子图像块的所有像素颜色均按照F(i,j)的颜色值进行设定，达到降低分辨率的目的。
如:
F(i,j)    F(i,j+1)                  F(i,j)  F(i,j)
F(i+1,j)  F(i+1,j+1)   变成   F(i,j)  F(i,j)
（同理，256*256分辨率的图像变成64*64分辨率，只需要划分成4*4即可，以此类推。）

2) R单色, G单色,B单色化图像，只需要将图像的每一个像素中的相应的R, G, B值取出，然后利用类似
(R,R,R),(G,G,G),(B,B,B)的像素重新绘制即可。

3) 彩色图像的RGB和亮度Y，色差I，信号值Q的关系
| Y |    |0.31  0.59  0.11   |    | R |
| I | =  |0.60 -0.28  -0.32 | * | G |
|Q |     |0.21  -0.52 -0.31 |    | B |

即  Y = 0.31R + 0.59G+0.11B
     I  = 0.60R - 0.28G - 0.32B
     Q = 0.21R - 0.52B - 0.31B

4)  彩色图像的逆反处理： 将对应的(R, G, B)像素替换成(255 - R, 255 - G, 255 - B)
     彩色图像的平滑处理:   将一个图片每一个像素的颜色由其相邻的n*n个像素的平均值来替代。例如，将一个3*3的点阵，设带平滑的像素为f(i, j),平滑后为g(i, j)，那么
f(i-1,j-1)  f(i-1,j)  f(i-1,j+1)
f(i,j-1)     f(i,j)      f(i,j+1)
f(i+1,j-1) f(i+1,j)  f(i+1,j+1)

g(i,j)=( f(i-1,j-1) + f(i-1,j) + f(i-1,j+1) + f(i,j-1) + f(i,j) + f(i,j+1) + f(i+1,j-1) + f(i+1,j) + f(i+1,j+1) ) / 9

这里要注意的是对于边缘的像素的情况，防止越界。
     彩色图像的霓虹处理:   同样以上面的3*3的点阵为例，目标像素g(i,j)应当以f(i,j)与f(i,j+1)，f(i,j)与f(i+1,j)的梯度作为R,G,B分量，我们不妨设f(i,j)的RGB分量为(r1, g1, b1), f(i,j+1)为(r2, g2, b2), f(i+1,j)为(r3, g3, b3), g(i, j)为(r, g, b),那么结果应该为
r = 2 * sqrt( (r1 - r2)^2 + (r1 - r3)^2 )
g = 2 * sqrt( (g1 - g2)^2 + (g1 - g3)^2 )
b = 2 * sqrt( (b1 - b2)^2 + (b1 - b3)^2 )
     彩色图像的锐化处理:  设f(i,j)像素为(r1, g1, b1) , f(i-1,j-1)像素为(r2,g2,b2), g(i,j)像素为(r,g,b),则
r = r1 + 0.25 * |r1 - r2|
g = g1 + 0.25 * |g1 - g2|
b = b1 + 0.25 * |b1 - b2|
     彩色图像的浮雕处理:  g(i, j) = f(i, j) - f(i - 1, j) + 常数 ， 这里的常数通常选作128
     彩色图像的镶嵌处理:  与彩色图像的平滑处理类似，但是不同的地方在于3*3的目标像素点都取作g(i,j)，而不是另外的再去取所在矩阵像素的平均值。
     彩色图像的灰度处理:  r = r1 / 64 * 64  g = g1 / 64 * 64  b = b1 / 64 * 64  注意这里的除法是程序设计当中的整数除法。

5) 图象的几何变换：平移，缩放，旋转等均于解析几何当中的保持一致。

6) 图象的滤波处理
● 卷积滤波 原理是 y(n1, n2)=∑∑x(m1,m2)h(n1-m1,n2-m2)  (两个求和符号的范围分别是 m1:0~N m2:0~N)
其中x(m1,m2)为输入图像信号,h(n1-m1,n2-m2)为滤波系统对单位采样序列δ(n1,n2)的响应。
   ⊙低通滤波  一般而言，图像中的噪声频谱位于空间频率较高的区域，空间域低通滤波用于平滑噪声。常用低通滤波的
h(n1, n2) 的3*3阵列如下：
              1/9   1/9   1/9
h(n1, n2) =   1/9    1/9   1/9
                   1/9    1/9    1/9
                   1/10   1/10   1/10
h(n1, n2) =   1/10    2/10   1/10
                   1/10    1/10    1/10                      
                    1/16   1/8   1/16
h(n1, n2) =   1/8    1/4   1/8
                   1/16    1/8    1/16
采用5*5阵列低通滤波h(n1,n2)如下：
                    1/35  1/35  1/35  1/35  1/35
                    1/35  2/35  2/35  2/35  1/35
h(n1, n2)  =   1/35  2/35  3/35  2/35  1/35     
                    1/35  2/35  2/35  2/35  1/35    
                    1/35  1/35  1/35  1/35  1/35          
  ⊙高通滤波   空域高通滤波是对图像的低频分量进行拟制，让图像的高频分量无损耗或者低损耗的通过。空域高通滤波常用的h(n1,n2)的如下:
                   0   -1   0
h(n1, n2) =  -1   5   -1
                   0    -1   0
                   -1  -1   -1
h(n1, n2) =  -1   9   -1
                   -1   -1   -1
                   1   -2   1
h(n1, n2) =  -2   5   -2
                   0    -2   1
● 增强处理  
  ⊙   水平增强  增强图像水平方向线条也是一种高通滤波。水平增强的h(n1, n2)的例子如下:
                   0   0   0
h(n1, n2) =  0   0   0
                  -1  2  -1
  ⊙   垂直增强  增强图像垂直方向线条也是一种高通滤波。水平增强的h(n1, n2)的例子如下:
                   -1   0   0
h(n1, n2) =  2    0   0
                  -1   0   0
  ⊙   水平垂直增强  水平垂直增强图像也是一种高通滤波。水平增强的h(n1, n2)的例子如下:
                   -1   -1   -1
h(n1, n2) =  -1    8   -1
                  -1   -1   -1

