4-EM算法原理及利用EM求解GMM参数过程

1.极大似然估计

　　原理：假设在一个罐子中放着许多白球和黑球，并假定已经知道两种球的数目之比为1:3但是不知道那种颜色的球多。如果用放回抽样方法从罐中取5个球，观察结果为：黑、白、黑、黑、黑，估计取到黑球的概率为p;

　　假设p=1/4,则出现题目描述观察结果的概率为：(1/4)⁴*(3/4) = 3/1024

　　假设p=3/4,则出现题目描述观察结果的概率为：(3/4)⁴*(1/4) = 81/1024

　　由于81/1024 > 3/1024,因此任务p=3/4比1/4更能出现上述观察结果，所以p取3/4更为合理

　　以上便为极大似然估计的原理

　　定义如下图：（图片来自浙江大学概率论课程课件）

2.知晓了极大似然估计的原理之后，我们可以利用极大似然估计的原理来解决如下问题：

　　即，若给定一圈样本x_1,x₂.....x_{n,已知他们服从高斯分布N(μ,σ),要求估计参数均值μ,标准差σ}

　　(1) 高斯分布的概率密度为：

　　(2) 利用上述极大似然估计的原理，构建似然函数为：

　　(3) 为例求解方便我们取对数似然：

　　(4) 我们的目标是求上述l(x)的最大值，对上式，分别关于μ，σ求二阶导数，很容易证明2次倒数均小于0 ，所以上述函数关于μ,和σ均为凹函数，极大值点满足一阶导数等于0，故通过对μ,和σ求偏导并且倒数为0 我们即可得到如下等式：

3.EM算法原理推导

　　3.1 EM算法与极大似然估计的区别于联系（直接饮用李航-统计学习方法中的内容）

　　　　概率模型有时即含有观测变量，又含有隐变量或潜在变量，如果概率模型的变量都是观测变量，那么给定数据，可以直接用极大似然估计法，或者贝叶斯估计法估计模型参数。但是当模型含有隐量时，就不能简单的用这些估计方法，EM算法就是含有隐变量的概率模型参数的极大似然估计法

　　　　什么是隐变量？

　　　　举例：比如现要在一所学校中随机选取1000个人测量身高，最终我们会得到一个包含1000个身高数据的数据集，此数据集就称为观测变量，那这1000个学生中，既有男生又有女生，我们在选取完成以后并不知道男生和女生的比例是多少？此时这1000名学生中男生的占比以及女生的占比就称为隐变量

　　3.2 有了上述简单的认识之后，下边解决EM算法的推导过程

　　　　在对EM算法原理进行推导之前，先用一个实例理解一下下文中θ所表示的意义：

　　　　假设现有样本集T= {x₁,x₂ .....x_m}，包含m个独立样本，其中每个样本对应的类别z（这里的类别z就可以类比3.1中的男生女生两种性别去理解）是未知的，所以很难直接用极大似然法去求解。

　　　　以x₁为例：x₁发生的概率可以表示为:,θ表示的就是我们要估计的参数的一个总称后续证明过程中的Q(z)也是θ中的一个参数。举例，如果每一个类别z均符合高斯分布，那么θ中还会包含均值μ和标准差σ，如果对θ的理解不是不到

　　　　整个数据集T的似然函数可以表示为：

　　　　为了便于计算我们取对数似然得：

　　　　对上上述函数log中有求和运算，求解困难，故我们可以对其形式进行转化，转化为易于我们求解的方式如下式：表示第i个样本第j个类别的概率，则表示的期望

　　　　log函数是一个凹函数，故利用jenson不等式的原理可以得出期望的函数值大于等于函数值的期望，故表达如下：

　　　　在上述不等式的等号成立时和是等价的，也就是说后式的最大值即为前式的最大值。当log函数的图像是一条直线时等号成立，故为常数时，等号成立。　　

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　　　　E-step:即就是上述的

　　　　M-step:在E-step的基础上求使得上述函数值的期望取得最大值的参数θ的取值

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　　　　对上述E-step和M-step不断进行迭代，知道我们估计的模型参数收敛（即变化趋近于一个定值）我们即可得到最适合观测数据集的模型参数，者便是EM算法

4.利用EM原理推导GMM（混合高斯模型）

　　随机变量X是有K个高斯分布混合而成，取各个高斯分布的概率为φ1，φ2...φK，第i个高斯分布的均值为μi，方差为Σi。若观测到随机变量X的一系列样本x1,x2...xn，试估计参数φ，μ，Σ。

　　第一步：依据3中E-step估计φ用w_j⁽ⁱ⁾ 表示，意义是对第i个样本第j个高斯分布的贡献率（即第j个高斯分布的占比）

　　第二步：依据3中的M-step估计μ，和σ 用表示σ²

　　　　对上述关于μ求偏导得：

　　　　对（2）式为0 可得：

　　　　同理对方差求偏导，并令导入为0 可得：

　　　　对于φ_j由于，故对于φ_j必须采用添加极值的方式求解，需构建拉个朗日方程进行求解。

　　　　观察（1）式，log函数中可以看成是一个常数与φj相乘。由对数函数求导法则指，在求导之后，常数项终被抵消，如f(x) = lnax 关于x求导结果与g(x)=lnx关于x求导结果相同，故对于（1）式在构建拉个朗日函数时，直接去掉log函数中的常数项，如下：

　　　　由于φ_j为正在log函数中已有现值，故这里无需构建不等式约束

　　　　对朗格朗日函数关于φ_j求导并取倒数为0 可得：

5.用实例理解GMM的参数估计过程

　　5.1 在正式引入GMM（混合高斯模型）前我们以下述情景的求解为例，用实例看先熟悉以下参数更新的过程

　　　　情景：假设从商场随机选取10位顾客，测量这10位顾客的身高，这些顾客中既包含男性顾客也包含女性顾客，现在我们已知测量数据，T=[x₁,x₂ .....x₁₀]为我们测试的身高数据，即为可观测数据集。并且知道男性女性顾客的身高均服从高斯分布N(μ₁,σ₁),N(μ₂,σ₂),估计参数μ₁,σ₁，μ₂,σ₂_，以及男女比例 α₁，α₂；