【十大经典数据挖掘算法】AdaBoost

【十大经典数据挖掘算法】系列

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  4. Apriori
  5. EM
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  7. AdaBoost
  8. kNN
  9. Naïve Bayes
  10. CART

1. 集成学习

集成学习(ensemble learning)通过组合多个基分类器(base classifier)来完成学习任务,颇有点“三个臭皮匠顶个诸葛亮”的意味。基分类器一般采用的是弱可学习(weakly learnable)分类器,通过集成学习,组合成一个强可学习(strongly learnable)分类器。所谓弱可学习,是指学习的正确率仅略优于随机猜测的多项式学习算法;强可学习指正确率较高的多项式学习算法。集成学习的泛化能力一般比单一的基分类器要好,这是因为大部分基分类器都分类错误的概率远低于单一基分类器的。

偏差与方差

“偏差-方差分解”(bias variance decomposition)是用来解释机器学习算法的泛化能力的一种重要工具。对于同一个算法,在不同训练集上学得结果可能不同。对于训练集\(D = \lbrace (x_1,y_1),(x_2,y_2), \cdots ,(x_N,y_N) \rbrace\),由于噪音,样本\(x\)的真实类别为\(y_D\)(在训练集中的类别为\(y\)),则噪声为

\[ \xi^2 = \mathbb{E}_D[(y_d-y)^2] \]

学习算法的期望预测为

\[ \bar{f}(x) = \mathbb{E}_D[f(x;D)] \]

使用样本数相同的不同训练集所产生的方法

\[ var(x) = \mathbb{E}_D[ \left ( f(x;D) - \bar{f}(x) \right )^2] \]

期望输入与真实类别的差别称为bias,则

\[ bias^2(x) = \left( \bar{f}(x) - y \right)^2 \]

为便于讨论,假定噪声的期望为0,即\(\mathbb{E}_D[y_d-y] = 0\),通过多项式展开,可对算法的期望泛化误差进行分解(详细的推导参看[2]):

\[ \begin{aligned} \mathbb{E}_D[\left (f(x;D) - y_D \right)^2] & = \mathbb{E}_D[\left (f(x;D) - \bar{f}(x) + \bar{f}(x) - y_D \right)^2] \cr & = \mathbb{E}_D[\left (f(x;D) - \bar{f}(x) \right)^2] + \left(\bar{f}(x) -y \right)^2 + \mathbb{E}_D[(y_D -y)^2] \cr & = bias^2(x) + var(x) + \xi^2 \end{aligned} \]

也就是说,误差可以分解为3个部分:bias、variance、noise。bias度量了算法本身的拟合能力,刻画模型的准确性;variance度量了数据扰动所造成的影响,刻画模型的稳定性。为了取得较好的泛化能力,则需要充分拟合数据(bias小),并受数据扰动的影响小(variance小)。但是,bias与variance往往是不可兼得的:

  • 当训练不足时,拟合能力不够强,数据扰动不足以产生较大的影响,此时bias主导了泛化错误率;
  • 随着训练加深时,拟合能力随之加强,数据扰动渐渐被学习到,variance主导了泛化错误率。

Bagging与Boosting

集成学习需要解决两个问题:

  • 如何调整输入训练数据的概率分布及权值;
  • 如何训练与组合基分类器。

从上述问题的角度出发,集成学习分为两类流派:Bagging与Boosting。Bagging(Bootstrap Aggregating)对训练数据擦用自助采样(boostrap sampling),即有放回地采样数据;每一次的采样数据集训练出一个基分类器,经过\(M\)次采样得到\(M\)个基分类器,然后根据最大表决(majority vote)原则组合基分类器的分类结果。

Boosting的思路则是采用重赋权(re-weighting)法迭代地训练基分类器,即对每一轮的训练数据样本赋予一个权重,并且每一轮样本的权值分布依赖上一轮的分类结果;基分类器之间采用序列式的线性加权方式进行组合。

