转载说明：文章将一月二月转成13月14月去掉平闰年的影响这段推导(公式4，公式5)经验算是错误的，还是需要判断平闰年，举例2013-1-1应该是星期二，如果用公式5算出来是星期一，少算了一个闰年。参见：http://www.cnblogs.com/igaoshang/p/DayOfWeek.html
历史上的某一天是星期几？未来的某一天是星期几？关于这个问题，有很多计算公式，其中最著名的是蔡勒 (Zeller)公式，即
W=[C/4]-2C+Y+[Y/4]+[13×(M+1)/5]+D-1，
或者是
W=Y+[Y/4]+[C/4]-2C+[26×(M+1)/10]+D-1
公式都是基于 公历 的置闰规则来考虑。 公式中的符号含义如下：
• W：星期
• C：世纪数减一 (年份前两位数)
• Y：年(年份后两位数)
• M：月(M的取值范围为3至14，即在蔡勒公式中，某年的1、2月要看作上一年的13、14月来计算，比如2003 年1月1日要看作 2002 年的13月1日来计算)
• D ：日
• []：称作高斯符号，代表取整，即只要整数部份
• mod：同余这里代表括号里的答案除以7后的余数
算出来的除以7，余数是几就是星期几。如果余数是0，则为星期日。
不过，以上的公式都只适合于1582年(我国明朝万历十年)10 月15日之后的情形。罗马教皇格里高利十三世在1582年组织了一批天文学家，根据哥白尼日心说计算出来的数据，对儒略历作了修改。将1582年10月5 日到14日之间的10天宣布撤销，即10月4日之后为10月15日。若要计算的日期是在1582年10月4日或之前，其公式为
W=Y+[Y/4]+[C/4]-2C+[13×(M+1)/5]+D+3.
以2049年10月1日(100周年国庆)为例，用蔡勒(Zeller)公式进行计算，过程如下：
W=Y+[Y/4]+[C/4]-2C+[26×(M+1)/10]+D-1
=49+[49/4]+[20/4]-2×20+[26×(10+1)/10]+1-1
=49+[12.25]+5-40+[28.6]
=49+12+5-40+28
=54
54除以7余5， 即2049年10月1日（100周年国庆）是星期5。
过程的推导：(对推理不感兴趣的可略过不看)
星期制度是一种有古老传统的制度。据说因为《圣经·创世纪》中规定上帝用了六天时间创世纪，第七天休息，所以人们也就以七天为一个周期来安 排自己的工作和生活，而星期日是休息日。从实际的角度来讲，以七天为一个周期，长短也比较合适。所以尽管中国的传统工作周期是十天（比如王勃《滕王阁序》 中说的“十旬休暇”，即是指官员的工作每十日为一个周期，第十日休假），但后来也采取了西方的星期制度。
在日常生活中，我们常常遇到要知道某一天是星期几的问题。有时候，我们还想知道历史上某一天是星期几。通常，解决这个方法的有效办法是看日历，但是我们总 不会随时随身带着日历，更不可能随时随身带着几千年的万年历。假如是想在计算机编程中计算某一天是星期几，预先把一本万年历存进去就更不现实了。这时候是 不是有办法通过什么公式，从年月日推出这一天是星期几呢？
答案是肯定的。其实我们也常常在这样做。我们先举一个简单的例子。比如，知道了2004年5月1日是星期六，那么2004年5月31日“世界无烟日”是星 期几就不难推算出来。我们可以掰着指头从1日数到31日，同时数星期，最后可以数出5月31日是星期一。其实运用数学计算，可以不用掰指头。我们知道星期 是七天一轮回的，所以5月1日是星期六，七天之后的5月8日也是星期六。在日期上，8-1=7，正是7的倍数。同样，5月15日、5月22日和5月29日 也是星期六，它们的日期和5月1日的差值分别是14、21和28，也都是7的倍数。那么5月31日呢？31-1=30，虽然不是7的倍数，但是31除以 7，余数为2，这就是说，5月31日的星期，是在5月1日的星期之后两天。星期六之后两天正是星期一。
