第五章 矩阵的对角化

5.1特征值与特征向量

如果n阶方阵A乘以n维向量v，等于常数a乘以这个向量v，则a为方阵A的特征值，v为方阵A的特征向量。

注：特征值特征向量只针对方阵而言，可以从其维度看出；特征向量一定是非零的。

1.特征多项式

即矩阵A的λ阵的行列式，称为矩阵A的特征多项式。当特征多项式为0时，λ的值就是方阵A的特征值。

2.特征值与特征向量的求法

第一步：计算A的特征多项式：f(λ)=|λE-A|

第二步：求出特征多项式的全部根，它们就是A的全部特征值；

第三步：对于每个特征值λ₀,求出相应的齐次线性方程组

（λ₀E-A)x=0

的一个基础解系：η_1，η₂，η₃，...,η_n,则A的属于特征值λ₀的全部特征向量就是k₁η₁+k₂η₂+k₃η₃+k_nηn

3.特征值特征向量的性质

-一个特征向量不能属于不同特征值;

-若λ是矩阵A的特征值，α是A的属于特征值λ的特征向量，则

kλ是kA的特征值；

λ^m是A^m的特征值；

当A可逆时，λ^-1是A^-1的特征值；

-n阶方阵A与其转置矩阵A^T有相同的特征值。

4.设方阵A的n个特征值为λ₁,λ₂,λ₃,...,λn,则

λ₁+λ₂+λ₃,...+λn=tr(A);//tr()为A的迹，记A的主对角线元素之和。

λ₁λ₂λ₃...λn=|A|

5.2相似矩阵

设A和B都是n阶方阵。如果存在一个可逆矩阵P，使得P^-1AP=B，则称A与B是相似的。

由于P是可逆矩阵，即可有各个初等矩阵乘积而来，因此A相当于进行了初等变换得到B，因此A与B也是等价的，即相似矩阵是等价的。

但是与等价不同的是，A的初等变换是左乘一个矩阵的逆，然后右乘这个矩阵，所以跟等价的变换不同，有一定的限制条件。

1.性质

-相似矩阵有相同的行列式。

|P^-1AP|=|P^-1||A||P|=|P^-1||P||A|=|P^-1P||A|=|A|=|B|

-相似矩阵或者都可逆，或者都不可逆，并且当它们可逆时，它们的逆矩阵也相似。

（P^-1AP）^-1=B^-1→P^-1A^-1P=B^-1

-若A~B，则A^k~B^k，其中k为非负整数。

-若A~B，f(A)~f(B).

2.定理

相似矩阵有相同的特征多项式和完全相同的特征值。

与单位矩阵相似的n阶方阵只有单位矩阵本身；与数量矩阵kE相似的n阶方阵也只有数量矩阵kE本身。

 

5.3 矩阵可对角化的条件

1.定理

-n阶方阵A相似与对角阵的充要条件是A有n个线性无关的特征向量。

-方阵A的属于不同特征值的特征向量线性无关；

-设λ₀是n阶方阵A的一个k重特征值，则A的属于特征值λ₀的特征向量中，极大线性无关组包含的向量个数不多于k个。即齐次线性方程组（λ₀E-A)x=0的

基础解系包含的向量个数最多有k个。

-n阶方阵A最多有n个线性无关的特征向量。

-若n阶方阵A有n个互不相同的特征值，则A可对角化。

 

5.4 实对称阵的对角化

实对称矩阵A的特征值都是实数。

n阶实对称矩阵有n个实特征值（重根按重数算）

设λ₀是实对称矩阵A的k重特征值，则A的属于特征值λ₀的特征向量中，极大线性无关组包含的向量个数恰为k.

实对称矩阵A的属于不同特征值的特征向量一定是正交的。注：正交不等于线性无关！！！但是正交一定线性无关。

对于任一一个n阶实对称矩阵A，一定存在n阶正交矩阵T，使得T^-1AT为对角矩阵。