VC6.0的项目～

公式错误！

最小二乘法的意义是距离差值的平方（di-R）^2，不是距离平方差的平方(di^2-R^2)^2

两者是不同的！事实上

（di^2-R^2）=(di-R)(di+R)

因此，以上结果将使圆半径“趋小”！

@路不平
其实是一样的。

最小化 误差 的平方和，将距离平方差认为是 误差，可以表征和真实值得误差大小，使之最小也可以得到一个相对较优的拟合值。同时简化公式的推导。

如果使用距离的平方差，则平方和中会出现开根号，公式就很难推导了。

回：dotLive

我编制过关于圆最小二乘的程序。起先我以为两者是一样的，就是：评价(di-R)^2与评价（di^2-R^2）^2是一样的。
但正如你所说，后者是把R^2作为真值进行考虑的。当然如果散点恰能构成一个圆，两者是一样的。因为：
（a^2-b^2）=(a+b)(a-b)=0
但我实际编程后（采用最速下降法）发现，后者的半径偏小（散点越不接近于圆越明显）！为什么呢？因为，最小二乘的几何原理考察的是“距离”的误差（di-R）。那么变成平方差 （di^2-R^2）后，事实上是给（di-R）乘上了一个（di+R约=2R）的权重，最终实际的结果，当然是半径偏小。
事实上，你可以通过编程发现两者的差异！
当然上述推导依然是有价值的，因为这个结果作为迭代法的初值是再合适不过了！
实际的推导是不“可解”的，否则，《数学手册》就会出现相应的方法，就象线性回归和抛物线回归一样！

@路不平
你的分析是对的，对我很有启发。我没有考虑到偏差的程度是如何变化的。你的分析应该说验证了这个推导在整体圆检测算法中的可行性。
事实上这个拟合公式确实迭代检测圆的一个步骤，我采取的方法是每次迭代删除方差大于某个阈值的点，认为它们是非圆上的点。
要使用这个迭代拟合的方法，还需要前面粗检测来限定范围，以保证进行拟合的点在圆周的一个特定范围内；最后删除点的迭代次数，也就是迭代停止条件也需要考虑和分析。最后我们希望是可以得到全部都是圆上的点，或者都是离真实边缘很接近的点，那么拟合的圆稍微有所偏差也是可以接受的。
还有一点是，这个检测的算法是假设在很高的分辨率下进行的，因此需要采用一些牺牲少量精度，大量降低计算量的方法，检测精度已经由高分辨的采集装置保证了一部分。

不错。我在工程上验证了这个算法是可行的。
我给你了我邮件地址，

1 熟悉圆度测量的基本知识和工作原理 2。编制计算机软件，实现以下基本功能 用最下二乘法来评定圆度误差。
设计圆度测量的偏心校正算法，并在计算机上予以仿真，验证。
根据实际测试数据计算某一个实际工件的偏心值和圆度误差
3设计程序流程图和编制软件
``两位大哥 都那么厉害 `谁能做这个？
我的毕业设计 我给钱

我的QQ：55847142

楼主,那您最后的解决方案是什么呢?
@.Live

@vb
可以在07年11月份的仪器仪表学报上参考《多分辨率快速圆检测在抑菌圈测量系统中的应用》，或者检索学位论文《基于机器视觉的抗生素残留量检测技术研究》

请问楼主和“路不平”，楼主列出的算法存在拟和出来的半径R可能偏小的问题，那么拟和得到的圆心坐标A和B是否准确呢？如果也存在偏差，偏差的趋势是怎样的？

@ShiZD
圆心的偏差怎么衡量呢，半径有大小问题，圆心偏上下左右都没有衡量的方向的问题，而且最小二乘法就是求得一个最小化误差的方法，如果样本点确定的圆是唯一的，那么得到的结果也肯定是精确的。当样本确定的圆是不确定的，那么要分析算法结果就需要确定一个比较的标准真值。