这个简单的计算告诉我们计算星期的一个基本思路：首先，先要知道在想算的日子之前的一个确定的日子是星期几，拿这一天做为推算的标准，也就是相当于一个计 算的“原点”。其次，知道想算的日子和这个确定的日子之间相差多少天，用7除这个日期的差值，余数就表示想算的日子的星期在确定的日子的星期之后多少天。 如果余数是0，就表示这两天的星期相同。显然，如果把这个作为“原点”的日子选为星期日，那么余数正好就等于星期几，这样计算就更方便了。
但是直接计算两天之间的天数，还是不免繁琐。比如1982年7月29日和2004年5月1日之间相隔7947天，就不是一下子能算出来的。它包括三段时 间：一，1982年7月29日以后这一年的剩余天数；二，1983-2003这二十一个整年的全部天数；三，从2004年元旦到5月1日经过的天数。第二 段比较好算，它等于21×365+5=7670 天，之所以要加5，是因为这段时间内有5个闰年。第一段和第三段就比较麻烦了，比如第三段，需要把5月之前的四个月的天数累加起来，再加上日期值，即 31+29+31+30+1=122天。同理，第一段需要把7月之后的五个月的天数累加起来，再加上7月剩下的天数，一共是155天。所以总共的相隔天数 是122+7670+155=7947天。
仔细想想，如果把“原点”日子的日期选为12月31日，那么第一段时间也就是一个整年，这样一来，第一段时间和第二段时间就可以合并计算，整年的总数正好相当于两个日子的年份差值减一。如果进一步把“原点”日子选为公元前1年12月31日(或者天文学家所使用的公元0年12月31日)， 这个整年的总数就正好是想算的日子的年份减一。这样简化之后，就只须计算两段时间：一，这么多整年的总天数；二，想算的日子是这一年的第几天。巧的是，按 照公历的年月设置，这样反推回去，公元前1年12月31日正好是星期日，也就是说，这样算出来的总天数除以7的余数正好是星期几。那么现在的问题就只有一 个：这么多整年里面有多少闰年。这就需要了解公历的置闰规则了。
我们知道，公历的平年是365天，闰年是366天。置闰的方法是能被4整除的年份在2月加一天，但能被100整除的不闰，能被400整除的又闰。因此，像
1600、2000、2400年都是闰年，而1700、1800、1900、2100年都是平年。公元前1年，按公历也是闰年。因此，对于从公元前1年
（或公元0年）12月31日到某一日子的年份Y之间的所有整年
中的闰年数，就等于
[(Y-1)/4]-[(Y-1)/100]+[(Y-1)/400]，
[⋯]表示只取整数部分。第一项表示需要加上被4整除的年份数，第二项表示需要去掉被100整除的年份数，第三项表示需要再加上被400整除的年份数。之所以Y要减一，这样，我们就得到了第一个计算某一天是星期几的公式：
W=365×(Y-1)+[(Y-1)/4]-[(Y-1)/100]+[(Y-1)/400]+D． (1)
其中D是这个日子在这一年中的累积天数。算出来的W就是公元前1年（或公元0年）12月31日到这一天之间的间隔日数。把W用7除，余数是几，这一天就是星期几。比如我们来算2004年5月1日：
W=365×(2004-1)+[(2004-1)/4]-[(2004-1)/100]+[(2004-1)/400]+(31+29+31+1)=731702，
731702 除以7余数为六，说明这一天是星期六。这和事实是符合的。
上面的公式(1)虽然很准确，但是计算出来的数字太大了，使用起来很不方便。仔细想想，其实这个间隔天数W的用数仅仅是为了得到它除以7之后的余数。这启发我们是不是可以简化这个W值，只要找一个和它余数相同的较小的数来代替，用数论上的术语来说，就是找一个和它同余的较小的正整数，照样可以计算出准确的星期数。
显然，W这么大的原因是因为公式中的第一项365×(Y-1)太大了。其实，
365×(Y-1)=(364+1)×(Y-1)
=(7×52+1)×(Y-1)
=52×(Y-1)×7+(Y-1)
这个结果的第一项是一个7的倍数，除以7余数为0，因此365×(Y-1)除以7的余数其实就等于Y-1除以7的余数。这个关系可以表示为：
(Y-1)×365≡Y-1)(mod7)．
