[IBMSingle.LENGTH];
35             Array.Copy(data, startIndex, this._data, 0, IBMSingle.LENGTH);
36         }
37 
38         /// <summary>
39         /// 初始化新的IBM单精度浮点数字
40         /// </summary>
41         /// <param name="num">系统标准的单精度浮点数字</param>
42         public IBMSingle(Single num)
43         {
44             Int32 s = (num >= 0 ? 0 : 1);
45 
46             Double v = Math.Abs(num);
47             Int32 e = (Int32)(Math.Log(v) / Math.Log(2.0) / 4.0 + 1.0 + IBMSingle.EXPONENT_BIAS);
48 
49             Double m = (v / Math.Pow(IBMSingle.BASE, e - IBMSingle.EXPONENT_BIAS));
50             Int32 f = (Int32)(m * IBMSingle.E24);
51 
52             this._data = new Byte[IBMSingle.LENGTH];
53             this._data[3] = (Byte)(s + e);
54             this._data[2] = (Byte)((f & 0x00FF0000) >> 16);
55             this._data[1] = (Byte)((f & 0x0000FF00) >> 8);
56             this._data[0] = (Byte)(f & 0x000000FF);
57         }
58         #endregion
59 
60         #region 方法
61         /// <summary>
62         /// 获取系统标准的单精度浮点数字
63         /// </summary>
64         /// <returns>系统标准的单精度浮点数字</returns>
65         public Single ToSingle()
66         {
67             Byte b1 = this._data[3];
68             Byte b2 = this._data[2];
69             Byte b3 = this._data[1];
70             Byte b4 = this._data[0];
71 
72             Double s = (b1 & 0x80) >> 7;
73             Double e = (b1 & 0x7F);
74             Double f = (b2 << 16) + (b3 << 8) + b4;
75             Double m = f / IBMSingle.E24;
76 
77             if (e == 0 && f == 0 && s == 0) return 0;
78 
79             return (Single)((s == 0 ? 1.0 : -1.0) * m * Math.Pow(IBMSingle.BASE, e - IBMSingle.EXPONENT_BIAS));
80         }
81 
82         /// <summary>
83         /// 获取IBM单精度浮点数据字节数组
84         /// </summary>
85         /// <returns>字节数组</returns>
86         public Byte[] ToArray()
87         {
88             Byte[] data = new Byte[IBMSingle.LENGTH];
89 
90             Array.Copy(this._data, data, IBMSingle.LENGTH);
91 
92             return data;
93         }
94         #endregion
95     }
96 }
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【三、双精度浮点数的处理】

双精度浮点数与单精度浮点数类似,只不过会扩大阶码和尾数的范围罢了。对于IEEE754的双精度浮点而言,不仅尾数的位数增加,还会增加阶码的尾数,字节存储如下:

SEF    S     EEEEEEE EEEE  FFFF FFFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFF
bits   1     2          12 13                                                       64
bytes  byte1         byte2      byte3    byte4    byte5    byte6    byte7    byte8

可见,其阶码增加了3位,即最大值是原来翻了3翻,为1024。而为了保证能表示无穷值,所以B为1023。除此之外只需要多读取后边增加的尾数即可,步骤与单精度基本相同。

而对于VAX和IBM的双精度浮点,更是没有扩大阶码的范围,而只是扩大了尾数的范围,使得只要多读取增加的4位尾数即可,而常数A、B、C更是无需修改。两者字节存储如下:

VAX双精度浮点:

SEF    S     EEEEEEEE     FFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFF
bits   1     2      9     10                                                          64
bytes  byte2        byte3         byte0    byte1    byte6    byte7    byte4    byte5

IBM双精度浮点:

SEF    S     EEEEEEE  FFFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFF
bits   1     2     8  9                                                            64
bytes  byte1          byte2    byte3    byte4    byte5    byte6    byte7    byte8

 

【相关链接】

  1. Transform between IEEE, IBM or VAX floating point number formats and bytes expressions:http://www.codeproject.com/Articles/12363/Transform-between-IEEE-IBM-or-VAX-floating-point-n
  2. VAX F_FLOAT and D_FLOAT to IEEE T_FLOAT and S_FLOAT (double):http://yaadc.blogspot.com/2013/01/vax-ffloat-and-dfloat-to-ieee-tfloat.html
  3. IEEE Arithmetic:http://docs.oracle.com/cd/E19957-01/806-3568/ncg_math.html
  4. Floating-Point:http://andromeda.rutgers.edu/~dupre/231/lecture13.doc
  5. IBM Floating Point Architecture:http://en.wikipedia.org/wiki/IBM_Floating_Point_Architecture
  6. VAX floating point to Decimal:http://arstechnica.com/civis/viewtopic.php?f=20&t=171682
posted @ 2013-10-14 00:27 大魔王mAysWINd 阅读(...) 评论(...) 编辑 收藏