一、 实验题目

设有n位选手参加网球循环赛，循环赛共进行n-1天，每位选手要与其他n-1位选手比赛一场，且每位选手每天必须比赛一场，不能轮空。试按此要求为比赛安排日程。

二、实验目的

1．深刻理解并掌握“分治算法”的设计思想；

2．提高应用“分治算法”设计技能；

3．理解这样一个观点：用递归方法编写的问题解决程序具有结构清晰，可读性强等优点，且递归算法的设计比非递归算法的设计往往要容易一些，所以当问题本身是递归定义的，或者问题所涉及到的数据结构是递归定义的，或者是问题的解决方法是递归形式的时候，往往采用递归算法来解决。

三、实验要求

1．实现《网球循环赛》问题的分治算法，并进行算法时间复杂性分析。

2．对实现的分治算法进行改进；

3．对上述改进后算法进行时间复杂性分析，通过实验结果分析对比，得出自己的结论和总结。

 

四、实验过程

1、算法一：

#include<stdio.h>

#define N 64

void GameTable(int k,int a[][N])

{

//n=2^k(k>=1)个选手参加比赛，二维数组a表示日程安排，数组下标从1开始

int n=2;//k=0,两个选手比赛日程可直接求得

//求解两个选手比赛日程，得到左上角元素

a[1][1]=1;a[1][2]=2;

a[2][1]=2;a[2][2]=1;

int i,j,t;

for(t=1;t<k;t++)//迭代处理，依次处理2^2,....,2^k个选手比赛日程

{

     int temp=n;n=n*2;

     //填左下角元素

    for(i=temp+1;i<=n;i++)

         for(j=1;j<=temp;j++)

             a[i][j]=a[i-temp][j]+temp;//左下角元素和左上角元素的对应关系

         //将左下角元素抄到右上角

         for(i=1;i<=temp;i++)

             for(j=temp+1;j<=n;j++)

                 a[i][j]=a[i+temp][(j+temp)%n];

             //将左上角元素抄到右下角

             for(i=temp+1;i<=n;i++)

                 for(j=temp+1;j<=n;j++)

                     a[i][j]=a[i-temp][j-temp];

                

                

}

for(i=1;i<=n;i++)//显示日程表

     for(j=1;j<=n;j++)

     {

         printf("- ",a[i][j]);

         if(j==n)

             printf("n");

     }

}

void main()

{

int a[N][N];

int k;

printf("输入选手的个数：(注意为2的平方)");

scanf("%d",&k);

GameTable(k,a);

}

2、结果验证

当两个选手，即k=1时

 

当4个选手时，即k=2

 

当8个选手，即k=3

 

当16个选手时，即k=16

 

时间复杂度分析：

迭代处理的循环体内部3个循环语句，每个循环语句都是一个嵌套的for循环，且它们的执行次数相同，基本语句是最内层循环体的赋值语句，即填写比赛日程表的元素。基本执行语句的执行次数是：

T(n)=

所以时间复杂度为O(4k)

 

改进的算法：

#include<iostream>   

using namespace std;   

  

const int SIZE = 50;   

int a[SIZE][SIZE];   

  

void copy(int n);   

void tournament(int n);     

int odd(int n);  //判断奇偶性 

void makecopy(int n);  //makecopy 与copy算法类似，但是区分了n/2为奇数或偶数的情形 

void copyodd(int n);  // 实现n/2为奇数时的复制   

  

void  main()   

{   

  

    int n;   

    int i,j;   

    cin >> n;   

    tournament(n);   

    if(odd(n))   // n为奇数和偶数输出情况不同，要分别考虑    

    {   

        for(i = 1; i<=n; i++)   

        {   

            for(j = 1; j<=n+1; j++)   

                if(a[i][j] == n+1)   

                    cout << "0  ";   

                else  

                    cout << a[i][j] << "  " ;   

            cout << endl;   

        }   

    }   

    else  

    {   

        for(i = 1; i<=n; i++)   

