计算几何---多边形三角剖分算法研究与实现（1）：多边形单调划分
1概述
多边形三角剖分是计算几何( Computational Geometry)中的经典问题，起源于一个有趣的艺术画廊问题。目前有很多不同的算法实现了对多边形的三角剖分，三角化算法所追求的目标主要有两个：形状匀称和计算速度快，这也决定了多边形三角剖分的两个不同的应用方向。在形状匀称方面，人们对三角化的性质、 形状最优准则及算法进行了深入研究 ，采用较多的是 Delaunay 准则。这些算法在保证形状匀称的前提下，也尽可能考虑了提高计算速度。在有限元分析等许多应用场合三角形匀称是必须的，对单元质量是有一定要求的。但有些应用场合对三角形匀称性的要求不高，甚至没有匀称性要求。例如用 OpenGL显示图形时，不同的三角化策略对图形效果基本没有影响。在三角化时考虑匀称性，会使算法思想受到限制，从而影响算法效率。因此追求较高计算效率的三角化算法还是有意义的。本文所探讨的即是时间复杂度为O(n log n)的多边形三角剖分算法,这也是很多经典计算几何教材所给出的经典算法。
此算法的核心思想是首先对多边形进行单调划分，也就是将多边形分解为若干个单调多边形，然后再对单调多边形进行三角剖分，最终生成对初始多边形的三角剖分。
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1基本概念
简单多边形（Simple Polygon）：由单个不相交的封闭的多边形链围成的图形。（不含孔洞、边不相交）
多边形的三角剖分（Triangulation）：通过一组极大地互不相交的对角线，将一个多边形分解为多个三角形的集合。
定理1：任何简单多边形都存在（至少）一个三角剖分，若其顶点数目为n，则它的三角剖分结果中包含n-2个三角形。
定理2：（艺术画廊定理）包含n个顶点的任意简单多边形，（在最坏的情况下）最多只需要n/3台摄像机就能保证多边形中的任何一点都可见于至少一台摄像机。
定理3：任何一个包含n个顶点的简单多边形，总可以在O(n log n)时间内在多边形中确定n/3台摄像机的位置，使得多边形中任一点可见摄像机。
计算特定多边形所需要摄像机的最小数目是NP难的。
单调多边形：一个简单多边形关于某条直线L单调（monotone with respect to a line L），如果对任何一条垂直于L的直线L’，L’与多边形的交都是连通的，即它们的交可能是一条线段，或者一个点，也可能是空集。
本文算法以关于y坐标轴单调的简单多边形为例。
3 多边形的单调划分
把一个多边形划分为若干个单调多边形是非常重要的一步，本文采用一种类似扫描线的算法。首先确定顶点的类型，并按照Y坐标降序排列，若顶点Y坐标相等，则以X坐标小（左边）的点优先获得一个链表。然后依次遍历该链表，针对不同的顶点类型采取不同的操作策略，完成多边形的单调划分操作。
3.1 多边形顶点分类
普通顶点：Y坐标的大小介于相邻两顶点之间
拐点（歧点）：Y坐标比相邻两顶点都大或都小
起始顶点：Y坐标比相邻两顶点都大，且为凸顶点（内角小于180°）
分裂顶点：Y坐标比相邻两顶点都大，且为凹顶点（内角大于180°）
终止顶点：Y坐标比相邻两顶点都小，且为凸顶点（内角小于180°）
汇合顶点：Y坐标比相邻两顶点都大，且为凹顶点（内角大于180°）
注解：
1、顶点的名称源自于扫描线算法经过这些顶点时的特征，没有什么特殊的含义，仅为类型标识，其定义才是唯一区分标准。
2、对于非简单多边形，即含有孔洞的多边形，其内部边界的顶点类型也可以按照此定义分类，标识类型。
3、算法的关键也就是确定 边e的”助手“ helper(e)，翻译为边e的辅助点或许会更专业一些。其定义为：在位于扫描线上方、通过一条完全落在多边形P内部的水平线段与e相连的那些顶点中，高度最低（Y坐标最小）的那个顶点。
单调剖分算法的根本目标是：消除分裂顶点和汇合顶点 也就是 凹 顶点！通过添加若干条不相交的对角线消除凹顶点，这样就把一个多边形划分为若干个单调多边形。
3.2 算法描述：
输入:多边形P,外部边界顶点逆时针编号，内部边界顶点顺时针编号
输出:P的单调子多边形划分,和对角线D
算法:
S1、以顶点Y坐标降序排序，若有顶点Y坐标相同则以X坐标小的优先，得到链表L。同时确定顶点类型
S2、初始化一棵二分查找树T
S3、遍历链表L
按优先级遍历L中顶点
根据顶点类型，选用适当的子程序处理
伪代码：
- 起始顶点Vi
将Ei插入到T中，Ei.helper=Vi
- 汇合顶点Vi
if（Ei-1.helper是一个汇合顶点）
连接Vi和Ei-1.helper
在T中删除Ei-1
对T进行搜索，查找在左侧与Vi紧邻的边Ej
if（Ej.helper是一个汇合顶点）
连接Vi和Ej.helper
Ej.helper=Vi
- 普通顶点
if（P的内部处于Vi的右侧） //与顶点编号顺序有关，逆时针的左链
then if（Ei-1.helper是一个汇合顶点）
连接 Vi 和 Ei-1.helper
在T中删除Ei-1
将Ei添加到T中，Ei.helper=Vi
else 对T进行搜索，查找在左侧与Vi紧邻的那条边Ej //逆时针的右链
if （Ej.helper是一个汇合顶点）
then 连接Vi和Ej.helper
Ej.helper=Vi
- 分裂顶点
对T进行搜索，查找在左侧与Vi紧邻的那条边Ej
连接Vi 和 Ej.helper
Ej.helper=Vi
将Ei插入T中 ， Ei.helper=Vi
- 终止顶点
if（Ei-1.helper是一个汇合顶点）
连接Vi和Ei-1.helper
在T中删除E-i
3.3 算法说明
1. 一开始生成链表L也可以用一个优先级队列表示，而且在此处优先级队列数据结构可能更恰当，但是考虑到仅仅是对其进行遍历操作，所以一个排序的链表也能满足要求。
2. 二分查找树T具体编程实现起来比较复杂，从实际情况来看，T中元素数量在绝大多数情况下都不会很大，为降低编程难度，所以直接采用一个链表代替，这样可能会有效率上的损失，但是基本可以忽略。
3. 算法的时间复杂度为O(n log n)。