其中，≡是数论中表示同余的符号，mod7的意思是指在用7作模数（也就是除数）的情况下≡号两边的数是同余的。因此，完全可以用(Y-1)代替365×(Y-1)，这样我们就得到了一个著名的、也是最常见到的计算星期几的公式：
W=(Y-1)+[(Y-1)/4]-[(Y-1)/100]+[(Y-1)/400]+D． (2)
这个公式虽然好用多了，但还不是最好用的公式，因为累积天数D的计算也比较麻烦。是不是可以用月份数和日期直接计算呢？答案也是肯定的。我们不妨来观察一下各个月的日数，列表如下：
|
月 份 |
1 月 |
2 月 |
3 月 |
4 月 |
5 月 |
6 月 |
7 月 |
8 月 |
9 月 |
10 月 |
11 月 |
12 月 |
|
天 数 |
31 |
28(29) |
31 |
30 |
31 |
30 |
31 |
31 |
30 |
31 |
30 |
31 |
如果把这个天数都减去28（=4×7），不影响W除以7的余数值。这样我们就得到另一张表：
|
月 份 |
1 月 |
2 月 |
3 月 |
4 月 |
5 月 |
6 月 |
7 月 |
8 月 |
9 月 |
10 月 |
11 月 |
12 月 |
|
剩余天数 |
3 |
0(1) |
3 |
2 |
3 |
2 |
3 |
3 |
2 |
3 |
2 |
3 |
|
平年积累 |
3 |
3 |
6 |
8 |
11 |
13 |
16 |
19 |
21 |
24 |
26 |
29 |
|
闰年积累 |
3 |
4 |
7 |
9 |
12 |
14 |
17 |
20 |
22 |
25 |
27 |
30 |
仔细观察的话，我们会发现除去1月和2月，3 月到7月这五个月的剩余天数值是3,2,3,2,3；8月到12月这五个月的天数值也是3,2,3,2,3，正好是一个重复。相应的累积天数中，后一月的 累积天数和前一月的累积天数之差减去28就是这个重复。正是因为这种规律的存在，平年和闰年的累积天数可以用数学公式很方便地表达：
d={D(当M=1),31+D(当M=2),[(13×(M+1)/5)]-7+28×(M-1)+D+i(当M≥3), (3)
其中[…]仍表示只取整数部分；M和D分别是想算的日子的月份和日数；平年i=0，闰年i=1。对于M≥3的表达式需要说明一下：[13×\Div(M+1)5]-7算出来的就是上面第二个表中的平年累积值，再加上28×(M-1)就是想算的日子的月份之前的所有月份的总天数。这是一个很巧妙的办法，利用取整运算来实现3,2,3,2,3的循环。比如，对2004年5月1日，有：
d=[13×(5+1)/5]-7+28×(5-1)+1+1=122，
这正是5月1日在2004年的累积天数。
假如，我们再变通一下，把1月和2月当成是上一年的“13月”和“14月”，不仅仍然符合这个公式，而且因为这样一来，闰日成了上一“年”（一共有14个月）的最后一天，成了d的一部分，于是平闰年的影响也去掉了，公式就简化成：
d=[13×(M+1)/5]-7+28×(M-1)+D ． (3≤M≤14) (4)
上面计算星期几的公式，也就可以进一步简化成：
W=Y-1+[(Y-1)/4]-[(Y-1)/100]+[(Y-1)/400]+[13×(M+1)/5]-7+28×(M-1)+D．
因为其中的-7和28×(M-1)两项都可以被7整除，所以去掉这两项，W除以7的余数不变，公式变成：
W=Y-1+[(Y-1)/4]-[(Y-1)/100]+[(Y-1)/400]+[13×(M+1)/5]+D． (5)
当然，要注意1月和2月已经被当成了上一年的13月和14月，因此在计算1月和2月的日子的星期时，除了M要按13或14算，年份Y也要减一。比如，2004年1月1日是星期四，用这个公式来算，有：
W=2003-1+[(2003-1)/4]-[(2003-1)/100]+[(2003-1)/400]+[13×(13+1)/5]+1
=2002+500-20+5+36+1
=2524；
\Div25247=360⋯⋯4．这和实际是一致的。