        {   

            for(j = 1; j<=n; j++)   

                cout << a[i][j] << "  " ;   

            cout << endl;   

        }   

  

    }      

}   

  

void copy(int n)       

{   

    int m = n/2;   

    for(int i = 1; i<=m; i++)   

        for(int j = 1; j<=m; j++)   

        {   

            a[i][j+m] = a[i][j] + m;   

            a[i+m][j] = a[i][j+m];   

            a[i+m][j+m] = a[i][j];   

        }   

}   

  

void tournament(int n)   

{   

    if(n == 1)   

    {   

        a[1][1] = 1;   

        return;    

    }   

    if(odd(n))   

    {   

        tournament(n+1);   

        return;   

    }   

    tournament(n/2);   

    makecopy(n);   

}   

  

int  odd(int n)   

{   

if(n%2==1)

    return 1;  

else return 0;

}   

  

void makecopy(int n)  //makecopy 与copy算法类似，但是要区分n/2为奇数或偶数的情形   

{   

    if(n/2 > 1 && odd(n/2))    

        copyodd(n);   

    else  

        copy(n);   

}   

  

void copyodd(int n)        // 实现n/2为奇数时的复制   

{   

    int b[SIZE];   

    int m = n/2;   

    for(int i = 1; i<=m; i++)   

    {   

        b[i] = m+i;   

        b[m+i] = b[i];   

    }   

    for(i = 1; i<=m; i++)             

    {   

        for(int j=1; j<=m+1; j++)   

        {   

            if(a[i][j] > m)   

            {   

                a[i][j] = b[i];    

                a[m+i][j] = (b[i] + m)%n;   

            }   

            else  

                a[m+i][j] = a[i][j] + m;   

        }   

        for(j = 2; j<=m; j++)   

        {   

            a[i][m+j] = b[i+j-1];    

            a[b[i+j-1]][m+j] = i;   

        }   

    }   

} 

结果验证：

当参赛人数为偶数 8时

 

当参赛人数为奇数  7时

 

时间复杂度：O(4k)

 

下面是一个N=8的计算过程，可以帮助理解

 问题描述：

 

     设有n=2^k个运动员要进行网球循环赛。现要设计一个满足以下要求的比赛日程表：

        (1)每个选手必须与其他n-1个选手各赛一次；
     (2)每个选手一天只能参赛一次；
     (3)循环赛在n-1天内结束。

     请按此要求将比赛日程表设计成有n行和n-1列的一个表。在表中的第i行，第j列处填入第i个选手在第j天所遇到的选手。其中1≤i≤n，1≤j≤n-1。8个选手的比赛日程表如下图：

 

 

     算法思路：按分治策略，我们可以将所有的选手分为两半，则n个选手的比赛日程表可以通过n/2个选手的比赛日程表来决定。递归地用这种一分为二的策略对选手进行划分，直到只剩下两个选手时，比赛日程表的制定就变得很简单。这时只要让这两个选手进行比赛就可以了。如上图，所列出的正方形表是8个选手的比赛日程表。其中左上角与左下角的两小块分别为选手1至选手4和选手5至选手8前3天的比赛日程。据此，将左上角小块中的所有数字按其相对位置抄到右下角，又将左下角小块中的所有数字按其相对位置抄到右上角，这样我们就分别安排好了选手1至选手4和选手5至选手8在后4天的比赛日程。依此思想容易将这个比赛日程表推广到具有任意多个选手的情形。

 

    算法步骤：

 

 

 

     (1)用一个for循环输出日程表的第一行 for(int i=1;i<=N;i++) a[1][i] = i

 

 

 

 

     (2)然后定义一个m值，m初始化为1，m用来控制每一次填充表格时i（i表示行）和j（j表示列）的起始填充位置。

 

     (3)用一个for循环将问题分成几部分，对于k=3，n=8，将问题分成3大部分，第一部分为，根据已经填充的第一行，填写第二行，第二部分为，根据已经填充好的第一部分，填写第三四行，第三部分为，根据已经填充好的前四行，填写最后四行。for (ints=1;s<=k;s++)  N/=2; 