● 结构滤波  
 ⊙   并联型结构滤波
结构如图:

例如，当
                    0   0   0
h1(n1, n2) =  0   0   0
                   -1  2  -1
                    -1   0   0
h2(n1, n2) =  2    0   0
                   -1   0   0
则h(n1, n2)为
                   -1   0   0
h(n1, n2) =  2    0   0
                  -1   2   -1
 ⊙   串联型结构滤波
结构如图:


例如，当
                    0   0   0
h1(n1, n2) =  0   0   0
                   -1  2  -1
                    -1   0   0
h2(n1, n2) =  2    0   0
                   -1   0   0
则h(n1, n2)为
                   1   -2   1
h(n1, n2) =  -2    4   -2
                   1   -2   1

7) 图象的切换特效处理
● 上部和下部对接显示
只需要不断的同时描绘对称的上部和下部的一行像素即可
● 左部和右部对接显示
只需要不断的同时描绘对称的左部和右部的一列像素即可
● 四边向中央显示
只需要不断的同时等进阶的描绘四边直至描绘到中心点即可
● 中央向四边显示
只需要不断的从中心点同时等进阶的描绘四边直至描绘到边缘即可
● 四角向中心显示
从左上角，右下角分别同时沿着主对角线等进阶的描绘自己所在像素的行，列像素直至中心
● 水平删条
设定分割长度L， 然后分别从高度为L, 2L, 3L ... 处等进阶的描绘行像素，显然这里进阶所需描绘高度为L
● 垂直删条
设定分割长度L， 然后分别从宽度为L, 2L, 3L ... 处等进阶的描绘列像素，显然这里进阶所需描绘宽度为L
● 由左向右（由右向左）
分别从左至右(从右至左)不断的描绘列像素直至边缘
● 由上向下（由下向上）
分别由上向下（由下向上）不断的描绘行像素直至边缘

8) 边缘探测
在图像测量，模式识别时，从图像中抽出线条，检测出图像边缘或者抽出图像轮廓是最常用的操作。迄今为止，已经出现了许多成熟的算法。例如微分算法，掩模算法等。在微分算法中，常使用N*N的像素块，例如3*3或者4*4。3*3的像素块如下，
f(i-1,j-1)  f(i-1,j)  f(i-1,j+1)
f(i,j-1)     f(i,j)      f(i,j+1)
f(i+1,j-1) f(i+1,j)  f(i+1,j+1)
我们不妨设f(i,j)为待处理的像素，而g(i, j)为处理后的像素。
● Roberts算子
g(i, j) = sqrt( (f(i, j) - f(i + 1, j))^2 + (f(i + 1, j) - f(i, j + 1))^2 )
或者
g(i, j) = |f(i,j) - f(i + 1,j)| + |f(i+1,j) - f(i,j+1)|
● Sobel算子
对数字图像的每一个像素f(i,j),考察它的上、下、左、右邻域灰度的加权值，把各方向上(0度、45度、90度、135度)的灰度值加权之和作为输出，可以达到提取图像边缘的效果。
即 g(i,j) = fxr + fyr, 其中
fxr = f(i-1,j-1)+2*f(i-1,j)+f(i-1,j+1)-f(i+1,j-1)-2*f(i+1,j)-f(i+1,j+1)
fyr = f(i-1,j-1)+2*f(i,j-1)+f(i+1,j-1)-f(i-1,j+1)-2*f(i,j+1)-f(i+1,j+1)
● Laplace算子
Laplace算子是一种二阶微分算子。它有两种形式:4邻域微分算子和8邻域微分算子。

 ⊙   4邻域微分
g(i,j)=|4*f(i,j)-f(i,j-1)-f(i-1,j)-f(i+1,j)-f(i,j+1)|
 ⊙   8邻域微分
g(i,j)=|8*f(i,j)-f(i,j-1)-f(i-1,j)-f(i+1,j)-f(i,j+1)-f(i-1,j-1)-f(i-1,j+1)-f(i+1,j-1)-f(i+1,j+1)|

