基于矩阵分解的推荐算法,简单入门

       本文将要讨论基于矩阵分解的推荐算法,这一类型的算法通常会有很高的预测精度,也活跃于各大推荐系统竞赛上面,前段时间的百度电影推荐最终结果的前10名貌似都是把矩阵分解作为一个单模型,最后各种ensemble,不知道正在进行的阿里推荐比赛(http://102.alibaba.com/competition/addDiscovery/index.htm),会不会惊喜出现。。。。好了,闲话不扯了,本文打算写一篇该类型推荐算法的入门篇
 
目录
一,基于矩阵分解的推荐算法相关理论介绍
二,C++代码实现
三,总结跟展望一下
四,后续计划
 
一,基于矩阵分解的推荐算法相关理论介绍
      我们知道,要做推荐系统,最基本的一个数据就是,用户-物品的评分矩阵,如下图1所示
 
图1
        矩阵中,描述了5个用户(U1,U2,U3,U4 ,U5)对4个物品(D1,D2,D3,D4)的评分(1-5分),- 表示没有评分,现在目的是把没有评分的 给预测出来,然后按预测的分数高低,给用户进行推荐。
       如何预测缺失的评分呢?对于缺失的评分,可以转化为基于机器学习的回归问题,也就是连续值的预测,对于矩阵分解有如下式子,R是类似图1的评分矩阵,假设N*M维(N表示行数,M表示列数),可以分解为P跟Q矩阵,其中P矩阵维度N*K,P矩阵维度K*M。
 
式子1
       对于P,Q矩阵的解释,直观上,P矩阵是N个用户对K个主题的关系,Q矩阵是K个主题跟M个物品的关系,至于K个主题具体是什么,在算法里面K是一个参数,需要调节的,通常10~100之间。
式子2
       对于式子2的左边项,表示的是R^ 第i行,第j列的元素值,对于如何衡量,我们分解的好坏呢,式子3,给出了衡量标准,也就是损失函数,平方项损失,最后的目标,就是每一个元素(非缺失值)的e(i,j)的总和 最小
 
 
式子3
         OK,目前现在评分矩阵有了,损失函数也有了,该优化算法登场了,下面式子4是,基于梯度下降的优化算法,p,q里面的每个元素的更新方式
 
 
式子4
           然而,机器学习算法都喜欢加一个正则项,这里面对式子3稍作修改,得到如下式子5,beita 是正则参数
 
式子5
         相应的p,q矩阵各个元素的更新也换成了如下方式
 
式子6
        至此,P,Q矩阵元素求出来了之后,计算某个用户i对某个物品j的评分计算就是p(i,1)*q(1,j)+p(i,2)*q(2,j)+....+p(i,k)*q(k,j)。
 
