OpenCV相机标定

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相机标定是图像处理的基础，虽然相机使用的是小孔成像模型，但是由于小孔的透光非常有限，所以需要使用透镜聚焦足够多的光线。在使用的过程中，需要知道相机的焦距、成像中心以及倾斜因子（matlab的模型有考虑，实际中这个因子很小，也可以不考虑）。为了增加光照使用了透镜，而使用透镜的代价是会产生畸变，现在市面上买到的相机，都存在着或多或少的畸变。畸变的种类比较多，这里介绍常见的两种：径向畸变、切向畸变。相机标定就是求解相机的内参数以及畸变参数的过程。

畸变种类

（1）径向畸变（参考自《学习opencv》412页）
摄像头的透镜在传感器的边缘产生显著的畸变，如下图所示。对于径向畸变，光学中心的畸变为-，随着向边缘移动，畸变会越来越严重。由于畸变比较小，所以可以用泰勒级数的低阶项来近似。

（2）切向畸变。
另外一种需要考虑的相机畸变是切向畸变，切向畸变的主要原因是透镜本身和图像平面不平行，如下左图所示。切向畸变导致的结果是在成像平面上所成的像为下右图所示。

相机的标定

相机的标定主要有两种：传统的摄像头标定方法和摄像头自标定方法，典型的有：（1）Tsai（传统的标定方法）；（2）张正友（介于传统和自标定之间）。张正友标定方法由于简单、效果好而得到广泛使用。这里只介绍张正友标定方法。

• 张正友标定法的标定步骤
  1、打印一张模板并贴在一个平面上；
  2、从不同角度拍摄若干张模板图像；
  3、检测出图像中的特征点；
  4、求出摄像机的外参数（单应性矩阵）和内参数（最大似然估计） ；
  5、求出畸变系数；
  6、优化求精。

• 理论基础
  现在来介绍张正友标定方法中的理论知识，以飨读者。张正友标定方法的主要思想是、
  1、相机内参矩阵

\[q=MQ \]

其中，$$
q=\left[
\begin{array}{c}
u \
v \
w
\end{array}
\right] ,\quad
M=
\left[
\begin{array}{ccc}
f_x & s & c_x \
0 & f_y & c_y \
0 & 0 & 1
\end{array}
\right],\quad
Q=\left[
\begin{array}{c}
X \
Y \
Z
\end{array}
\right]

\[ $q$的坐标系是默认的OpenCV的像素坐标系，$Q$的坐标系是标定板坐标系，Z轴为0，原点在标定板的某个内角点上（标定板上角点的坐标均为[\*,\*,0]的形式），在Open CV 3.0中使用的是（$[i*Squres\_Size，j*Square\_Size，0]$的形式）。其中$f_x$和$f_y$表示相机$x$轴和$y$轴的焦距，$s$表示成像平面$x$轴和$y$轴的不正交性（OpenCV模型中把该项置为0，Matlab考虑了该项）。 2、基础公式 对于不同位置的棋盘格到相机的成像，可以使用下面的公式进行表示： $$s\tilde{m}=A[R|t]\tilde{M}\]

其中，\([R|t]\)表示棋盘格坐标系相对于相机坐标系的位姿。把矩阵\(R\)和\(\tilde{M}\)写开，如下式所示：

\[\tilde{m}= \left[ \begin{array}{c} u \\ v \\ 1 \end{array} \right]，\quad \tilde{M}= \left[ \begin{array}{c} X \\ Y \\ 0 \\ 1 \end{array} \right]，\quad R=[r_1\quad r_2\quad r_3]，\quad \tilde{M}= \left[ \begin{array}{c} X \\ Y \\ 0 \\ 1 \end{array} \right] \]

进行化简得到：

\[s \left[ \begin{array}{c} u \\ v \\ 1 \end{array} \right]=A[r_1\quad r_2\quad t] \left[ \begin{array}{c} X \\ Y \\ 1 \end{array} \right] \]

其中\([u\quad v\quad 1]\)是已知量，\([X\quad Y\quad 1]\)也是已知量，\(A\)和\([r_1\quad r_2 \quad t]\)是未知量。
其中\(H=A[r_1\quad r_2\quad t]\)又叫做单应性矩阵，可以使用下面的\(3\)中所述的方法求解。
3、单应矩阵求解：
这里使用的方法基于最大似然准则：假设提取的\(m\)存在均值为0，噪声协方差矩阵为的高斯白噪声。
则优化目标为

\[\sum_{i}(m_i-\hat{m}_i)^T\Lambda_{m_i}^{-1}(m_i - \hat{m}_i) \]

其中$$m_i= \frac{1}{\overline{h}_3^TM_i}
\left[
\begin{array}{c}
\overline{h}_1^TM_i\
\overline{h}_2^TM_i
\end{array}
\right]$$，其中\(\overline{h}_i\)是矩阵\(H\)的第\(i\)列，并且假设\(\Lambda_{m_i}=\sigma^2 I\)（\(m_i\)、\(M_i\)已知）
求解上面的非线性优化问题可以使用LM算法。
（1）初始值求解
令\(x=[\overline{h}_1，\overline{h}_2，\overline{h}_3]\)，则\(s\tilde{m}=H\tilde{M}\)可以重写为

\[\left[ \begin{array}{ccc} \tilde{M}^T & 0^T & -u\tilde{M}^T \\ 0^T & \tilde{M}^T & -v\tilde{M}^T \end{array} \right]x=0 \]