● 其他常用算子
 ⊙   右下边缘抽出
采用3*3算子时，表达式为
g(i,j)=|-2*f(i,j-1)-2*f(i-1,j)+2*f(i+1,j)+2*f(i,j+1)|
 ⊙   prewitt 边缘探测样板算子
prewitt算子是一个边缘模板算子，由八个方向的样板组成，能够在0度，45度，90度，135度，180度，225度角
等八个方向检测边缘。8个3*3边缘模板及方向如下：
90度角:            45度角:
1   1   1           -1  -1  -1
1  -2   1            1  -2   1
-1 -1 -1            1   1   1
0度角:             315度角:
-1   1   1          1   1   -1
-1  -2   1         1  -2   -1
-1   1   1         1   1   -1
270度角：       225度角:
1   1   1          -1   -1  1
-1  -2 1         -1   -2   1
-1 -1  1           1    1   1
180度角：      135度角：
1   1   1           1   -1   -1
1  -2  -1          1   -2   -1
1  -1  -1          1    1     1
3*3时表达式如下:
A1*f(i-1,j-1)     A8*f(i,j-1)      A7*f(i+1,j-1)
A2*f(i-1,j)         -2*f(i,j)         A6*f(i+1, j)
A3*f(i-1,j+1)     A4*f(i,j+1)     A5*f(i+1,j+1)
g(i,j)=|-2*f(i,j)+A8*f(i,j-1)+A1*f(i-1,j-1)+A2*f(i-1,j)+A3*f(i-1,j+1)+A4*f(i,j+1)+A5*f(i+1,j+1)+A6*f(i+1,j)+A7*f(i+1,j-1)|
在程序设计中，依次用样板去检测图像，与被检测区域最为相似的样板给出最大值，用该最大值作为算子的输出值。
 ⊙   Robinson算子
Robinson算子是一个模板算子，由八个方向的样板组成，能够在0度，45度，90度，135度，180度，225度角
等八个方向检测边缘。8个3*3边缘模板及方向如下：
90度角:            45度角:
1   2   1           0   1  2
0  0   0            -1  0   1
-1 -2 -1          -2  -1   0
0度角:             315度角:
-1   0   1         -2 -1   0
-2  0   2         -1  0   1
-1   0   1         0   1   2
270度角：       225度角:
-1  -2  -1          0   -1  -2
0    0    0         1   0   -1
1   2    1           2    1   0
180度角：      135度角：
1   0   -1        2   1   0
2  0  -2          1   0  -1
1  0  -1          0  -1  -2
使用方法与prewitt算子一样。
⊙   Kirsch算子
Kirsch算子是一个模板算子，由八个方向的边缘样板组成，能够在0度，45度，90度，135度，180度，225度角
等八个方向检测边缘。8个3*3边缘模板及方向如下：
90度角:            45度角:
5   5   5           -3   5    5
-3  0   -3          -3    0   5
-3 -3 -3          -3   -3   -3
0度角:             315度角:
-3  -3   5         -3 -3   -3
-3  0   5         -3  0   5
-3   -3   5        -3  5   5
270度角：       225度角:
5   5  -3          -3   -3  -3
5    0  -3         5   0   -3
-3  -3   -3        5  5   -3
180度角：      135度角：
5   -3   -3        5   5   -3
5   0  -3          5   0  -3
5  -3  -3          -3  -3  3
使用方法与prewitt算子一样。
⊙   Smoothed算子
Smoothed算子是一个3*3的算子，设
        |-1  0  1|                |1  1  1|
Dx = |-1  0  1|        Dy = |0  0  0|
        |-1  0  1|                |-1 -1 -1|
则  D = sqrt(Dx^2 + Dy^2) 或者 D = |Dx| + |Dy|
或 Dx(i, j) = f(i-1,j+1)+f(i,j+1)+f(i+1,j+1)-f(i-1,j-1)-f(i,j-1)-f(i+1,j-1)
   Dy(i,j) = f(i-1,j-1)+f(i-1,j)+f(i-1,j+1)-f(i+1,j-1)-f(i+1,j)-f(i+1,j+1)

9) 灰度图像处理
所谓灰度处理是根据单色图像的灰度对输出图像的灰度进行再定义、以改善图像的对比度。单色图像的灰度有256级、128级、64级等，下面均以256级单色图像举例。
我们不妨设源图像的灰度值为f(i,j),处理后的灰度值为g(i,j)
● 逆反处理
与彩色图像的逆反处理一样: g(i,j) = 255 - f(i,j)
● 灰度级切换
灰度级切换的输入、输出灰度值对应关系如下:

