树与二叉树

 树是一类重要的非线性数据结构，是以分支关系定义的层次结构

定义：树(tree)是n(n>=0)个结点的有限集T，其中：

      n=0时为空树

      n>0时，有且仅有一个特定的结点，称为树的根(root)

      当n>1时，其余结点可分为m(m>0)个互不相交的有限集T1,T2,……Tm，

      其中每一个集合本身又是一棵树，称为根的子树(subtree)

特点：
      非空树中至少有一个结点——根

      树中各子树是互不相交的集合

基本概念：

结点(node)——表示树中的元素，包括数据项及若干指向其子树的分支

结点的度(degree)——结点拥有的子树数
叶子(leaf)——度为0的结点
孩子(child)——结点子树的根称为该结点的孩子
双亲(parents)——孩子结点的上层结点叫该结点的~
兄弟(sibling)——同一双亲的孩子
树的度——一棵树中最大的结点度数
结点的层次(level)——从根结点算起，根为第一层，它的孩子为第二层……
深度(depth)——树中结点的最大层次数
森林(forest)——m(m>=0)棵互不相交的树的集合

二叉树

定义：二叉树是n(n>=0)个结点的有限集，它或为空树(n=0)，或由一个根结点和两棵分别称为

     左子树和右子树的互不相交的树构成
特点：
     每个结点至多有二棵子树(即不存在度大于2的结点)
     二叉树的子树有左、右之分，且其次序不能任意颠倒

性质：1.在二叉树的第i层至多有 2i-1 个结点（i>=1）

      2.深度为k的二叉树至多有 2k－1 个结点(k>=1)

      3.对任何一棵二叉树T，如果其终端结点数为n0，度为2的结点数为n2，则n0=n2+1
     证明：n1为二叉树T中度为1的结点数
           因为：二叉树中所有结点的度均小于或等于2
           所以：其结点总数n=n0+n1+n2
           又二叉树中，除根结点外，其余结点都只有一个分支进入
           设B为分支总数，则n=B+1
           又：分支由度为1和度为2的结点射出，即 B=n1+2n2
           于是，n=B+1=n1+2n2+1=n0+n1+n2
         即：n0=n2+1

满二叉树

定义：一个深度为k，且有2k－1个结点的二叉树

完全二叉树

定义：深度为k，有n个结点的二叉树当且仅当其每一个结点都

      与深度为k的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应

特点：
      叶子结点只可能在层次最大的两层上出现
     对任一结点，若其右分支下子孙的最大层次为i，则其左分支下子孙的最大层次必为i或i+1

性质：4.具有k个结点的完全二叉树，深度为(log2k）向下取整再加一

性质：5.如果对一棵有n个结点的完全二叉树的结点按层序编号，则对任一结点i(1<=i<=n)，有：
  (1)  如果i=1，则结点i是二叉树的根，无双亲；如果i>1，则其双亲是i/2
  (2)  如果2i>n，则结点i无左孩子；如果2i<=n，则其左孩子是2i
  (3)  如果2i+1>n，则结点i无右孩子；如果2i+1<=n，则其右孩子是2i+1

二叉树的遍历
方法
先序遍历：先访问根结点,然后分别先序遍历左子树、右子树
中序遍历：先中序遍历左子树，然后访问根结点，最后中序遍历右子树
后序遍历：先后序遍历左、右子树，然后访问根结点
按层次遍历：从上到下、从左到右访问各结点

参考代码：

void printq(Tree *T) 
{
    if(T!=NULL){
        printf("%c",T->c);
        printq(T->l);
        printq(T->r);
    }
}

void printz(Tree *T)  
{
    if(T!=NULL){
        printz(T->l);
        printf("%c",T->c);
        printz(T->r);
    }
}

void printh(Tree *T)  
{
    if(T!=NULL){
        printh(T->l);
        printh(T->r);
        printf("%c",T->c);
    }
}

void ccbl(Tree *T)   
{
    q.push(T);
    while(!q.empty()){
        T=q.front();
        q.pop();
        printf("%c",T->c);
        if(T->l!=NULL)
            q.push(T->l);
        if(T->r!=NULL)
            q.push(T->r);
    }
}