二,C++代码实现
       第一部分已经给出了,基于矩阵分解的推荐算法的整个流程,下面是该算法编程实现(C/C++),代码加一些注释有助于理解
  1 /** 
  2 
  3 评分矩阵R如下 
  4 
  5    D1 D2 D3 D4 
  6 
  7 U1 5  3  -  1 
  8 
  9 U2 4  -  -  1 
 10 
 11 U3 1  1  -  5 
 12 
 13 U4 1  -  -  4 
 14 
 15 U5 -  1  5  4 
 16 
 17 ***/ 
 18 
 19 #include<iostream> 
 20 
 21 #include<cstdio> 
 22 
 23 #include<cstdlib> 
 24 
 25 #include<cmath> 
 26 
 27 using namespace std; 
 28 
 29  
 30 
 31 void matrix_factorization(double *R,double *P,double *Q,int N,int M,int K,int steps=5000,float alpha=0.0002,float beta=0.02) 
 32 
 33 { 
 34 
 35  for(int step =0;step<steps;++step) 
 36 
 37  { 
 38 
 39   for(int i=0;i<N;++i) 
 40 
 41   { 
 42 
 43    for(int j=0;j<M;++j) 
 44 
 45    { 
 46 
 47     if(R[i*M+j]>0) 
 48 
 49     { 
 50 
 51      //这里面的error 就是公式6里面的e(i,j) 
 52 
 53      double error = R[i*M+j]; 
 54 
 55      for(int k=0;k<K;++k) 
 56 
 57       error -= P[i*K+k]*Q[k*M+j]; 
 58 
 59  
 60 
 61      //更新公式6 
 62 
 63      for(int k=0;k<K;++k) 
 64 
 65      { 
 66 
 67       P[i*K+k] += alpha * (2 * error * Q[k*M+j] - beta * P[i*K+k]); 
 68 
 69       Q[k*M+j] += alpha * (2 * error * P[i*K+k] - beta * Q[k*M+j]); 
 70 
 71      } 
 72 
 73      } 
 74 
 75     } 
 76 
 77    } 
 78 
 79   double loss=0; 
 80 
 81   //计算每一次迭代后的,loss大小,也就是原来R矩阵里面每一个非缺失值跟预测值的平方损失 
 82 
 83   for(int i=0;i<N;++i) 
 84 
 85   { 
 86 
 87    for(int j=0;j<M;++j) 
 88 
 89    { 
 90 
 91     if(R[i*M+j]>0) 
 92 
 93     { 
 94 
 95      double error = 0; 
 96 
 97      for(int k=0;k<K;++k) 
 98 
 99       error += P[i*K+k]*Q[k*M+j]; 
100 
101      loss += pow(R[i*M+j]-error,2); 
102 
103      for(int k=0;k<K;++k) 
104 
105       loss += (beta/2) * (pow(P[i*K+k],2) + pow(Q[k*M+j],2)); 
106 
107     } 
108 
109    } 
110 
111   } 
112 
113   if(loss<0.001) 
114 
115    break; 
116 
117   if (step%1000==0) 
118 
119     cout<<"loss:"<<loss<<endl; 
120 
121  } 
122 
123 } 
124 
125  
126 
127 int main(int argc,char ** argv) 
128 
129 { 
130 
131  int N=5; //用户数 
132 
133  int M=4; //物品数 
134 
135  int K=2; //主题个数 
136 
137  double *R=new double[N*M]; 
138 
139  double *P=new double[N*K]; 
140 
141  double *Q=new double[M*K]; 
142 
143  R[0]=5,R[1]=3,R[2]=0,R[3]=1,R[4]=4,R[5]=0,R[6]=0,R[7]=1,R[8]=1,R[9]=1; 
144 
145  R[10]=0,R[11]=5,R[12]=1,R[13]=0,R[14]=0,R[15]=4,R[16]=0,R[17]=1,R[18]=5,R[19]=4; 
146 
147  
148 
149  cout<< "R矩阵" << endl; 
150 
151  for(int i=0;i<N;++i) 
152 
153  { 
154 
155   for(int j=0;j<M;++j) 
156 
157    cout<< R[i*M+j]<<','; 
158 
159   cout<<endl; 
160 
161  } 
162 
163  
164 
165  //初始化P,Q矩阵,这里简化了,通常也可以对服从正态分布的数据进行随机数生成 
166 
167  srand(1); 
168 
169  for(int i=0;i<N;++i) 
170 
171   for(int j=0;j<K;++j) 
172 
173    P[i*K+j]=rand()%9; 
174 
175  
176 
177  for(int i=0;i<K;++i) 
178 
179   for(int j=0;j<M;++j) 
180 
181    Q[i*M+j]=rand()%9; 
182 
183  cout <<"矩阵分解 开始" << endl; 
184 
185  matrix_factorization(R,P,Q,N,M,K); 
186 
187  cout <<"矩阵分解 结束" << endl; 
188 
189  
190 
191  cout<< "重构出来的R矩阵" << endl; 
192 
193  for(int i=0;i<N;++i) 
194 
195  { 
196 
197   for(int j=0;j<M;++j) 
198 
199   { 
200 
201    double temp=0; 
202 
203    for (int k=0;k<K;++k) 
204 
205     temp+=P[i*K+k]*Q[k*M+j]; 
206 
207    cout<<temp<<','; 
208 
209   } 
210 
211   cout<<endl; 
212 
213  } 
214 
215  free(P),free(Q),free(R); 
216 
217  return 0; 
218 
219 } 

 

   执行的结果如下图所示,

 
三,展望
       前两个部分,已经简单的介绍了最基本的基于矩阵分解的推荐算法,基于该算法的一些变种,类似svd++,pmf等,都是针对某一些特定的数据场景进行的一些改进,那有没有统一的框架来整合这些场景呢??前两年在KDDcup大赛,大出风头的Factorization Machine(FM),其中FM的核心理论在于用Factorization来刻画feature跟feature之间的关系,如下面公式
 
       <Vi,Vj>正是刻画了xi,xj的关系,上面式子可以理解为FM=SVM+Factorization Methods,后续准备开一篇博文,来阐释FM模型,跟其作者开源的LibFM工具箱,最后贴一张八卦的图,图中讲的是bickson(graphlab/graphchi的里面推荐工具包的作者),在一次会议上,对steffen(libfm的作者)问的一个问题
 
四,后续计划
   1),介绍FM模型
   2),LibFM源码剖析
 
参考资料
   1),bickson.blogspot.com/2012/08/steffen-rendle-libfm.html
   2),S. Rendle.Factorization machines.In Proceedings of the 10th IEEE International Conference on Data Mining. IEEE Computer Society,  2010.
posted @ 2014-04-08 13:51 kobeshow 阅读(...) 评论(...) 编辑 收藏