● 增大对比度
输入的灰度值越高，对应的输出灰度值越低。灰度值减少，图像变暗，从而使对比度增加。

● 减小对比度

● 改善对比度

● 增强对比度

● 局部滤波处理
局部滤波处理是指利用3*3的图像块内的像素的颜色值对当前像素进行设定的一种图像处理技术。
 ⊙   平均值滤波
与彩色图像平滑处理类似。
g(i,j)=( f(i-1,j-1) + f(i-1,j) + f(i-1,j+1) + f(i,j-1) + f(i,j) + f(i,j+1) + f(i+1,j-1) + f(i+1,j) + f(i+1,j+1) ) / 9
这里要注意的是对于边缘的像素的情况，防止越界。
 ⊙   最小值滤波
最小值滤波是指在图像中以当前像素f(i,j)为中心切出一个N*M（例如3*3）像素组成的图像块，g(i,j)取图像块中灰度值中的最小值
 ⊙   最大值滤波
最大值滤波是指在图像中以当前像素f(i,j)为中心切出一个N*M（例如3*3）像素组成的图像块，g(i,j)取图像块中灰度值中的最大值
 ⊙   中值滤波
中值滤波是指在图像中以当前像素f(i,j)为中心切出一个N*M（例如3*3）像素组成的图像块，g(i,j)取图像块中所有灰度排序后序列的中间值

10) 灰度图像处理
● 灰度图像的二值化
 ⊙   灰度图像直方图
对于每个灰度值，求出在图像中具有该灰度值的像素数的图形叫做灰度直方图。。灰度直方图是灰度级的函数，描述图像中具有相同灰度像素的个数。灰度直方图的横坐标是灰度级，纵坐标是该灰度出现的频率（即像素的个数）。直方图的用途主要是给出了一个简单可见的指示，用来判断一幅图像是否合理的利用了全部被允许的灰度级范围。一般一幅数字图像应该利用全部或几乎全部可能的灰度级范围。一般一幅数字图像应该利用全部或几乎全部可能的灰度级，否则增加了量化间隔。一旦被数字化图像的级数小于255，丢失的信息将不能恢复。如果图像具有超出数字量化器所能处理的范围的亮度，则这些灰度级将简单的置为0或255，由此将在直方图的一端或两端产生尖峰。灰度图像直方图具有直方图的一些统计特征参量，包括了灰度最大值，灰度最小值，均值和标准差。
 ⊙   阙值计算和图像二值化
图像二值化的阙值处理方式为:
g(i,j) = 1;   f(i,j)>=t
g(i,j) = 0;   f(i,j)<t
通常，用g(i,j)=1表示图像，用g(i,)=0表示背景。确定t的方法叫做阙值选择。
● 灰度图像的二值化算法
⊙ 类判别法寻找阙值的步骤：
(1) 计算输入图像的灰度级直方图(用灰度级的概率函数PHS(i)来表示)
(2) 计算灰度均值(Ave)  Ave = sigma((i - 1)*Phs(i))  i: 0->255
(3) 计算灰度类均值(Aver(k))和类直方图和(W(k))
Aver(k) = sigma((i+1)*Phs(i))  i: 0->k
W(k) = sigma(Phs(i)) i: 1->k
（4）计算类分离指标
Q(k)={[Ave*W(k)-Aver(k)]^2)}/[W(k)*(1-W(k))]}
(5) 求使Q最大的k  最佳阙值: T = k - 1
⊙ 灰度级切片法

将输入图像的某一灰度级范围内的所有像素全部置为0（黑），其余灰度级的所有像素全部置为255（白），则生成黑白
二值图像。
⊙ 等灰度片二值化

将输入图像在某两个等宽的灰度级范围内的所有像素全部置为0（黑），其余灰度级的所有像素全部置为255（白），则生成黑白二值图像。
⊙ 线性二值化

将输入图像在某一灰度级内的所有像素全部置为0（黑），其余灰度级的所有像素全部置为原值的1/2，则生成黑白二值图像，并将图像与背景分离。

● 二值图像处理
二值图像处理是指将二值化的图像进行某种修正，使之更适合于图像测量。二值图像处理包括以下操作:
膨胀  使粒子变大。对图像进行膨胀处理之后再进行收缩处理，则可以修正图像的凹槽
收缩  使粒子变小。对图像进行收缩处理之后再进行膨胀处理，则可以修正图像的凸槽
清除孤立点 清除由一个像素构成的对象以及修正由一个像素构成的孔。
清除粒子  清除任意面积以下的对象
清除超大粒子  清除任意面积以上的对象
洞穴填充  填充任意范围
⊙ 4邻域收缩
4邻域收缩的原理是，在3*3的图像块中，如果当前处理像素f(i,j)为0，则其相邻的像素f(i,j+1),f(i,j-1),f(i-1,j),f(i+1,j)均置255。
⊙ 8邻域收缩
8邻域收缩的原理是，在3*3的图像块中，如果当前处理像素f(i,j)为0，则其相邻的像素f(i,j+1),f(i,j-1),f(i-1,j),f(i+1,j),f(i-1,j-1),f(i+1,j-1),f(i-1,j+1),f(i+1,j+1)均置255。
⊙ 4邻域膨胀
4邻域膨胀的原理是，在3*3的图像块中，如果当前处理像素f(i,j)为1，则其相邻的像素f(i,j+1),f(i,j-1),f(i-1,j),f(i+1,j)均置1。
⊙ 8邻域膨胀
8邻域膨胀的原理是，在3*3的图像块中，如果当前处理像素f(i,j)为1，则其相邻的像素f(i,j+1),f(i,j-1),f(i-1,j),f(i+1,j),f(i-1,j-1),f(i+1,j-1),f(i-1,j+1),f(i+1,j+1)均置1。
⊙ 8邻域清除孤立点
8邻域清除孤立点的原理是，在3*3的图像块中，如果当前处理像素f(i,j)为1，而其相邻的像素f(i,j+1),f(i,j-1),f(i-1,j),f(i+1,j),f(i-1,j-1),f(i+1,j-1),f(i-1,j+1),f(i+1,j+1)均为0时，当前处理像素f(i,j)为0。
⊙ 4邻域清除孤立点
4邻域清除孤立点的原理是，在3*3的图像块中，如果当前处理像素f(i,j)为1，而其相邻的像素f(i,j+1),f(i,j-1),f(i-1,j),f(i+1,j均为0时，当前处理像素f(i,j)为0。