从“偏差-方差分解”的角度看,Bagging关注于降低variance,而Boosting则是降低bias;Boosting的基分类器是强相关的,并不能显著降低variance。Bagging与Boosting有分属于自己流派的两大杀器:Random Forests(RF)和Gradient Boosting Decision Tree(GBDT)。本文所要讲的AdaBoost属于Boosting流派。

2. AdaBoost算法

AdaBoost是由Freund与Schapire [1] 提出来解决二分类问题\(y \in \lbrace 0,1 \rbrace\),其定义损失函数为指数损失函数:

\begin{equation}
L(y, f(x)) = exp(-yf(x)) \label{eq:loss}
\end{equation}

根据加型模型(additive model),第\(m\)轮的分类函数

\[ f_m(x) = f_{m-1}(x) + \alpha_mG_m(x) \]

其中,\(\alpha_m\)为基分类器\(G_m(x)\)的组合系数。AdaBoost采用前向分布(forward stagewise)这种贪心算法最小化损失函数\eqref{eq:loss},求解子模型的\(\alpha_m\)

\[ \alpha_m = \frac{1}{2}\log \frac{1-e_m}{e_m} \]

其中,\(e_m\)\(G_m(x)\)的分类误差率。第\(m+1\)轮的训练数据集权值分布\(D_{m+1} = (w_{m+1,1}, \cdots, w_{m+1,i}, \cdots, w_{m+1,N})\)

\[ w_{m+1,i} = \frac{w_{m,i}}{Z_m} exp(-\alpha_m y_i G_m(x_i)) \]

其中,\(Z_m\)为规范化因子

\[ Z_m = \sum_{i=1}^{N} w_{m,i} * exp(-\alpha_m y_i G_m(x_i)) \]

则得到最终分类器

\[ sign(f(x)) = sign\left( \sum_{m=1}^{M} \alpha_m G_m(x) \right) \]

\(\alpha_m\)\(e_m\)的单调递减函数,特别地,当\(e_m \leq \frac{1}{2}\)时,\(\alpha_m \geq 0\);当\(e_m > \frac{1}{2}\)时,即基分类器不满足弱可学习的条件(比随机猜测好),则应该停止迭代。具体算法流程如下:

1 \(D_1(i) = 1/N\) % Initialize the weight distribution
2 for \(m = 1, \cdots, M\):
3   learn base classifier \(G_m(x)\);
4   if \(e_m > 0.5\) then break;
5  update \(\alpha_m\) and \(D_{m+1}\);
6 end for

在算法第4步,学习过程有可能停止,导致学习不充分而泛化能力较差。因此,可采用“重采样”(re-sampling)避免训练过程过早停止;即抛弃当前不满足条件的基分类器,基于重新采样的数据训练分类器,从而获得学习“重启动”机会。

AdaBoost能够自适应(addaptive)地调整样本的权值分布,将分错的样本的权重设高、分对的样本的权重设低;所以被称为“Adaptive Boosting”。sklearn的AdaBoostClassifier实现了AdaBoost,默认的基分类器是能fit()带权值样本的DecisionTreeClassifier。

老师木在微博上提出了关于AdaBoost的三个问题:

1,adaboost不易过拟合的神话。2,adaboost人脸检测器好用的本质原因,3,真的要求每个弱分类器准确率不低于50%

3. 参考资料

[1] Freund, Yoav, and Robert E. Schapire. "A Decision-Theoretic Generalization of On-Line Learning and an Application to Boosting." Journal of Computer and System Sciences 55.1 (1997): 119-139.
[2] 李航,《统计学习方法》.
[3] 周志华,《机器学习》.
[4] Pang-Ning Tan, Michael Steinbach, Vipin Kumar, Introduction to Data Mining.
[5] Ji Zhu, Classification.
[6] @龙星镖局,机器学习刀光剑影之 屠龙刀.
[7] 过拟合, 为什么说bagging是减少variance,而boosting是减少bias?

posted @ 2016-10-18 18:12 Treant 阅读(...) 评论(...) 编辑 收藏