数理方程：二阶线性偏微分方程的分类和标准式

更新：9 APR 2016

========方法========

对于任意的二元二阶齐次线性偏微分方程，

\(a_{11}\dfrac{\partial^2u}{\partial x^2}+2a_{12}\dfrac{\partial^2 u}{\partial x\partial y}+a_{22}\dfrac{\partial^2 u}{\partial y^2}+b_1\dfrac{\partial u}{\partial x}+b_2\dfrac{\partial u}{\partial y}+cu=0\)

求特征方程、确定分类、化为标准型的方法为：

1.截：只关心其中的二阶部分

\(a_{11}\dfrac{\partial^2u}{\partial x^2}+2a_{12}\dfrac{\partial^2 u}{\partial x\partial y}+a_{22}\dfrac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0\)

2.换：将偏导数换成dx、dy

\(\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2} \rightarrow (dy)^2\)

\(\dfrac{\partial^2 u}{\partial y^2} \rightarrow (dx)^2\)

\(\dfrac{\partial^2 u}{\partial x\partial y} \rightarrow \color{red}{\textbf{–}}(dxdy)\) 注意负号！

\(a_{11}(dy)^2\color{red}{\textbf{–}}{\color{blue}2}a_{12}(dxdy)+a_{22}(dx)^2=0\)

此即特征方程。

3.分：特征方程中的系数\(a_{ij}\)可能是关于x、y的函数，即便如此仍视其为普通系数。这是一个二次方程，可以写出其\(\Delta\)

\(\Delta=a_{12}^2-a_{11}a_{22}\)

在方程的定义域内讨论其符号，

\(\Delta{\color{blue}<}0\) 椭圆形(elliptic)方程，如Laplace方程；

\(\Delta=0\) 抛物型(parabolic)方程，如一维热方程；

\(\Delta{\color{blue}>}0\) 双曲型(hyperbolic)方程，如一维波动方程。

此即方程的分类。此外有混合型。

4.反：解出dy与dx的关系式，注意用分解因式法可能比较简单。得到两个常微分方程（或一个）。

得到两个方程时，解出两个y与x的关系，注意这两个等式中分别有一个积分常数。将积分常数作为新的坐标（记作\(\xi, \eta\)），反写两等式，即用x、y表示这两个坐标。这时就进行了变量代换。

对于抛物型方程，得到一个常微分方程，解之，得到一个坐标；另一个坐标可以任意假设，如设作y。注意做偏微分时不能直接替换，需要用链式法则计算。

5.导：计算u关于x、y的一阶、二阶偏导数与混合偏导数，用\(\xi, \eta\)表示。

6.代：将上面的偏导数代入原方程，得到简化的以\(\xi, \eta\)为自变量的方程。此即方程的标准型。

7.解：按照标准解法解之，得到关于\(\xi, \eta\)的通解。代换回x,y利用边界条件解之。

 

========原理========

之所以写特征方程，是因为在这里希望将原方程

\(a_{11}\dfrac{\partial^2u}{\partial x^2}+2a_{12}\dfrac{\partial^2 u}{\partial x\partial y}+a_{22}\dfrac{\partial^2 u}{\partial y^2}+b_1\dfrac{\partial u}{\partial x}+b_2\dfrac{\partial u}{\partial y}+cu=0\)

化为

\(A_{11}\dfrac{\partial^2u}{\partial \xi^2}+2A_{12}\dfrac{\partial^2 u}{\partial \xi\partial \eta}+A_{22}\dfrac{\partial^2 u}{\partial \eta^2}+B_1\dfrac{\partial u}{\partial \xi}+B_2\dfrac{\partial u}{\partial \eta}+Cu=0\)

其中变量代换

\(\xi=\varphi(x,y)\)

\(\eta=\psi(x,y)\)