2017清北学堂（提高组精英班）集训笔记——字符串算法
啊~我的速度真的是太慢了，学校又要提前开学！！还有两个月就要比赛了，垂死挣扎一下吧~
继续更新笔记（眼含泪水）
一、Trie树：
1.定义：通过字符串建成一棵树，这棵树的节点个数一定是最少的。例如：4个字符串"ab","abc","bd","dda"对应的trie树如下：
其中红色节点表示存在一个字符串是以这个点结尾的。
一个性质：在树上，两个点u,v满足u是v的祖先，那么u代表的字符串一定是v代表的字符串的前缀。
2.Trie树的插入：可以从根节点出发，每次沿着要走的字符串往下走，若没有则建立新节点。
假如所有字符串的长度之和为n，构建这棵trie树的时间复杂度为O(n)。
1 int root=1; 2 int cnt=1; 3 int p[i][j];//表示从i这个节点沿着j这个字符走，能走到哪个点，走不到就是0 4 char s[];//存储字符串 5 for(int i=1;i<=n;i++) 6 { 7 scanf("%s",s); 8 int len=strlen(s); 9 int now=root;//now表示走到的当前节点，now的初始值为根节点 10 for(int j=0;j<len;j++) 11 { 12 if(p[now][s[j]]>0){ 13 now=p[now][s[j]];//如果能沿着j节点往下走，直接往下走 14 } 15 else{ 16 pow[now][s[j]]=++cnt; 17 now=p[now][s[j]]; 18 } 19 } 20 v[now]++;//记录now这个节点被访问的次数 21 }
3.Trie树的查询：可以看出trie树中每个节点表示其中一个字符串的前缀，在做题过程中往往通过这个性质来得到较好的时间复杂度。
4.一个例题：给定n个互不相同的串，求存在多少对数(i,j)（共n2对）满足第i个串是第j个串的前缀。
所有串的长度之和≤500000。
解题：根据性质，“在树上，两个点u,v满足u是v的祖先，那么u代表的字符串一定是v代表的字符串的前缀”。
我们要满足一个串是另一个串的前缀，也就是说，在trie树上，这个串对应的位置是另一个串对应的位置的祖先。
构建这棵trie树，然后我们枚举每个红色点，它对答案的贡献是以它为根的子树中红色节点的个数之和。这个东西可以在一开始遍历这棵树预处理出来！
时间复杂度是线性的。
1 void dfs(int x) 2 { 3 if(v[x]) sum[x]++; 4 for(char i='a';i<='z';i++) 5 { 6 if(p[x][i])//从当前x沿着i这个字符走还能往下走 7 { 8 dfs(p[x][i]);//往下走 9 sum[x]+=sum[p[x][i]];//累加贡献sum 10 } 11 } 12 } 13 dfs(1);//从根节点开始
5.USACO的某题（这题真的乱）：给定n个串，重排字符之间的大小关系，问哪些串有可能成为字典序最小的串。
所有字符串的长度之和<=100000。
例如，有一个字符串，里面只有'a'~'z'这些字符，默认地，'a'是最小的，'z'是最大的。但是我们可以重新定义字符间的大小关系，比如这样：b<c<d<y<x<z，从而我们对于一些字符串，就按照我们新定义的大小关系来比较字典序大小。
举个栗子：
三个字符串"aab","aba","baa"，总共只出现了两个字符'a'和'b'，所以字符间的大小关系要么是a<b要么是a>b，假设a<b，则第一个串"aab"就是字典序最小的串；假设b<a，则第三个串"baa"就是字典序最小的串，但是对于第二个串，无论我们怎么定义字符间的大小关系，都不可能成为三个字符串中字典序最小的。
解题：首先对这n个串构建trie树，之后对每个串，从根走向它，这个路程中遇到的所有兄弟在字典序下都比它大。
对于每个串，从前往后，直接确定这个字符的大小关系，判断是否是字典序最小。
以下两个串都是有可能成为字典序最小的串的：
abcd…xyza
abcd…xyzb
所以有：u是v的前缀，则v一定不是字典序最小的串。
现在问题来了：对于每个串，在什么条件下，是字典序最小的？？
来个栗子：有一些字符串（"aabc"，"aac"，"aad"，"ac"，"adb"，"aabb"），构造trie树如下：
对于"aabc"这个串，往下遍历：
从深度为2的那一层，我们可以得到：a<c,a<d；
从深度为3的那一层，我们可以得到：b<c,b<d；
从深度为4的那一层，我们还可以得到：c<b。
综上所述：我们得到了一堆的关系：a<c,a<d；b<c,b<d；c<b，容易看出，这些关系是存在矛盾的，所以无解->"aabc"是不可能成为字典序最小的串。
所以要想有解，这一堆的关系必须满足两个条件：①不存在矛盾②不存在环
总的来说，就是判断这一堆的关系是否存在拓扑序！