 

     (4)用一个for循环对③中提到的每一部分进行划分for(intt=1;t<=N;t++)对于第一部分，将其划分为四个小的单元，即对第二行进行如下划分

 

 

 

 

 

 

     同理，对第二部分（即三四行），划分为两部分，第三部分同理。

     (5)最后，根据以上for循环对整体的划分和分治法的思想，进行每一个单元格的填充。填充原则是：对角线填充

 

 

     for(int i=m+1;i<=2*m;i++) //i控制行      

 

          for(int j=m+1;j<=2*m;j++)  //j控制列       

 

          { 

 

              a[i][j+(t-1)*m*2]= a[i-m][j+(t-1)*m*2-m];/*右下角的值等于左上角的值 */ 

 

              a[i][j+(t-1)*m*2-m] =a[i-m][j+(t-1)*m*2];/*左下角的值等于右上角的值 */

         }  

     运行过程：

 

    (1)由初始化的第一行填充第二行

 

     

 

     (2)由s控制的第一部分填完。然后是s++，进行第二部分的填充

 

    

 

     (3)最后是第三部分的填充

 

     

 

     程序清单：

 

 

 

[cpp] view plaincopy
 
  1. //2d11 分治法，循环赛事日程表  
  2. #include "stdafx.h"  
  3. #include <iostream>      
  4. #include <math.h>  
  5. using namespace std;   
  6.   
  7. void Table(int k,int n,int **a);  
  8. void input(int &k);  
  9. void output(int **a,int n);  
  10.   
  11. int main()  
  12. {  
  13.     int k;  
  14.     input(k);  
  15.   
  16.     int n=1;  
  17.     //n=2k(k>=1)个选手参加比赛  
  18.     for(int i=1; i<=k; i++)  
  19.         n *= 2;  
  20.   
  21.     //根据n动态分配二维数组a  
  22.     int **a = new int *[n+1];  
  23.     for(int i=0;i<=n;i++)  
  24.     {  
  25.         a[i] = new int[n+1];  
  26.     }  
  27.   
  28.   
  29.     Table(k,n,a);  
  30.   
  31.     cout<<"循环赛事日程表为："<<endl;  
  32.     output(a,n);  
  33.   
  34.     //释放空间  
  35.     for(int i=0;i<=n;i++)  
  36.     {  
  37.         delete[] a[i];  
  38.     }  
  39.     delete[] a;  
  40.   
  41.     return 0;  
  42. }  
  43.   
  44. void input(int &k)  
  45. {  
  46.     cout<<"请输入k值："<<endl;  
  47.     cin>>k;  
  48. }  
  49.   
  50. void output(int **a,int n)  
  51. {  
  52.     for(int i=1; i<=n; i++)  
  53.     {  
  54.         for(int j=1; j<=n; j++)  
  55.         {  
  56.             cout<<a[i][j]<<" ";  
  57.         }  
  58.         cout<<endl;  
  59.     }  
  60. }  
  61.   
  62. void Table(int k,int n,int **a)  
  63. {  
  64.     for(int i=1; i<=n; i++)  
  65.         a[1][i]=i;//设置日程表第一行  
  66.   
  67.     int m = 1;//每次填充时，起始填充位置  
  68.     for(int s=1; s<=k; s++)  
  69.     {  
  70.         n /= 2;  
  71.         for(int t=1; t<=n; t++)  
  72.         {  
  73.             for(int i=m+1; i<=2*m; i++)//控制行  
  74.             {  
  75.                 for(int j=m+1; j<=2*m; j++)//控制列  
  76.                 {  
  77.                     a[i][j+(t-1)*m*2] = a[i-m][j+(t-1)*m*2-m];//右下角等于左上角的值  
  78.                     a[i][j+(t-1)*m*2-m] = a[i-m][j+(t-1)*m*2];//左下角等于右上角的值  
  79.                 }  
  80.                   
  81.             }  
  82.         }  
  83.         m *= 2;  
  84.     }  
  85. }  

程序运行结果：