【组合数学】 01 - 关于“摆放”的科学
【本系列目录】
博客总目录
在中学大家都学过《排列组合》，计算机系的在大学里还学过《离散数学》。不同于主流数学中的研究对象（连续变量），它们主要讨论离散对象之间的布局。这些问题随处可见，最多见于形形色色的智力趣题和数学游戏。它们涉及的数学知识比较初等，但需要很强的技巧和脑力，至今未解的世界难题也是俯拾皆是。精确概括这些问题的共同点也是比较困难的，解法本身也没有形成统一的理论体系，往往以各种松散的方法和技巧为主。
宽泛地讲，能算作离散对象的学科非常多，它甚至可以包括逻辑学、代数学和几何学，这些已经形成理论体系的大分支。所以把离散数学说成一个数学分支，是没有道理也没有意义的。大学课程中的《离散数学》只是一些学科的拼凑，是针对计算机系开设的一门应用数学，为了压缩课时，选材已经一压再压。所以我们学到的那点内容并不能代表整个离散数学，个人认为除了图论之外，教材里的其它章节对计算机系的学生并无用处。
说到计算机数学，的确有一些离散问题，它们来源于计算机的需求，或者可以借助计算机解决，所研究的正是离散对象布局的存在性、计数、最优问题。这样的问题五花八门，看似简单却又充满挑战，其中就以图论为典型代表。在数学界也将这些庞杂的问题汇成一个学科，并称之为组合数学（Combinatorics，又叫组合学或组合论），随着计算机的发展，组合数学得到了广泛的重视和应用。组合论已然是计算机理论分析和算法设计的核心理论，如果要给计算机系的学生推荐一门数学课程，我觉得组合数学再合适不过了。
组合数学诞生于数学游戏或初等问题，因此长期不受尊重，被认为深度不够且缺乏系统。但在20世纪下半页，组合论不仅在计算机领域得到广泛应用，其中的很多的思想和结论也被应用到了主流数学领域。到现在为止，组合论已然成为主流数学的一个分支，它虽然以解决问题为主要工作，但过程中产生的美妙思想和其它数学理论并无优劣之分。众多悬而未解的问题也在提醒人们，我们的认知有多么浅薄无力，这门古老的学科正以崭新的姿态重新展现在人们眼前。
但是经过这些年的发展，组合数学的内部已经分化出了很多分支，一本普通的教材是无法覆盖其主要内容的。大部分教材其实也只是一个入门介绍，它们甚至都没有触及组合数学的基本结论。可仅仅这些入门知识，对我们来说也已经是非常有趣有用的材料了，这里的常用方法和工具就能让你体会数学的美妙。所以本篇博客也只是组合数学的一个入门介绍，更深的内容（包括图论）只能留作以后攻陷了。参考资料[]是相对完整的组合论教材，由业界专家共同铸就，是深入组合论必读的经典。
这里选取的材料和一般教材无异，讨论的问题大多是一些离散对象的计数问题。我选择先学习组合数学，其实主要是为了后面的概率论铺路，因为古典概率论很大程度上首先要先解决各种计数问题。到具体的概率论课程中，我们就可以专注于概率论本身，而不是解决各种初等的概率问题。但计数只是组合数学的局部，还有相当大的部分包括组合设计、组合优化、图论等，和大部分教材一样，我们选择弱化这些内容，而留待后述。
【前序学科】 集合论、抽象代数、线性代数、微积分
【参考资料】
[1] 《组合数学讲义》，李乔，2008
一本非常优秀的国产教材，也是本博客的主要参考资料。其中不仅包含了初等组合论的知识，还有相当大篇幅的扩展和补充内容。讲解中还阐述了概念的产生背景，以及作者对组合学的理解。附录中推荐了经典的书籍和文章，读来颇有启示。
[2] 《组合数学》（Introductory Combinatorics，5th），R.A. Brualdi，2012
这应该是组合数学使用最广泛的教材了，涵盖了组合学的所有基础知识。以问题为中心，将知识串联起来。讲解细致到位，非常适合自学。大量的素材和例题习题，都十分值得反复思考。
[3] 《组合数学》，曹汝成，2000
[4] 《组合数学（3rd）》，卢开澄，2002
这两本也是国内非常优秀的教材，在选材、编排乃至符号使用上都已经非常成熟，从这两本开始自学也是不错的选择。
[5] 《组合论（上、下）》，柯召，1981
一本比较老的教材，但内容已经很丰富全面。作者对任何问题都试图表达完全且严谨，是一本比较适合自学的教材。
[6] 《组合数学》，H.J. Reise，1983
一个组合数学的简约读本，短短百十页却涵盖了所有的基础知识。行文简约易懂，条理清晰，适合自学。每章都还有疑难问题的牵引，以及列举了大量扩展读物，可作为组合论的导引。
[7] 《组合数学理论和题解》，王元元，1989
一本非常不错的习题讲解，里面只涉及组合数学最基础的知识，无需太深奥的理论。习题一方面能帮助理解组合论的思想和结论，另一方面其实也是数学解题的思维锻炼和总结。