最多有26×26个大小关系，而最多有100000个字符串，所以时间复杂度最大为：O(26×26×100000)。
二、KMP算法（“看mao片算法”~咳咳）：
给定两个字符串A,B，判断T是否为S的子串（变式：寻找子串B在串A中的位置）。
要求一个O(|A|+|B|)的做法。
通常称A为目标串（或主串），B为模式串。
算法过程：
我们假设串A的长度为n，串B的长度为m，每个字符串的开头下标默认为1。
定义两个变量i和j，这两个变量共同表示：A[i-j+1~i]与B[1~j]均匹配，即：A中以第i个字符结尾的、长度为j的字符串，和B从头开始长度为j的字符串完全匹配。
继续往下匹配：如果i+1和j+1不匹配。
现在，就是用到了KMP算法的核心：它对这一情况的处理方式是减少j，就相当于将子串向右平移。
平移的目的是为了让“A[i-j+1~i]与B[1~j]均匹配”这个条件重新满足。
在上图中，j一直减小到了0，因为向右平移的过程中，始终不能让这个条件满足（最右边"?"部分已经越界）
但有时候，将j减少一点点之后，是可以重新满足条件的，例如：
那么我们将j从7减小到4时，有：
这样就可以完全匹配啦！但是后面还有没有匹配的机会我们就不管了，至少我们已经保证A[4~7]和B[1~4]完全匹配上了。
现在考虑一个问题：我们每次把j减小1（一位一位地平移B字符串），这样太慢了，我们在这里预处理一个next[]数组，表示当j匹配不下去的时候，我们可以把j减少到next[j]，继续尝试匹配。
预处理过程：让j自己和自己匹配一下，一旦匹配发现B[k-m+1~k] 和 B[1~m] 匹配，则说明在A与B匹配过程中，j等于k匹配不下去时，j可以尝试减小到m。
过程如下：
/**************************************///靓丽的分界线
一些代码：
1 /*核心内容*/ 2 for(int i=1,j=0;i<=n;i++) 3 { 4 while(j&&B[j+1]!= A[i]) j=next[j]; 5 if(B[j+1]==A[i]) j++; 6 if(j==m) 7 { 8 printf("%d\n", i-j+1);//输出找到的"B字串在 A中位置" 9 //如果要求的是出现次数，这里也有可能是ans++什么的 10 j=next[j];//让循环进行下去 11 } 12 }
1 for(int i=2,j=0;i<=m;i++)/*预处理next[]数组*/ 2 { 3 while(j&&B[j+1]!=B[i]) j=next[j]; 4 if(B[j+1]==B[i]) j++; 5 next[i]=j; 6 }
经典例题：Blue jeans（POJ 3080）
给定m个串，求字典序最小的公共子串。找一个串，使得这个串是所有串的子串，并且字典序最小。
m≤10，每个串的长度≤60.
解题思路：一个串，如果是所有串的子串，那么肯定是第一个串的子串。
枚举所有子串，复杂度为60*60。
验证其它串是否包含这个子串，复杂度为10*60。
每次更新答案即可。
时间复杂度为：O(603×10)
经典例题：Seek the Name,Seek the Fame（POJ 2752）
给定一个字符串S，求所有既是S的前缀又是S的后缀的子串，从小到大输出这些串的长度。
|S|<=500000。
N为字符串S的长度。
解题思路：
回到KMP算法，我们令P[j]表示找最大的数x，使得B中位置是1~x的字符与j-x+1~j的字符完全相同，也就是上面讲的KMP算法中的next[]。
考虑P[|S|]的意义，也就是最大的前缀等于后缀的长度（不包括其本身）。
那P[P[|S|]]就是次大的。
因此所有P[P[…P[|S|]]]就是答案了，一直这样递归下去就可以找到答案。
或者用Hash来做，这样更容易想到也比较方便，但效率没有KMP高。
三、AC自动机：
有n个模式串，长度之和是|T|，有一个主串，长度是|S|，问哪些模式串是这个主串的子串（或者有多少个模式串在主串中出现过）？
解法一：直接跑n次KMP算法，时间复杂度：O(n×|S|)。
解法二：AC自动机，时间复杂度：O(|T|+|S|)，对于n个串，构建trie树，在trie树上做KMP。
在这里我来详解一下AC自动机啊~
首先我们定义一个指针，叫做“失配指针”或者“失败指针”，在KMP算法中，这个失配指针就是next[]数组，同样地在AC自动机中，在trie树上也定义一个失配指针与此类似但不完全相同。
失配指针：假设一个节点k的失配指针指向j，那么k、j满足性质：设根节点root到j的距离为n，则从k以上的第n个节点到k这个节点所组成的长度为n的单词，与根节点root到j所组成的单词完全相同。
如下图：
单词"she"中的'e'的失配指针指向的是单词"her"中的'e'，因为红框中的部分是完全一样的。
然后，问题来了，我们该怎样处理这个失配指针呢？其实我们可以用BFS就很方便地解决了。
