梯度下降法与牛顿法的解释与对比

1 梯度下降法

我们使用梯度下降法是为了求目标函数最小值f（X）对应的X，那么我们怎么求最小值点x呢？注意我们的X不一定是一维的，可以是多维的，是一个向量。我们先把f（x）进行泰勒展开：

 

这里的α是学习速率，是个标量，代表X变化的幅度；d表示的是单位步长，是一个矢量，有方向，单位长度为1，代表X变化的方向。什么意思呢？就是说我们这里求最值，不是一下子就找到最小值对应的X，而是一点点的迭代，逼近最小值对应的X，每一次迭代新的X即X’就是X+αd（下图蓝色点都可以是X’），（注意这里的αd是矢量，这里是矢量相加，有方向的问题。）如图（以二维为例）：

那么我们每一次迭代想要的X’要有什么要求呢？要求就是每次迭代新的X’使达到最小值，即在上面的所有的X’，那个红框的X’使f（X’）最小，我们就是找到那个X’,然后不断的迭代，（如果你觉得每次迭代的X幅度小，就调整那个学习速率α，幅度大，就调小）我们就找到趋近于f（X）最小的X。我们来看每次迭代中，怎么找到新的X’。

我们想找f(X+αd)的最小值，我们认为o（α）（即二次导数及以上的项）为无穷小，忽略不计。（这个决定也是梯度下降法与牛顿法的区别，下面说原因   ）那么问题就变成了，我们要最小，

α是一个系数，是两个向量的内积，也就是|g|*|d|*cosθ，如图：

那么也就是梯度向量与d的向量夹角为180°的时候，取最小值：-|g|*|d|。梯度向量与d的向量夹角为180°.即如图：

所以我们的αd可取值为-αg，因此X’=X-αg.

接下来继续重复上述步骤迭代。直到收敛。

 

2 牛顿法

上面的最速下降法只用到了梯度信息，即目标函数的一阶导数信息，而牛顿法则用到了二阶导数信息。我们先把f（x）进行泰勒展开：

其中的g的每一维度是f（X）分别对X的每一维求一阶偏导数（所以g是一个向量），G是f（X）的每一维度分别对变量X的每一维求二阶导数（因此G是一个矩阵，叫hessian矩阵，如图（右））。这次跟上面那个公式只是形式稍微变了一下，内容都是一样的。这里的Xk表示原来的X点，X表示新的X点（就是上面的X’）。在这里我们令d=X-Xk，即每次迭代在单位向量d上进行X的变化（没有α这个幅度了，d的模也不一定是1，这里不是人为制定的步长多少，而是计算中该是多少就多少）。即我们找到了d，我们就知道了新的X，如图（左）：

                      

每一次迭代中，我们依然要通过最小化每一次的f（X）找到每一次想要的红框的X。

这一次，我们通过对f（X）求导=0，那么得到的X就是每一次迭代想要的红框的X。即：

  因为我们已知X=Xk-d，所以，那么新的X就得到了。然后继续迭代，直到收敛。

 

 

 

 

 

 

 

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