绝对均匀图生成算法

最近在研究图计算的性能，需要构造不同的测试数据对图算法进行压测，其中就涉及到均匀图的概念。

因为做的是理论测试，因此就需要一种理论上绝对均匀的图测试数据，接下来我们就讨论一下绝对均匀图的生成。

一、何为绝对均匀图？

为了方便讨论，我们只讨论无向图，而且图中的边是无权值的，且两点之间只能存在一条边，即边仅代表结点之间的关联。

从图论角度出发，我们都知道图都是由结点以及结点之间的关联边组成的。直观上理解，绝对均匀的图应该是图中的所有结点的度都完全相同，这样每个结点都是同构的，也就是说从任何一个结点进行观察，得到的都是同样的结果。

形式化的描述应该是这样，对于图 \(G=(V, E)\) ，其中\(V\)是结点集合，\(E\)是边集合，记 \(|V|\) 为结点数， \(|E|\) 为边数，图的平均度为 \(D\) ，由于每条边为图贡献两个度，于是存在以下关系：
\( D = \frac{2\cdot|E|}{|V|}（公式1） \)

因此，根据前面对均匀概念的理解，对于绝对均匀图，任何一个节点的度数都满足：
\( d_v = D = \frac{2\cdot|E|}{|V|}（公式2） \)

二、简单讨论一下

明确了绝对均匀图的概念后，接下来就是如何生成的问题。由于
\( |E| = \frac{d_v\cdot|V|}{2}（公式3） \)
我们只需要控制结点数 \(|V|\) 和每个结点的度数 \(d_v\) 这两个变量即可。因此我们的目标就是生成任意结点数，且结点度数任意的绝对均匀图。

我们知道，完全图其实就是一种绝对均匀图，其所有节点的度数为 \(|V| - 1\) ，这已经是图中结点可以达到的最高度数了。相应的，空图（只有点，没有边）也是绝对均匀图，即所有节点的度数都为 \(0\)，为最低度数。因此绝对均匀图的结点度数总是满足：
\( 0\le d_v\lt|V|（公式4） \)

通过观察上面的公式2，我们还可以得出如下结论：

1. 当结点数为奇数时，\(|V| = 2k - 1, k＝1,2...\) ， 由于 \(|E|\) 是整数，因此 \(d_v\) 必为偶数。
2. 当结点数为偶数时，\(|V| = 2k, k＝1,2...\) ， \(d_v\) 没有限制，因为总有 \(|E| ＝ d_v\cdot k\) 。

一言以蔽之，对于奇数点数的绝对均匀图，结点度数只能取 \([0, |V|)\) 之内的偶数。故而在图生成算法上需要对奇数点数图区分对待。

三、试一下递归？

那么如何构建绝对均匀图呢？首先比较容易想到的就是递归思想，递归的基本思路是：

1. 构建问题最简单的规模实例，即递归的初值，或称为终止条件。
2. 在最简单规模的实例基础上，通过增加问题规模，推测问题规模增大时，问题变化的规律。
3. 继而推导在问题规模为\(n\)的时，构造问题规模为\(n+1\)的递归条件。这也就意味着，问题规模增大时得到的结果，总是蕴含，甚至包含上一级规模问题的结果。

上面讨论过，对于绝对均匀图，有两个变量影响图的规模：结点数 \(|V|\) 和结点度数 \(d_v\) 。因此分析时，要假定其中有一个不变量才比较好思考。

1. 结点度数不变，增大结点数

由于奇数结点数的图的结点度数不可能为奇数，因此我们保持结点度数为偶数不变，保证结点数从奇数到偶数再到奇数时，可以连续地推导问题变化规律。

这里取\(d_v = 2（0度不具备参考性，可作为边界条件考虑）\)，令 \(|V| = 3, 4, 5, 6\)，可以得到如下图实例。

貌似按照环形图的思考方式，问题是可以递归的。每增加一个结点时，只需要选取一条边断开，然后连接到新的结点即可。

再考虑一下\(d_v = 4\)的情况，令 \(|V| = 5, 6\)，可以得到如下图实例。

这种情况下，好像使用上述的递归扩展方式就不太容易了。那另外一种情况呢？

2. 结点数不变，增大结点度数

这里取 \(|V| = 6\)，令 \(d_v = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\)，可以得到如下图实例。

可以看到，当度从\(3\)增长到\(4\)时，新规模问题的解并不包含上一级问题所有的解，而且每一级变化的规律并不稳定。

因此用上面的递归思想去分析绝对均匀图生成的问题可能并不方便，我们需要转换一下思路。

四、核心思想

回到第一节对绝对均匀图的概念描述：绝对均匀图的结点是同构的，满足各向同性。这就意味着我们可以从一个结点出发，去设法寻找它的关联节点，并且这种方式对任何一个结点都是相同的。

那么如何找到关联结点呢？考虑到绝对均匀图每个点都是同构的，因此绝对均匀图一定是中心对称的！假设这个虚拟的对称中心为\(O\)，在\(d_v = 1\)的情况下，关联结点一定是当前结点的中心对称结点。

那在\(d_v = 2\)的情况下呢？

或许会有人好奇，这个\(d_v = 2\)的图怎么不是环呢？其实对于同样结点数和度数的绝对均匀图，图的结构可能不止一种。

按照中心对称思想依此类推，可以得到其他度的绝对均匀图。

因此，关联结点的寻找思路如下：

1. 当\(d_v＝2k（k=0, 1, 2...）\) 时，关联结点为当前结点的中心对称结点两侧的各\(k\)个结点。
2. 当\(d_v = 2k + 1（k=0, 1, 2...）\) 时，关联结点为当前结点的中心对称结点加上中心对称结点两侧的各\(k\)个结点。

我们发现，前面讨论的不可行的递归方式主要是被环形图的思路干扰了。利用中心对称的关联结点寻找方式是也是可以递归的，不过使用循环实现可能更方便。

五、算法实现与测试

基于中心对称思想的绝对均匀图生成算法实现如下：

public boolean generate(int count, int degree) {

    // 基本参数校验
    if (!(count > 0 && degree >= 0 && degree < count)) {
        System.err.println("Invalid arguments !");
        return false;
    }

    // 检查奇数点图的度是否是偶数
    if (count % 2 == 1 && degree % 2 != 0) {
        System.err.println("Degree should be odd when vertices' count is even !");
        return false;
    }

    // 生成点
    System.out.println("Generating vertices:");
    for (int index = 0; index < count; index++) {
        System.out.println(index);
    }

    // 生成边
    System.out.println("Generating edges:");
    for (int index = 0; index < count; index++) {

        // 对面的点
        int opposite = (index + count / 2) % count;

        // 点偶数，度奇数，链接中心对称结点
        if (count % 2 == 0 && degree % 2 == 1) {
            System.out.println(index + " -> " + opposite);
        }

        // 链接中心对称结点两侧的点
        for (int i = (count + 1) % 2; i <= (degree - count % 2) / 2; i++) {
            final int previous = (opposite - i + count) % count;
            final int next = (opposite + i + count % 2) % count;

            System.out.println(index + " -> " + previous);
            System.out.println(index + " -> " + next);
        }
    }

    return true;
}

为了更直观的展示生成的绝对均匀图，可以借助vis.js库进行绘制。

具体实现方式可以访问github源码drawG，该项目实现了一个简单的图生成与绘制框架，可以方便定制和扩展图生成器和处理器。

最后，看一下使用该框架生成的绝对均匀图：