处理过程：让和根节点直接相连的节点的失配指针指向根节点，对于其他节点（假设为a），设这个节点上的字母为ch，沿着a的父亲b的失配指针走，一直走到一个节点c，c的儿子中也有字母为ch的节点d，然后把a节点的失配指针指向c节点的儿子d（因为d的字母也为ch），如果一直走到了根节点都没找到，那就把失配指针指向根节点。
最开始，我们把根节点加入队列(根节点的失败指针显然指向自己)，这以后我们每处理一个点，就把它的所有儿子加入队列，直到搞完。
这样我们就得到了一棵带有失配指针的trie树了，接下来正式介绍AC自动机工作原理！
AC自动机原理：对于一棵trie树，我们用黄色表示一个单词（某个模式串）的末尾，也就是说从根节点走到一个黄色的点，就组成一个“单词”，如下图：
一开始，trie树中有一个指针t1指向根节点root，将这n个模式串合并为一个模式主串，模式主串中有一个指针t2指向这个模式主串的串头。
接下来进行类似KMP算法的操作：如果t2指向的字母，是trie树中，t1指向的节点的儿子，那么把t2+1，t1改为那个儿子的编号，否则t1顺这当前节点的失配指针往上找，直到t2是t1的一个儿子，或者t1指向根为止。
如果t1经过了一个黄色的点，那么以这个点结尾的单词就算出现过了（这个模式串已经在主串中出现了），或者如果t1所在的点可以沿着失配指针走到一个黄色的点，那么以那个黄色的点为结尾的单词就算出现过了（这个模式串已经在主串中出现了），记录答案即可。
代码。。。我比较懒而且弱，以后有机会再发吧！
经典例题：假装是字符串的题——正则表达式（ZHW YY出来的题）
给定一个字符串，判断其是否为合法的正则表达式。
一个正则表达式定义为：
①0是正则表达式，1也是正则表达式。
②P和Q都是正则表达式，则PQ也是正则表达式。
③P是正则表达式，则(P)是正则表达式
④P是正则表达式，则P*也是正则表达式
⑤P和Q都是正则表达式，则P|Q是正则表达式
举个栗子：
010101101*
(11|0*)*
以上都是都是正则表达式
|S|<=100
解题思路：令dp[i][j]表示第i个字符到第j个字符能否组成正则表达式，分5种情况进行转移就可以了。
四：对拍方法：
对拍：你给两个程序，和一个随机数据生成器，然后系统去用这个随机数据生成器的输出作为你这两个程序的输入，然后比较你这两个程序的输出，可以找到一组使这两个程序输出不一样的数据（如果存在的话），这样就可以提高正确率。
一般的对拍是：对于一个题，我们写一个暴力算法，管它什么时间空间效率呢？！然后写一个你对于这题的正确解法程序，拿这两个程序进行对拍。
对拍的实现过程：
首先，在本地新建一个文件夹。
然后，在里面放入std.exe、mkdt.exe、a.exe这三个exe程序（名字可以自己乱取）。
std.exe：你暴力写的一个做法或者你从网上找的一份AC代码生成的程序，反正结果肯定是对的。
a.exe：你的代码生成的程序，你不知道他对不对或者你知道他是WA的但是你不知道哪里WA了。
mkdt.exe：就是你的随机数据生成器，你可以用它去生成你认为的合法数据。
最后，在文件夹中新建一个txt记事本文档，在里面输入以下代码：
1 :loop 2 mkdt.exe 3 std.exe 4 a.exe 5 fc std.out a.out 6 if %errorlevel%==0 goto loop 7 pause
然后保存，把".txt"这个后缀名改为".bat"，双击运行即可！
五、随机算法：
①随机生成一棵树：
1 for(int i=2;i<=n;i++)/*随机生成一棵树*/ 2 { 3 cout<<rand()%(i-1)+1<<' '<<i<<endl; 4 }//深度为lgn
②随机生成一棵长毛的链：
1 /*随机生成一棵长毛的链：1~n/2*/ 2 for(int i=2;i<=n/2;i++) cout<<i-1<<' 'i<<endl; 3 for(int i=n/2+1;i<=n;i++) cout<<rand()%(i-1)+1<<' '<<endl;
③给你一张图，生成一张图：
1 /*给你一张图，生成一张图，10万个点，20万条边 */ 2 map<long long,int> mp; 3 for(int i=1;i<=200000;i++) 4 { 5 int A=rand()%n+1; 6 int B=rand()%n+1; 7 while(A==B||mp[1ll*A*100005+B]) 8 { 9 A=rand()%n+1; 10 B=rand()%n+1; 11 } 12 mp[1ll*A*10005+B]=1; 13 cout<<A<<' '<<B<<endl; 14 }
④随机生成一个连通图：
先生成一棵树，这棵树上的边是一定存在的，在随机其他的边。
最近发现一些网站盗用我的blog，这实在不能忍（™把关于我的名字什么的全部删去只保留文本啥意思。。）！！希望各位转载引用时请注明出处，谢谢配合噢~