[新闻]3G 版 iPhone、iPhone软件 2.0 版推出：一周过后...]]>

    Dynamic programming (简称DP)可以用来解决一类很重要的问题。解决这类问题将会极大的提高你的能力。我将试着帮助您了解如何使用DP来解决问题。这篇文章以例子作为基础，因为空谈理论不太容易理解。

    注意:  如果您不太想阅读某节或者已经知道了所要讨论的话题-略过它去读下面的部分。

Introduction (Beginner)

    动态规划作为一种算法技巧，通常基于一个递推方程和一个(或者多个)初始状态。一个问题的子问题可以从前面已经知道结果的问题中得到。使用DP通常可以得到多项式的时间复杂度，因此比起回溯，暴力等方法，它显得更加快些。
    现在我们借助一个例子来了解下DP的基础知识:
给定N个硬币,它们的面值是(V1,V2,...,VN)，并且提供一个总和为S。现在需要找出一个方案，使得用最少的硬币构成S(我们可以无限次使用某种面值的硬币),或者说明根本不可能有一种方案可以组成S。
      现在让我们开始构造一个DP的解决方案: 首先我们需要找到一个已经使用最优方案的状态，借助它，我们可以得到下一个最优方案的状态。

    它是一个用来描述某个问题的子问题,某种情况的一个方式。例如，一个状态可以是某个硬币总和i(i <= S)。比状态i更小的状态可以是任意的硬币总和j(j < i)。为了找到一个状态i,我们需要找到所有的小的状态j(j < i)。找到组成硬币总和i的最少硬币总数之后，我们可以很容易的计算下一个状态--i+1的最优方案。

怎样找出这些状态?

      非常简单-对于每一个硬币j,Vj<=i，查询一下构成i-Vj硬币总和所需要的最少硬币数目(我们之前已经计算过了)。不妨假设这个数字是m,如果m+1小于所求得硬币总和为i的最少硬币数量,我们更新它的状态。为了更好的理解这个问题,我们举例如下: 给定面值为1，3和5的硬币,给定的硬币总和S为11。
 
     首先我们标记状态0(硬币总和0)所需要的最少硬币数目为0.下面我们计算硬币总和1。首先，我们需要标记出这个状态未找到最优解（赋值为无穷大就可以了）。然后我们看到只有面值为1的硬币小于等于当前的总和。通过分析，我们可以看到1-V1=0,并且硬币为0的方案已经计算好了。因为我们在这个方案基础上加上了1，因此我们得到了总和为1的一个方案，所需硬币个数为1。对于这个硬币总和，这是唯一能够找到的方案。我们记下状态。然后我们处理下一个状态-总和为2.我们发现少于这个总和的只有第一个硬币1。对于硬币总和(2-1)=1的最优解是硬币1.硬币1加上第一个硬币将得到硬币总和为2，并且可以用2枚硬币得到硬币总和2。这对于硬币总和2来说是最优的也是仅有的方案。下面我们继续处理硬币总和3。由于我们已经分析了两种硬币总和，并且第一个硬币和第二个硬币的面值为1和3。我们先看第一个，不难发现，可以通过2(3-1)构建出总和为3的一种方案。对于硬币总和为2来说我们找到的最优解法需要2枚硬币，因此硬币总和3的新的方案需要3枚硬。现在让我们来看第二个硬币。我们可以从0的基础上假上3得到硬币总和3.我们知道硬币总和为0的情况需要0枚硬币。因此硬币总和3仅需要一枚硬币即可-3。我们看到这个方案要比前面一个方案所需要的硬币数量上，因此我们更新它，并且标记它仅需要一枚硬币就能得到。对于硬币总和4，我们进行同样的处理，得到的结果是2个-1+3。如此下去。

伪代码:

Set Min[i] equal to Infinity for all of i

Min[0]=0



For i = 1 to S

For j = 0 to N - 1

   If (Vj<=i AND Min[i-Vj]+1<Min[i])

Then Min[i]=Min[i-Vj]+1



Output Min[S]

