ACM数论之旅14---抽屉原理,鸽巢原理,球盒原理(叫法不一又有什么关系呢╮(╯▽╰)╭)

 

这章没有什么算法可言,单纯的你懂了原理后会不会运用(反正我基本没怎么用过 ̄ 3 ̄)

 

 

 

 

 

 

有366人,那么至少有两人同一天出生(好孩子就不要在意闰年啦( ̄▽ ̄"))

有13人,那么至少有两人同一月出生

 

这就是抽屉原理

 

抽屉原理:把n+1个物品放到n个抽屉里,那么至少有两个物品在同一个抽屉里

鸽巢原理:把n+1个鸽子放到n个鸽巢里,那么至少有两个鸽子在同一个鸽巢里

球盒原理:把n+1个小球放到n个球盒里,那么至少有两个小球在同一个球盒里

(你看,我都帮你们解释里一遍(≧︶≦*))

 

 

 

 

 

 

 

 

其实抽屉原理有两个

第一抽屉原理

原理1: 把多于n+k个的物体放到n个抽屉里,则至少有一个抽屉里的东西不少于两件。

原理2 :把多于mn(m乘以n)+1(n不为0)个的物体放到n个抽屉里,则至少有一个抽屉里有不少于(m+1)的物体。

原理3 :把无穷多件物体放入n个抽屉,则至少有一个抽屉里 有无穷个物体。
 
原理1 、2 、3都是第一抽屉原理的表述。

 

第二抽屉原理

把(mn-1)个物体放入n个抽屉中,其中必有一个抽屉中至多有(m—1)个物体(例如,将3×5-1=14个物体放入5个抽屉中,则必定有一个抽屉中的物体数少于等于3-1=2)。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

原理懂了,但是你会运用吗?

 来看这一题

cf 577B

http://codeforces.com/problemset/problem/577/B

 

 Modulo Sum

给你一个序列a1,a2...an,再给你一个数字m

 

问你能不能从中选出几个数,把他们相加,令这个和能够整除m

能就是输出YES,不能就输出NO

 

 

 

 

 

 

 

不知道你有木有思路(O ° ω ° O )

正常讲肯定是dp咯,加一点剪枝,勉强卡过了(因为CF上面都是单组数据,多组可能就超时了)

AC代码:

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring> 
 3 const int N = (int)1e6 + 5;
 4 int n, m;
 5 int a[N];
 6 bool dp[2][1000];//滚动数组 
 7 bool work(){
 8     dp[0][a[0]] = true;
 9     for(int i = 1; i < n; i ++){
10         memset(dp[i & 1], 0, sizeof(bool)*1000);
11         dp[i & 1][a[i]] = true;
12         for(int j = 0; j < m; j ++){
13             if(dp[(i-1) & 1][j]){
14                 dp[i & 1][(j + a[i]) % m] = true;
15                 dp[i & 1][j] = true;
16             }
17         }
18         if(dp[i & 1][0]) return true;
19     }
20     return dp[(n-1) & 1][0];
21 }
22 int main(){
23     scanf("%d%d", &n, &m);
24     for(int i = 0; i < n; i ++){
25         scanf("%d", &a[i]);
26         a[i] %= m;
27     }
28     puts(work() ? "YES" : "NO");
29 }
View Code

 

 

 

 

其实这题的n虽然范围大,但是我们可以加一个判断,n>m的话,必然输出YES

为什么?根据抽屉原理呗

先求前缀和求余m,

如果有m+1个数,那么就会产生m+1个前缀和,求余完m,就会有m+1个余数

我们知道求余完m会产生0~m-1总共m个余数

那么根据抽屉原理,至少有两个相同的余数

那么他们之间的数的和求余m就肯定是0,所以n>m的话,必然输出YES

 

比如

取两个下标i和j(i < j)

(a1+a2+...+ai) % m = k

(a1+a2+...+aj) % m = k

那么(ai+...+aj) %m = 0

 

所以问题解决啦

 

AC代码:

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring> 
 3 const int N = (int)1e6 + 5;
 4 int n, m;
 5 int a[N];
 6 bool dp[2][1000];//滚动数组 
 7 bool work(){
 8     if(n > m) return true;//多加这一句,TLE的代码说不定就能AC 
 9     dp[0][a[0]] = true;
10     for(int i = 1; i < n; i ++){
11         memset(dp[i & 1], 0, sizeof(bool)*1000);
12         dp[i & 1][a[i]] = true;
13         for(int j = 0; j < m; j ++){
14             if(dp[(i-1) & 1][j]){
15                 dp[i & 1][(j + a[i]) % m] = true;
16                 dp[i & 1][j] = true;
17             }
18         }
19         if(dp[i & 1][0]) return true;
20     }
21     return dp[(n-1) & 1][0];
22 }
23 int main(){
24     scanf("%d%d", &n, &m);
25     for(int i = 0; i < n; i ++){
26         scanf("%d", &a[i]);
27         a[i] %= m;
28     }
29     puts(work() ? "YES" : "NO");
30 }
View Code

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

这个原理懂了,一定要学会用,要不然碰上别的题目一样不会(又在黑自己。。。( ̄▽ ̄"))

 

posted @ 2016-02-23 16:50  YujunLin  阅读(2876)  评论(1编辑  收藏  举报