这个算法的结果半径“偏小”是指和使用 距离差值的平方 的方法得到结果比较而言。因为使用 距离差值的平方 的方法显然会科学一点，就认为它更接近真值。

就实践上来说，可以使用人工确定的真值来统计结果的准确率，在相对固定的应用环境下达到一定标准就可以认为是可行的了。

非常不错 现在正需要这方面的源码参考学习 谢谢

请教一下:由于不是数学专业,对最小二乘法不是很懂,请问拟合椭圆和拟合圆有多大不同呢?最好能有源码来学习一下 谢谢

@球王
@球王
参数个数不同，你要解的方程组就不同，跟阶数也有关，椭圆要5个参数，更复杂了点，不好解。能解出来的话，源码没什么不同的。建议查找相关的论文看看。

谢谢了，两位达淫！

只想确认的一点是，这个拟和算法对于一个确定的目标圆，是不是会无穷趋近于真实值？
谢谢楼主了！

其实我觉得楼主的做法是可以的，你可以把平方的差认为是面积之差，所以拟合出来的使面积差的平方和最小，应该还是说得通的

@Pterosaur

对于在同一个圆上的点，只要不在一条直上的3个点就可以拟合出圆心和半径了

楼主理解错我的意思了,我是想知道这个估计的无偏性和一致性...
按照仿真的数据来看,半径拟和的无偏性不能保证,一致性不清楚.
还没有具体的证明

@Pterosaur

这个真的很难回答，因为 “确定的目标圆”带有主观因素的，不同的应用领域对目标的要求是不同的，在程序中或许可以控制一些参数来使结果偏向应用的要求。但是从公式上去证明就有点困难了。我也没有很多关注公式，更多关心应用吧。

换个说法,我已经知道了这种拟和算法的半径是有偏估计,偏差与拟和数据所带有的噪声的方差有关(噪声的均值为0),但是我现在不清楚加入的噪声具体有多大,在这种情况下,这个半径该如何估计?
一个很重要的问题是噪声不能忽略.

@Pterosaur
明白了，"噪声不能忽略"是关键问题，由此带来偏差。但在我的所碰到的实际应用中，前期做了很多工作来消除噪声。而且更重要的是，最后的进行统计的并不是点，而是线，而且是在很低的分辨率下经过HOUGH算法过滤后的线，然后再在高分辨率进行一个数据的精确统计。只是因为图像数据是离散的，所以表现出来的都是点坐标而已。因此在我的应用实例中，“噪声被忽略” :-|。
噪声确实会产生偏差，如果能分析噪声源的规律，或许可以得到修正的公式。直观的可以看到，如果所有噪声点均匀分布，那么对圆的影响还跟圆的空间位置有关的。因此，还是要跟实际应用结合吧。

感谢楼主的热情回复
的确,消噪可以带来很好的效果,而且我在应用的前期也进行了很多的消噪过程.但是精度仍然达不到工程的需求.最大的问题就是出在半径的估计上,因为这个半径的估计误差在后期的运算过程中会被放大大约100倍(并不是估计出半径就结束的).
很头疼的问题是,即使引入的噪声是高斯白噪声,我也不清楚对半径的估计影响会有多大.
另外,如果拟和这个圆的所有点被集中在一个很小的范围之内(大于45度),拟和结果会很差,这个问题该如何解决?

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路不平: 回：dotLive
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<br> 我编制过关于圆最小二乘的程序。起先我以为两者是一样的，就是：评价(di-R)^2与评价（di^2-R^2）^2是一样的。
<br> 但正如你所说，后者是把R^2作为真值进行考虑的。当然如果散点恰能构成一个圆，两者是一样的。因为：
<br> （a^2-b^2）=(a+b)(a-b)=0
<br> 但我实际编程后（采用最速下降法）发现，后者的半径偏小（散点越不接近于圆越明显）！为什么呢？因为，最小二乘的几何原理考察的是“距离”的误差（di-R）。那么变成平方差 （di^2-R^2）后，事实上是给（di-R）乘上了一个（di+R约=2R）的权重，最终实际的结果，当然是半径偏小。
<br> 事实上，你可以通过编程发现两者的差异！
<br> 当然上述推导依然是有价值的，因为这个结果作为迭代法的初值是再合适不过了！
<br> 实际的推导是不“可解”的，否则，《数学手册》就会出现相应的方法，就象线性回归和抛物线回归一样！
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请问“路不平”所说的：“但我实际编程后（采用最速下降法）发现，”中最速下降法指的是什么？