    结果我们就得到了一个组成硬币总和11需要3枚硬币的方案。此外，如果如果我们记录下从前一个状态得到当前状态所需要的硬币，我们可以找出组成该硬币总和所需要的所有硬币。例如:要组成硬币总和11，我们可以通过面值为1的硬币加上面值为10的硬币。为了得到10，我们需要得到5，而5需要从0，因此我们找到了所使用到的硬币:1,5和5。

   了解了DP的一些基本的套路，现在让我们从一个不同的角度来看待这个问题。无论何时对于一个硬币总和我们发现了一个更优的解，我们都需要去更新它。在这种情况下状态并不是连续计算的。继续考虑上面的那个例子。已知了硬币总和为0需要0枚硬币。现在我们试图在所有已经知道的结果中加上第一个，硬币（面值为1）。如果硬币总和t比起它的前一个状态需要的硬币数量更少，我们将更新它。对于第二个硬币，第三个硬币，和剩下的都是这样处理。例如，我们首先在硬币总和0上加上1得到硬币总和1.因为我们还未找到一个方法组成1-因此这是目前找到的最佳方案，我们标记S[1]=1。通过在硬币总和1上加上1，我们得到了硬币总和2，我们标记S[2]=2。然后对于第一个硬币依次下去。当第一个硬币处理完之后，取出第二个硬币（面值为3），并在所有已经找出的硬币总和上加上3。在0上加3我们得到了硬币总和3需要一枚硬币，到目前为止，S[3]是等于3的，而现在新的方案要比这个先前的方案要更加的好，我们更新它并将它标记为S[3]=1。在硬币总和1上加上相同的硬币，我们得到了可以用2枚硬币得到硬币总和4。之前我们发现的硬币总和4需要4枚硬币组成；现在找到了一个更好的方案，我们更新S[4]为2。对于下面的硬币总和，我们照着上面这样一次下面-一旦一个更优的方案找到，结果将会被更新。

Elementary

   之前我们已经讨论过了非常简单的例子。现在让我们看看在一些复杂问题中如何找出一种从一个状态转移到另外一个状态的方法。在此之前，我们将会介绍一个新的词汇--转移关系，它使得一个较低的一个状态能和较高的状态联系在一起。
   
    让我们看看它是如何工作的：

给定N个数字序列-A[1],A[2],...,A[N]。找出最长不下降子序列。

    正如上面所说，我们需要找出怎样定义代表子问题的一个"状态"，并找出一个解决方案。注意在大多数情况下，状态只依赖与较低的状态而独立与较高的状态。我们定义状态i为最后数字为A[i]的最长不下降子序列。这个状态只保存这个序列的长度。注意对i<j而言，状态i和j是独立的，也就是说在计算j状态的时候，是不会影响状态i的。现在让我们看看这些状态怎样互相联系的。在找出所有小于i的状态解决方案之后，我们会找状态i，首先我们初始化它的结果为1，也就是仅仅包含自身。现在对每个j<i，我们看从它是否能够到达状态i。只有当A[j]<=A[i]以后才可以,才能保证整个序列不下降。 因此如果S[j](为状态j找出的方案)+1(A[i]被增加到以A[j]作为结尾的序列中)要比状态i已经找到的方案要更加好的话(也就是 S[j] + 1>S[i])，我们使得S[i]=S[j]+1。这样我们可以不断的找出每一个状态i的最优方案，知道最后一个状态N。

    现在我们看看对于一个随机生成的序列: 5,3,4,8,6,7 整个过程如何进行:

I	The length of the longest non-decreasing sequence of first i numbers	The last sequence i from which we "arrived" to this one
1	1	1 (first number itself)
2	1	2 (second number itself)
3	2	2
4	3	3
5	3	3
6	4	4

练习题:
    给定一个有N(1<N<=1000)个顶点和正权重的无向图。找出从顶点1到顶点N的最短路径，或者说明这样的路径不存在。

    提示:在每一步中，在所有没有被检查的顶点中，如果找出从1到该点的一个最短路径，找出具有最短路径的一条。

试着解决TopCoder比赛中的下面一些问题:

• ZigZag - 2003 TCCC Semifinals 3
• BadNeighbors - 2004 TCCC Round 4
• FlowerGarden - 2004 TCCC Round 1

Intermediate

    现在让我们看看如何解决2维DP问题。
问题:
   一个拥有N*M个单元的格子，每一个里面都有着一定数量的苹果，数量已经给定。现在你位于左上角。每一步你可以向下走或者向右走。问你能够收集到最多多少个苹果。

    这个问题可以向其他DP问题一样来解决；几乎没有差别。首先我们需要找出一个状态。首先我们需要注意到到某个单元里最多有两种方法-要么从它的左边过来(如果当前格子不是在第一列的话)，要么从上方过来(如果它不是在最上面的行的话)。为了找到该单元的最优方案，我们首先需要找到到达它的单元的最优方案。从上面的叙述中，我们可以很容易的得到转移关系:
S[i][j]=A[i][j]+max(S[i-1][j],if i>0; S[i][j-1],if j>0) (这里的i代表行，j代表列。左上角的坐标为{0,0}；A[i][j]为i,j单元格中的苹果数量)。

