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排列 - 组合 - 概率

Posted on 2006-09-22 10:25 Eastwave周浪 阅读(...) 评论(...)  编辑 收藏

排列 - 组合 - 概率


排列定义:从n个不同的元素中,取r个不重复的元素,按次序排列,称为从n个中取r个的无重排列。

排列的全体组成的集合用 P(n,r)表示。排列的个数用P(n,r)表示。

当r=n时称为全排列。一般不说可重即无重。可重排列的相应记号为 P(n,r),P(n,r)。
 
组合定义:从n个不同元素中取r个不重复的元素组成一个子集,而不考虑其元素的顺序,称为从n个中取r个的无重组合。

组合的全体组成的集合用C(n,r)表示,组合的个数用C(n,r)表示,对应于可重组合有记号C(n,r),C(n,r)。
 
例1:用1、2、3、4、5、6、7、8、9组成数字不重复的六位数
集合A为数字不重复的九位数的集合,S(A)=9!
集合B为数字不重复的六位数的集合。
把集合A分为子集的集合,规则为前6位数相同的元素构成一个子集。显然各子集没有共同元素。每个子集元素的个数,等于剩余的3个数的全排列,即3!
这时集合B的元素与A的子集存在一一对应关系,则
S(A)=S(B)*3!
S(B)=9!/3!
这就是我们用以前的方法求出的P(9,6)
 
例2:从编号为1-9的队员中选6人组成一个队,问有多少种选法?
设不同选法构成的集合为C,集合B为数字不重复的六位数的集合。把集合B分为子集的集合,规则为全部由相同数字组成的数组成一个子集,则每个子集都是某6个数的全排列,即每个子集有6!个元素。这时集合C的元素与B的子集存在一一对应关系,则
S(B)=S(C)*6!
S(C)=9!/3!/6!
这就是我们用以前的方法求出的C(9,6)
 
以上都是简单的例子,似乎不用弄得这么复杂。但是集合的观念才是排列组合公式的来源,也是对公式更深刻的认识。大家可能没有意识到,在我们平时数物品的数量时,说1,2,3,4,5,一共有5个,这时我们就是在把物品的集合与集合(1,2,3,4,5)建立一一对应的关系,正是因为物品数量与集合(1,2, 3,4,5)的元素个数相等,所以我们才说物品共有5个。我写这篇文章的目的是把这些潜在的思路变得清晰,从而能用它解决更复杂的问题。
 
例3:9个人坐成一圈,问不同坐法有多少种?
9个人排成一排,不同排法有9!种,对应集合为前面的集合A
9个人坐成一圈的不同之处在于,没有起点和终点之分。设集合D为坐成一圈的坐法的集合。以任何人为起点,把圈展开成直线,在集合A中都对应不同元素,但在集合D中相当于同一种坐法,所以集合D中每个元素对应集合A中9个元素,所以S(D)=9!/9
 
我在另一篇帖子中说的方法是先固定一个人,再排其他人,结果为8!。这个方法实际上是找到了一种集合A与集合D之间的对应关系。用集合的思路解决问题的关键就是寻找集合之间的对应关系,使一个集合的子集与另一个集合的元素形成一一对应的关系。
 
例4:用1、2、3、4、5、6、7、8、9组成数字不重复的九位数,但要求1排在2前面,求符合要求的九位数的个数。
集合A为9个数的全排列,把集合A分为两个集合B、C,集合B中1排在2前面,集合C中1排在2后面。则S(B)+S(C)=S(A)
在集合B、C之间建立以下对应关系:集合B中任一元素1和2位置对调形成的数字,对应集合C中相同数字。则这个对应关系为一一对应。因此S(B)=S(C)=9!/2
 
以同样的思路可解出下题:
从1、2、3…,9这九个数中选出3个不同的数作为函数y=ax*x+bx+c的系数,且要求a>b>c,问这样的函数共有多少个?
 
例5:M个球装入N个盒子的不同装法,盒子按顺序排列。
这题我们已经讨论过了,我再用更形象的方法说说。
假设我们把M个球用细线连成一排,再用N-1把刀去砍断细线,就可以把M个球按顺序分为N组。则M个球装入N个盒子的每一种装法都对应一种砍线的方法。而砍线的方法等于M个球与N-1把刀的排列方式(如两把刀排在一起,就表示相应的盒子里球数为0)。所以方法总数为C(M+N-1,N-1)
 
例6:7人坐成一排照像, 其中甲、乙、丙三人的顺序不能改变且不相邻, 则共有________排法.
解:甲、乙、丙三人把其他四人分为四部分,设四部分人数分别为X1,X2,X3,X4,其中X1,X4》=0,X2,X3》0
先把其余4人看作一样,则不同排法为方程
X1+X2+X3+X4=4的解的个数,令X2=Y2+1,X3=Y3+1
化为求X1+Y2+Y3+X4=2的非负整数解的个数,这与把2个球装入4个盒子的方法一一对应,个数为C(5,3)=10
由于其余四人是不同的人,所以以上每种排法都对应4个人的全排列4!,所以不同排法共有C(5,3)*4!=240种。


排列、组合运算规则:

p(n,m)=n*(n-1)*(n-2)*...*(n-m+1)

c(n,m)=p(n,m)/p(m,m)

--- 摘自:<未知>


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