公式(5)已经是从年、月、日来算星期几的公式了，但它还不是最简练的，对于年份的处理还有改进的方法。我们先来用这个公式算出每个世纪第一年3月1日的星期，列表如下：
|
年 份 |
1 (401,801,...,2001) |
101(501,901,...,2101) |
201(601,1001,...,2201) |
301(701,1101,...,2301) |
|
星 期 |
4 |
2 |
0 |
5 |
可以看出，每隔四个世纪，这个星期就重复一次。 假如我们把301(701,1101,…,2301) 年3月1日的星期数看成是-2（按数论中对余数的定义，-2和5除以7的余数相同，所以可以做这样的变换），那么这个重复序列正好就是一个4,2,0,- 2的等差数列。据此，我们可以得到下面的计算每个世纪第一年3月1日的星期的公式：
W=2×(4-Cmod4)-4． (6)
式中，C是该世纪的世纪数减一，mod表示取模运算，即求余数。比如，对于2001年3月1日，C=20，则：
W=2×(4-20mod4)-4
=8-4
=4 ．
把公式(6)代入公式(5)，经过变换，可得：
Y-1+[(Y-1)/4]-[(Y-1)/100]+[(Y-1)/400]≡2×(4-Cmod4)-1(mod7)． (7)
因此，公式(5)中的Y-1+[(Y-1)/4]-[(Y-1)/100]+[(Y-1)/400]这四项，在计算每个世纪第一年的日期的星期时，可以用2×(4-Cmod4)-1来代替。这个公式写出来就是：
W=2×(4-Cmod4)-1+[13×(M+1)/5]+D (8)
有了计算每个世纪第一年的日期星期的公式，计算这个世纪其他各年的日期星期的公式就很容易得到了。因为在一个世纪里，末尾为00的年份是最后一年， 因此就用不着再考虑“一百年不闰，四百年又闰”的规则，只须考虑“四年一闰”的规则。仿照由公式(1)简化为公式(2)的方法，我们很容易就可以从式 (8)得到一个比公式(5)更简单的计算任意一天是星期几的公式：
W=2×(4-Cmod4)-1+Y-1+[Y/4]+[13×(M+1)/5]+D． (9)
式中，y是年份的后两位数字。
如果再考虑到取模运算不是四则运算，我们还可以把2×(4-Cmod4)进一步改写成只含四则运算的表达式。因为世纪数减一C除以4的商数q和余数r之间有如下关系：
4q+r=C，
其中r即是Cmod4，因此，有：
r=C-4q
=C-4×[C/4] ． (10)
则
2×(4-Cmod4)=2×(4-C+4×[C/4])
=8-2C+8×[C/4]
≡[C/4]-2C+1(mod7)． (11)
把式(11)代入(9)，得到：
W=[C/4]-2C+Y+[Y/4]+[13×(M+1)/5]+D-1． (12)
这个公式由世纪数减一、年份末两位、月份和日数即可算出W，再除以7，得到的余数是几就表示这一天是星期几，唯一需要变通的是要把1月和2月当成上一年的13月和14月，C和y都 按上一年的年份取值。因此，人们普遍认为这是计算任意一天是星期几的最好的公式。这个公式最早是由德国数学家克里斯蒂安·蔡勒（Christian Zeller, 1822-1899）在1886年推导出的，因此通称为蔡勒公式（Zeller’s Formula）。为方便口算，式中的[13×(M+1)/5]也往往写成[26×(M+1)/10]。
现在仍然让我们来算2004年5月1日的星期，显然C=20，y=4，M=5，d=1，代入蔡勒公式，有：
W=[20/4]-40+4-1+[13×(5+1)/5]+1-1=-15．
注意负数不能按习惯的余数的概念求余数，只能按数论中的余数的定义求余。为了方便计算，我们可以给它加上一个7的整数倍，使它变为一个正数，比如加上70，得到55。再除以7，余6，说明这一天是星期六。这和实际是一致的，也和公式(2)计算所得的结果一致。
最后需要说明的是，上面的公式都是基于公历（格里高利历）的置闰规则来考虑的。对于儒略历，蔡勒也推出了相应的公式是：
W=5-C+Y+[Y/4]+[13×(M+1)/5]+D-1． (13)
这样，我们终于一劳永逸地解决了不查日历计算任何一天是星期几的问题。