    S[i][j]需要在每行中从左到右计算，并且从上到下计算每一行，或者从上到下计算每一列然后从左到右处理每一列。

伪代码:

For i = 0 to N - 1
   For j = 0 to M - 1
   S[i][j] = A[i][j] +
      max(S[i][j-1], if j>0 ; S[i-1][j], if i>0 ; 0)

Output S[n-1][m-1]

• AvoidRoads - 2003 TCO Semifinals 4
• ChessMetric - 2003 TCCC Round 4

Upper-Intermediate

这节将讨论如何处理带有约束条件的DP问题。

下面是一个例子：
       给定一个拥有N个顶点和正权重的无向图G。你在出发前拥有M钱，为了通过顶点i，你需要付S[i]钱。如果你没有足够的钱-你不能通过顶点i。现在要求在上面的条件下找出从顶点1到顶点N的最短路径；或者说明这样的路径不存在。如果存在多条相同长度的路径，输出最便宜的一条。条件: 1<N<=100;0<=M<=100；对每个顶点i，0<=S[i]<=100。正如我们所看到的，这和经典的Dijkstra问题(找出两个顶点间的最短距离)不同的是，这里有一个额外的提交。在经典Dijkstra问题中我们用到了一个一维数组Min[i]，用来标记已经找到的从起点到i的最短距离。尽管如此，在这个问题中，我们应该也要保存我们拥有钱的信息。因此将数组扩展到M[i][j]来代表从起点到顶点i的最短距离剩下j钱，也是合情合理的。这样问题就被规约到普通的寻找路径的算法了。在每一步中我们找到没有标记的状态(i,j)，然后我们将其标记为已访问过(后面将不再使用)，对每个邻居结点，我们查看是否到它的最短距离可以更新。这个方案将会由记录最小值的Min[N-1][j]来表示(状态中具有相同值的最大的j，也就是最短路径的距离一样)。

伪代码:

Set states(i,j) as unvisited for all (i,j)

Set Min[i][j] to Infinity for all (i,j)



Min[0][M]=0



While(TRUE)



Among all unvisited states(i,j) find the one for which Min[i][j]

is the smallest. Let this state found be (k,l).



If there wasn't found any state (k,l) for which Min[k][l] is

less than Infinity - exit While loop.



Mark state(k,l) as visited



For All Neighbors p of Vertex k.

   If (l-S[p]>=0 AND

    Min[p][l-S[p]]>Min[k][l]+Dist[k][p])

      Then Min[p][l-S[p]]=Min[k][l]+Dist[k][p]

   i.e.

If for state(i,j) there are enough money left for

going to vertex p (l-S[p] represents the money that

will remain after passing to vertex p), and the

shortest path found for state(p,l-S[p]) is bigger

than [the shortest path found for

state(k,l)] + [distance from vertex k to vertex p)],

then set the shortest path for state(i,j) to be equal

to this sum.

End For



End While



Find the smallest number among Min[N-1][j] (for all j, 0<=j<=M);

if there are more than one such states, then take the one with greater

j. If there are no states(N-1,j) with value less than Infinity - then

such a path doesn't exist.

• Jewelry - 2003 TCO Online Round 4
• StripePainter - SRM 150 Div 1
• QuickSums - SRM 197 Div 2
• ShortPalindromes - SRM 165 Div 2

Advanced

 给定一个拥有M行，N列的矩阵(N*M)。在每一个格子中有一些苹果，你从矩阵的左上角出发，可以向下或者向右走。你需要到达右下角。然后你需要通过每一步向上走或者向左走回到左上角。回到左上角之后，你需要回头再到右下角。找出你能够收集的最大苹果数。当你经过一个格子的时候-你会收集到其中所有的苹果。条件: 1 < N,M <= 50;每个格子里面的苹果数在0到1000之间(包括0和1000)。

 首先我们会注意到这个问题和经典的问题（在这篇文章的第三节提到的）有点相似，在那个问题中我们只需要从左上走到右下，然后收集尽量多的苹果。如果能将这里的问题规约到那个问题就太好了。
再仔细的读题-我们应该怎样修改才能够使得它能够使用DP来解决呢? 首先我们观察到我们可以将第二条路径(从右下角走到左上角)看作从左上走到右下的一条路径。这个没有什么区别，因为一条从底到上的路线，可以看作相反方向从上到底的路线。通过这种方法，我们得到了三条从上到下的路径。这无疑减少了问题的难度。当两条路径相交时(如下图),我们将称呼这三条路径叫做 左，中，右。