对于\(n\)个点，对应\(n\)个方程，\(Lx=0\)，其中\(x\)是\(1\times 9\)的，\(L\)是\(2n\times 9\)的。\(x\)的解对应于\(L\)的最小奇异值的右奇异向量。
Q：为什么用svd求了，还需要用最大似然方法来优化？svd求的\(H\)是有误差的，需要用优化来精确求解。
4、求解相机内参
（1）利用约束条件求解内参矩阵A
在公式中，由于\(r_1\)和\(r_2\)是单位向量且是正交的，所以存在下面的关系：

\[h_1^TA^{-T}A^{-1}h_2=0\\ h_1^TA^{-T}A^{-1}h_1=h_2^TA^{-T}A^{-1}h_2\]

上面的公式写成方程组的形式如下所示：

\[\left[ \begin{array}{c} v_{12}^T \\ (v_{11}-v_{22})^T \end{array} \right] b=0 \]

上面的等式是一个最小二乘问题，可以使用SVD求解.由于A有5个参数：\(\alpha，\beta，u_0，v_0，\gamma\)，一个单应性矩阵对应两个约束，所以求解A需要3个单应性矩阵，也就是最小需要3幅图像（超定方程）。当然，
也可以使用两个单应性矩阵，此时需要令\(\gamma=0\)。算出了b之后，可以用下面的公式求\(A\)。

\[v_0=(B_{12}B_{13}-B_{11}B_{23})/(B_{11}B_{22}-B_{12}^2)\\ \lambda=B_{33}-[B_{13}^2+v_0(B_{12}B_{13}-B_{11}B_{23})]/B_{11} \\ \alpha = \sqrt{\lambda/B_{11}}\\ \beta=\sqrt{\lambda B_{11}/(B_{11}B_{12}-B_{12}^2)} \\ \gamma= -B_{12}\alpha^2 \beta / \lambda \\ u_0 =\gamma v_0 / \beta - B_{13}\alpha^2 / \lambda \]

5、求解相机外参
在上面求解了相机的内参之后，可以求出棋盘格的位姿，公式如下：

\[r_1 = \lambda A^{-1}h_1 \\ r_2 = \lambda A^{-1}h_2 \\ r_3 = r_1 \times h_2 t = \lambda A^{-1} h_3 \]

在OpenCV中，上面的公式是用来求解优化参数的初始值的，最终的结果是使用优化的方法得到的。
由于存在误差，还是需要迭代求解以提高精度（问题描述如下）：
给定棋盘格的\(n\)个图像和\(m\)个角点，并假设图像点被独立同分布的噪声影响。
似然函数如下所示：

\[\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}=\Vert m_{ij}-m(A,R_i, t_i, M_j)\Vert^2 \]

其中旋转矩阵\(R\)用向量\(r\)表示（罗巨格公式）
6、相机的畸变参数求解
上面的讨论中一直没有引入相机畸变的问题，这里引入相机的畸变。
记\((u,v)\)为理想的像素坐标，\((\breve{u},\breve{v})\)为实际观测得到的像素坐标（受到畸变）。同样的，有归一化的相机坐标系\((x，y)\)和\((\breve{x},\breve{y})\)
对于径向畸变（这是张正友上的模型，泰勒展开）：

\[\breve{x}=x+x[K_1(x^2+y^2)+k_2(x^2+y^2)^2]\\ \breve{y}=y+y[K_1(x^2+y^2)+k_2(x^2+y^2)^2] \]

用像素坐标表示则为：

\[\breve{u}=u+(u-u_0)[K_1(x^2+y^2)+k_2(x^2+y^2)^2]\\ \breve{v}=v+(v-v_0)[K_1(x^2+y^2)+k_2(x^2+y^2)^2] \]

写成如下形式：

\[\left[ \begin{array}{cc} (u-u_0)(x^2+y^2) & (u-u_0)(x^2+y^2)^2\\ (v-v_0)(x^2+y^2) & (v-v_0)(x^2+y^2) \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} k_1 \\ k_2 \end{array} \right]= \left[ \begin{array}{c} \breve{u}-u \\ \breve{v}-v \end{array} \right] \]

给定\(n\)个图像中的\(m\)个点，可以得到\(2mn\)个方程，记为\(Dk=d\)。
则\(k=(D^TD)^{-1}D^Td\)。
最小二乘方法求解：

\[\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}\Vert m_{ij}-\breve{m} (A,k_1,k_2,R_i,t_i,M_j)\Vert^2 \]

如果求解了畸变参数\(k_1\)和\(k_2\)，则可以求解出没有畸变的坐标，从而使用上面的方法求解位姿和内参。
畸变参数\(k_1\)和\(k_2\)初始化可以简单的设为0，也可以使用后续的估计方法。
OpenCV的模型（《学习OpenCV》，这是Brown和Fryer的工作）还包括了切向畸变，并且镜像畸变有三项。因此，opencv中一共有五个参数\([k_1,k_2,p1,p2,k_3]\)。

OpenCV的标定步骤

1、初始化参数求解；
a、求解单应性矩阵；
b、根据理论的第4步求解相机内参的初始值；
c、根据理论的第5步求解相机外参的初始值；
d、畸变参数设置为0。
2、迭代求解总体最小二乘问题，也就是上面6所示的最小二乘问题。

后面会接着介绍最小二乘中的数学相关知识。