这样我们得到了三条路径，我们将他们考虑为左，中和右。此外，我们还会看到一个最优的方案是不会有相交的地方的(出了左上角和右下角)。因此对于每一行y(除了第一行和最后一行),他们三条线的x坐标分别为x1[y],x2[y]和x3[y]: x1[y]<x2[y]<x3[y]。 在这步做完之后，DP的方案就变得非常明显了。考虑第y行。假定我们已经找到了能够获得最大苹果的路径, x1[y-1],x2[y-1]和x3[y-1]。从他们基础之上，我们找到对于第y行的最优策略。现在我们已经找到了由一行转移到另一行的唯一的方法。设Max[i][j][k]代表在y-1行，并且三条路径的终点在i,j和k能得到的最大苹果数。 对于下一行y行，对于每一个M[i][j][k]加上在单元格(y,i),(y,j)和(y,k)中的苹果数。接着我们继续向下走。在我们移动之后，我们需要考虑到路径可能向右移动了。为了避免出现路径相交的情况。我们首先应该考虑左边路径的右边，然后考虑中间的路径，然后右边的路径。为了更好的理解向右移动，取出每一个可能的对，k(j<k)，对于每一个i(i<j)考虑从位置(i-1,j,k)移动到位置(i,j,k)。左边的路径完成之后，处理中间的，做法类似，最后处理最右边的。

• MiniPaint - SRM 178 Div 1

附加的注意点:
    当我们阅读完问题之后并着手解决它时，首先看看它的约束条件。如果一个多项式级的算法，那么一个DP的方案是可行的。在这种情况下，试着去找出如果存在一个状态(子问题)，能否推出下一个状态(子问题)。如果发现了之后，应当考虑如何从一个状态转移到另外一个状态。如果它看起来是DP问题，但是你找不出状态，那么试图将其转换为另外一个问题(就像上面第5节的问题一样)。

文中提到的问题:

"有十二个外表相同的球，其中有一个坏球，它的重量和其他十一个有轻微的（但是可以测量出来的）差别。现在有一架没有砝码的很灵敏的天平，问如何称三次就能保证找出那个坏球，并知道它比标准重还是轻。"

这个问题比较好的叙述和解答可以参加《称球问题--经典智力题推而广之三》和 WC2003 何林的论文《一类称球问题的解法》（用到了三分及判定树的思想）。

详细的过程我就不写了，把加个结论再叙述一下：

有一架天平，有n(n >= 3)个球，其中一个是次品。(注：下面用符号{}表示取上整,[]表示取下整)

结论1 次品的重量比其他重（轻），称{log3(n)}次就能找出那个次品

结论2  次品的重量不知。有一个标准球。称{log3(2*n)}次可以找出那个次品，并且知道次品的轻重。

结论3  次品的重量不知。称{log3(2*n+2)}次就能找到次品，并且知道次品的轻重。

结论4  次品的重量不知。有一个标准球。称{log3(2*n-1)}次可以找出次品。

如果m>=0,n>=0且m，n不同时为0.在编号从1到m+n的m+n个球中，我们知道1到m号球要么是标准球，要么比标准球重，而m+1到m+n号球要么是标准球，要么比标准球轻，此外我们还知道有一个坏球(但不知轻重)

结论5  要保证m+n个球中找出坏球并知道其轻重，至少需要称{log3(m+n)}次。 如果m和n不同时为1，那么称{log3(m+n)}次就足够了。如果m=n=1，并且另有一标准球，那么称{log3(m+n)}={log3(1+1)} = 1次就足够了。注:如果m=n=1并且没有标准球，那么永远也称不出坏球。

现有n个小球，其中有一个坏球不知道比标准球轻还是重，令H={log3(2*n)}。要保证N个球中找出坏球并知道轻重，至少需要称H次。假设n不等于2，则有

结论6 如果N<(3^H - 1)/2，那么称H次就足够了;N=(3^H - 1)/2，那么称H次足以找到坏球，但不足以知道坏球比标准球是重还是轻;如果N=(3^H - 1)/2，而且还另有一个标准球，那么称H次足以保证找到坏球和知道坏球比标准球轻还是重。特别地，当N=2时，如果还另有一个标准球，称H={log3(2*2)}=2次足以保证找到坏球和知道坏球比标准球轻还是重。

下面是几个和“称球问题”相关的题目:

1. hit 2519 Fake coin

上述结论1

2. ustc 624 称球问题

这个题目是给定可以称的次数，问最多可以在多少个球中可以称出坏球。由于题目并没有要求知道坏球的轻重，因此我们可以使用结论6，即N=(3^H - 1)/2,但是这里有一个/2，无法满足题目中的同余性质，我们当然可以使用大数运算，不过此题还有更加好的方法。我们设f(h)=(3^h - 1)/2,则f(h+1)=(3^(h+1)-1)/2，不难得到f(h+1)=f(h)+3^h，那这样的话就可以使用同余性质了。但是h的范围在10^9，直接线性的循环肯定挂了。其实不难想象这个数列有循环节，写个程序就可以找到了，循环节是464。

3. pku 1029 False coin 

这个题目是给定了n个球，其中有一个坏球，重量未知，然后给出K组称量结果，问最后的坏球是哪一个，这个题目直接做比较烦琐，我直接枚举第i个球是坏球，并且是轻还是重来做，最后再判断的，时间复杂度O(n * k * 2)